Curso con Python – MATG1052/MATG1013-FCNM-ESPOL
Raíces para ecuación de una variable
Tema 1. Sea g: [a,b] →ℜe (reales) una función diferenciable tal que g(x) ∈ [a,b], para toda x ∈ [a,b]. Demuestre o refute las siguientes afirmaciones.
a) g tiene al menos un punto fijo en [a,b]
b) g tiene un punto fijo único en [a,b]
Tema 1. Dado el sistema de ecuaciones no lineales
3x^2 + 3y^2 - 15 = 0 2x^2y- 1 = 0x∈R; y ≥ 1
a. Realice un bosquejo gráfico y especifique el número de soluciones del sistema.
b. Determine la ecuación en términos de una variable para resolver el sistema.
c. Justifique un intervalo donde se encuentre la solución de la ecuación planteada en literal b.
d. Aproxime la solución empleando el método de Newton-Raphson con tolerancia de 10-6.
e. Escriba correctamente la solución hallada.
Tema 1. (30 puntos) Suponga que el precio de un producto f(x) depende del tiempo x en el que se lo ofrece al mercado con la siguiente relacion:
f(x) = 25x e^{-0.1x} 0\leq x \leq 12en donde x es tiempo en meses.
Se desea determinar el dia en el que el precio sube a 80.
a. Evalúe f con x en meses hasta que localice una raíz real (cambio de signo) y trace la forma aproximada de f(x)
b. Use el Método de Newton-Raphson para calcular la respuesta (mes) con precisión 10-4. Exprese esta respuesta en días (1mes = 30 días)
c. Encuentre el día en el cual el precio será máximo. Use el método de Newton con precisión 10-4
Tema 1. Un envase de lata con forma de cilindro circular recto, será construido para contener 1000 cm3. 
Las partes superior e inferior circulares del envase deben tener un radio de 0.25 mayor que el radio de éste, de manera que el excedente pueda usarse para formar un sello con el cuerpo principal.
La hoja de material con la que se forme dicho cuerpo, debe ser también de 0.25 cm más larga que la circunferencia del envase, de manera que se pueda formar un sello.
Encuentre con un error de 10-4 la cantidad mínima de material para construir dicha lata.
Referencias: 
Tema 4. Con los conocimientos de cálculo diferencial y geometría analítica, deduzca el método de Newton para determinar las raíces de una función .
Luego use el teorema de convergencia del punto fijo a éste método y explique el objetivo de su aplicación.
Tema 2. (25 puntos) Determine una raiz de las ecuaciones no lineales simultaneas siguientes:
y = – x2 + x + 0.75
y + 5xy = x2
a) Bosqueje una gráfica y seleccione X(0)
b) Use el método de Newton en dos variables y realice tres iteraciones.
Rúbrica: Bosquejar la gráfica hasta 5%, Plantear el método hasta 5%, Calcular el Jacobiano hasta 5% Hacer tres iteraciones, estimando el error hasta 10%.
Tema 3. (25 puntos) 3. El sistema no lineal
-x(x + 1) + 2y = 18
x – 1 + (y – 6)2 = 25
tiene dos soluciones.
a) Aproxime gráficamente las soluciones
b) Utilice el método de Newton Raphson en una variable para aproximar una solución, (realice tres iteraciones).
c) Utilice el método de Newton Raphson en dos variables para aproximar una solución, (realice tres iteraciones) y estime el error de la segunda iteración.
Rúbrica: Soluciones gráficas hasta 5 puntos, Método de Newton hasta 10 puntos, Método que involucra al jacobiano hasta 10 puntos.
Tema 2 (25 puntos). El volumen V del líquido contenido en un tanque esférico de radio r está relacionado con la profundidad h del líquido por la ecuación
Es posible desarrollar las siguientes dos fórmulas para él método de punto fijo:
h = \sqrt{\frac{h^{3}+(3V/\pi)}{3r}} h = \sqrt[3]{3(rh^{2}-V/\pi)}
Si r=1 m y V=0.75 m3, determine si las dos alternativas son estables (convergen), realice las iteraciones para aproximar h con un error menor o igual 0.01 m.
Rúbrica: Cálculo de las derivadas (10 puntos), determinación de la estabilidad (5 puntos), iteraciones con el error (10 puntos).
Referencia: Ejercicio 5.17. p143 Steven C. Chapra. Numerical Methods 7th Edition.
Tema 3. (25 puntos) Se adquiere a maquinaria o equipo para una empresa por $35000, sin pago inicial, con pagos de $5800 por año durante 8 años. 
¿Qué tasa de interés está usted pagando?
La fórmula que relaciona el valor presente P, las anualidades A, el número de años n y la tasa de interés i es:
A = P \frac{i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n} -1}a) Plantee la ecuación y encuentre un intervalo de existencia.
b) Encuentre un intervalo de convergencia
c) Realice cuatro iteraciones y estime el error
Rúbrica: Ecuación (5 puntos), intervalo existencia (2 puntos), Intervalo de convergencia (10 puntos), iteraciones (5 puntos), estimar error hasta (3 puntos)
Referencias:
La venta de tractores se mantiene. El comercio 24-Oct-2009. https://www.elcomercio.com/actualidad/venta-tractores-mantiene.html
La agricultura familiar campesina toma impulso en la provincia de Loja. Crónica.com.ec 31-ago-2018. https://www.cronica.com.ec/informacion-2/ciudad/item/22626-la-agricultura-familiar-campesina-toma-impulso-en-la-provincia-de-loja
Tema 1. (25 puntos) El balance de masa de un contaminante en un lago, bien mezclado, se expresa mediante la ecuación:
V\frac{dc}{dt} = W - Qc-kV(\sqrt[3]{c})Dados los valores de parámetros:
V=1x106 m3, Q=1x105 m3/año W=1x106 g/año k=0.25m0.5/g0.5/año
se quiere hallar la concentración c de estado estable (dc/dt= 0)
a) Utilizando el método de Newton, encuentre un modelo iterativo x=g(x) para aproximar c y un intervalo de existencia y convergencia.
b) Realice las iteraciones presentando el error en cada iteración.
Rúbrica:
a) Hallar g (5 puntos), intervalo de existencia (2 puntos), intervalo de convergencia (6 puntos)
b) Iteraciones hasta (8 puntos), estimación del error hasta (4 puntos)