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Comenzó a jugar fútbol en las canchas de tierra de su ciudad natal, en el Club Los Andes. Su hermano, Marcos, jugaba en Everest y lo llevó a ese club en 1953, con el que debutó en 1955 contra Emelec. Ocho días después anotó su primer gol en su carrera ante Nueve de Octubre.
En 1959, gracias a su destacada actuación en la Selección de fútbol de Ecuador en el Sudamericano Extraordinario de 1959 realizado en su país, fue contratado por el Club Atlético Peñarol, que gastó 10 mil dólares en su pase. Con el club uruguayo debutó el 8 de marzo de 1960 en un partido amistoso ante Atlanta de Argentina, convirtiendo 3 goles y en su segundo partido, ante Tigre, hizo otros 2. En Uruguay se convirtió en una leyenda, anotando 326 goles, ganando tres Copa Libertadores, dos Copas Intercontinentales y siete Campeonatos Uruguayos. Tras jugar su segunda Copa Intercontinental, el club Inter de Milán se interesó por él, pero los directivos de CA Peñarol hicieron lo imposible para retenerlo en el club.

Fue en cuatro ocasiones máximo goleador del Campeonato Uruguayo de Fútbol (1961, 1962, 1967 y 1968) y se consagró, además, como máximo artillero en la historia de la Copa Libertadores (con 54 tantos) y segundo de la Copa Intercontinental (con 6 tantos, solo superado por Pelé con 7 goles).
Tras su etapa en el Club Atlético Peñarol, regresó a Ecuador, para jugar un año en el Barcelona de Guayaquil, con el que conquistó el Campeonato de Ecuador en 1971.

Durante su permanencia en el Club Atlético Peñarol le ofrecieron nacionalizarse uruguayo pero no aceptó, sin embargo reforzó a la Selección charrúa en varios encuentros amistosos, logrando incluso marcar un gol.
Terminada su carrera como futbolista, Spencer anotó 451 goles entre partidos oficiales y amistosos; 445 en los clubes que jugó, 4 en la Selección Ecuatoriana y 1 en la Selección Uruguaya.