1Eva_2021PAOI_T1 Función recursiva y raíces de ecuaciones

1ra Evaluación 2021-2022 PAO I. 6/Julio/2021

Tema 1. (30 puntos) La sucesión mostrada puede ser calculada de forma recursiva para un valor inicial x0.

x_n = ln \Bigg(\frac{1}{2+x_{n-1}} \Bigg)

n = 1, 2, 3, …
x0 = -0.45

a. Realice 7 iteraciones con la sucesión, tabule y grafique los resultados.

Considerando solamente el intervalo  [-0.5,-0.4]

b. ¿Se puede afirmar que para todo valor inicial x0 la sucesión converge? Justifique su respuesta.

En algoritmos de computadora, la forma recursiva de la sucesión puede consumir rápidamente recursos, por lo que se plantea encontrar el valor al que converge la sucesión usando siguiente ecuación:

x +ln(x+2) = 0

x0 = -0.45

c. Encuentre el valor que resuelve la ecuación usando el método de Newton-Raphson con tolerancia de 10-4. Realice al menos 3 iteraciones completas y comente sobre la convergencia.

d. Presente sus conclusiones y recomendaciones para los resultados obtenidos entre el literal b y c.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (3 puntos), literal c, verifica intervalo (4 puntos), iteraciones (10 puntos), convergencia (5 puntos), literal d (4 puntos)

 

3Eva_2020PAOI_T1 Distancia mínima en trayectoria

3ra Evaluación 2020-2021 PAO I. 22/Septiembre/2020

Tema 1. (30 puntos) Calcule el punto de la curva en el plano x-y definida por la función

y = e^{-x} , x ∈ R

que se encuentra más cercano al punto(1, 1).

a. Encuentre un intervalo apropiado para aproximar este valor mediante el método de Newton.

b. Usando este método, elabore una tabla que contenga las columnas de la tabla mostrada:

i xi f(xi) Ei
0
1
2
3

donde f(x) = 0 define el problema a resolver y

Ei = |xi+1 − xi|, i≥0.

Use como criterio de parada Ei ≤ 10−7.
Para los cálculos utilice todos los decimales que muestra la calculadora.

Rúbrica: literal a (5 puntos), planteamiento del método (5 puntos). iteraciones (15 puntos), cálculo de errores (5 puntos)

Referencia: NASA: Cinco asteroides se aproximan a la Tierra; los dos primeros este fin de semana. 11 de Julio, 2020. https://www.eluniverso.com/noticias/2020/07/11/nota/7901811/nasa-asteroides-planeta-tierra

Un asteroide recién descubierto pasará este jueves muy cerca de la Tierra. 23 de septiembre, 2020. https://www.eluniverso.com/noticias/2020/09/23/nota/7987777/asteroide-recien-descubierto-pasara-este-jueves-muy-cerca-tierra

1Eva_IIT2019_T1 Ecuación Recursiva

1ra Evaluación II Término 2019-2020. 26/Noviembre/2019. MATG1013

Tema 1. (30 puntos). Considere la sucesión

\Big( x_n \Big)_{n=0}^{+ \infty}

cuya ecuación recursiva es:

x_n = g(x) = \sqrt{3 + x_{n-1}}

para n  ∈ Ν

a) ¿Se puede afirmar que ∀x ∈ [1,3], g(x) ∈ [1,3]?

b) Pruebe que g es una función contractiva en el intervalo [1,3] y estime el valor de la constante de Lipschitz (cota de la derivada de g)

c) Realice 5 iteraciones partiendo del dato inicial x0 =2, y determine el orden de convergencia.

d) Encuentre el valor teórico de x* al cual converge la sucesión y estime el error absolito en la iteración 5.

e) Realice 5 iteraciones con el método de bisección en el intervalo [1,3] para aproximar el punto fijo de la función g(x).

Rúbrica: literal a (3 puntos), literal b (3 puntos), literal c (10 puntos), literal d (4 puntos), literal e (10 puntos)


Referencia: Burden 9Ed. Definición 10.5 p633, Theorem 2.4 P62;
Contracción https://es.wikipedia.org/wiki/Contracci%C3%B3n_(espacio_m%C3%A9trico).
Función lipschitziana https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lipschitziana

 

1Eva_IIT2019_T4 Concentración de químico

1ra Evaluación II Término 2019-2020. 26/Noviembre/2019. MATG1013

Tema 4. (20 puntos) La siguiente ecuación permite calcular la concentración de un químico en un reactor, donde se tiene una mezcla completa.

C = C_{ent} ( 1 - e^{-0.04t})+C_{0} e^{-0.03t}
https://es.wikipedia.org/wiki/Reactor_qu%C3%ADmico

Si la concentración inicial es C0 = 4 y la concentración de entrada es Cent = 10, use el método de Newton-Raphson con t0 = 0, para aproximar el tiempo requerido para que el valor de C sea 93% de Cent.

Encuentre un intervalo en donde la convergencia está garantizada.

Rúbrica: intervalo (5 puntos), iteraciones (10 puntos), convergencia (5 puntos)

3Eva_IT2019_T1 Ecuaciones simultáneas

3ra Evaluación I Término 2019-2020. 10/Septiembre/2019. MATG1013

Tema 1. (30 Puntos).  Determine las raíces de las ecuaciones simultáneas siguientes:

y = -x^2 +x + 0.75 y+5xy=x^3

a. Realice un bosquejo para cada ecuación
b. Use el método de Newton-Raphson con x0=1 , y0=0.75, realice 3 iteraciones
c. Estime el orden del error

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b planteo (5 puntos), iteraciones (15 puntos), literal c (5 puntos)

1Eva_IT2019_T2 Catenaria cable

1ra Evaluación I Término 2019-2020. 2/Julio/2019. MATG1013

Tema 2. (30 puntos) Un cable en forma catenaria es aquel que cuelga entre dos puntos que no se encuentran sobre la misma línea vertical. Como se muestra en la figura 1, no está sujeta a más carga que su propio peso. Así, su peso en N/m actúa como una carga uniforme por unidad de longitud a lo largo del cable.

En la figura 2, se ilustra un diagrama de cuerpo libre de una sección AB, donde TA y TB son las fuerzas de tensión en el extremo.

Con base en los balances de fuerzas horizontal y vertical, se obtiene para el cable el siguiente modelo:

y = \frac{T_A}{w} cosh \Big( \frac{w}{T_A}x \Big) + y_0 - \frac{T_A}{w}

Donde la altura y del cable está en función de la distancia x.

Además se tiene que:

cosh(z) = \frac{e^z+ e^{-z}}{2}

Utilice el método de Newton-Raphson para hallar el valor del parámetro TA dado los valores de los parámetros w=12, y0=6 de modelo que el cable tenga una altura de 15 metros para x=50

Rúbrica: Planteamiento del problema (10 puntos), obtener la derivada (5 puntos), plantear el método (5 puntos), iteraciones (5 puntos), verificar tolerancia (5 puntos)


Nota: Todos los temas deben mostrar evidencia del desarrollo del método numérico planteado.

Referencia: Chapra 5Ed Problema 8.17 p219 pdf243. Sears&Zemanski Vol1 12Ed problema 5.63. Cuerda con masa p173. https://es.wikipedia.org/wiki/Catenaria

1Eva_IIT2018_T4 Tasa de interés en hipoteca

1ra Evaluación II Término 2018-2019. 10/Noviembre/2018. MATG1013

Tema 4. Para pagar una hipoteca de una casa durante n periodos de tiempo se usa la fórmula:

P = A\Big(\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \Big)

En ésta ecuación, P es el valor presente de la casa, A es el valor del pago periódico de la deuda durante n periodos y la tasa de interés por periodo es i.

Suponga que la casa tiene un valor presente de 70000 dólares y deberá ser pagada mediante 1200 dólares mensuales por 25 años (300 meses).

a) Plantee la ecuación

b) Encuentre un intervalo para i donde haya un cambio de signo en la función

c) Aplique el método de Newton

1Eva_IIT2018_T2 Distancia mínima a un punto

1ra Evaluación II Término 2018-2019. 10/Noviembre/2018. MATG1013

Tema 2. Aproxime con un grado de exactitud de 0.0001 el valor de x que en la gráfica de y=ex está más cerca al punto P(1,1).

a) Plantear la ecuación

b) Hallar un intervalo de existencia y de convergencia


Referencias: 

Gigante asteroide con su propia Luna pasará en cercanías de la Tierra . https://www.eluniverso.com/noticias/2019/05/23/nota/7344362/gigante-asteroide-su-propia-luna-pasara-cercanias-tierra

 Un asteroide dos veces más grande que un avión Boeing 747 pasará muy cerca la Tierra. https://www.eluniverso.com/noticias/2018/08/28/nota/6927335/asteroide-dos-veces-mas-grande-que-avion-pasara-muy-cerca-tierra

 

Referencia: https://spaceplace.nasa.gov/comet-quest/sp/

3Eva_IT2018_T1 Intersección de dos círculos

3ra Evaluación I Término 2018-2019. 11/Septiembre/2018. MATG1013

Tema 1. (30 puntos) Encuentre las raíces de las ecuaciones simultaneas siguientes:

(x-4)^2 + (y-4)^2 = 5 x^2 + y^2 = 16

a) Use el enfoque gráfico para obtener los valores iniciales.

b) Encuentre aproximaciones refinadas con el Método de Newton-Raphson

Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b  (20 puntos)


Referencia: Un asteroide dos veces más grande que un avión Boeing 747 pasará muy cerca la Tierra. https://www.eluniverso.com/noticias/2018/08/28/nota/6927335/asteroide-dos-veces-mas-grande-que-avion-pasara-muy-cerca-tierra


Europa Press 28 de agosto, 2018 – 11h51

1Eva_IT2018_T2 Teorema Punto Fijo

1ra Evaluación I Término 2018-2019. 26/junio/2018. MATG1013

Tema 2. (25 puntos) Sea g:[a,b] → R una función continua tal que g(x) ∈ [a,b] para toda x ∈ [a,b] .
Suponga además que g es una función contractiva en [a,b] esto es
\forall x,y \in [a,b]: |g(x)-g(y)| \lt |x-y|

Demuestre o refute las siguientes afirmaciones:

a) g tiene al menos un punto fijo en [a,b]

b) g tiene un punto fijo único en [a,b]

Rúbrica:
Literal a. Construye la función f(x)=x-g(x)=0 , verifica el cambio de signo de f(x) en los extremos del intervalo y concluye que p =g(p) (hasta 15 puntos),
literal b. Supone dos puntos fijos, calcula | p-q |, utiliza la propiedad contractiva y concluye que se produce una contradicción (hasta 10 puntos)