cl2-07. Operaciones entre Subespacios

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Definición. Sean H y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial V. Se definen las siguientes operaciones entre subespacios:
\small{\begin{array}{lrcl}
{Intersecci\acute{o}n}:& H \cap W &=& \left\{ v\in V/v\in H \wedge v\in W\right\}\\
{Uni\acute{o}n}:& H \cup W &=& \left\{ v\in V/v\in H \vee v\in W\right\}\\
{Suma}:& H+W &=& \left\{ v=h\oplus w \in V/ h\in H \wedge w\in W\right\}
\end{array}}

Teorema. Sean H y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial V. Entonces H \cap W y H + W también son subespacios vectoriales de V.

Observación. La operación de unión entre subespacios vectoriales de V no necesariamente va a dar como resultado otro subespacio vectorial de V, a menos que uno este contenido en el otro.

Ejemplo. Determine si la unión entre los siguientes subespacios vectoriales de V es otro subespacio de V.\small{\begin{array}{rcl}
H &=& \left\{ (x,y)\in \mathbb{R^{2}} / y=x\right\}\\
W &=& \left\{ (x,y)\in \mathbb{R^{2}} / y=-x\right\}
\end{array}}

Solución. (contraejemplo) \begin{array}{rcl} H\cup W &=& \left\{ (x,y)\in \mathbb{R^{2}}/(x,y) \in H \vee (x,y)\in W\right\} \end{array}

Si \forall\ (x,y),(p,q)\in H\cup W : (x,y)\oplus(p,q)\in H\cup W por el axioma de cerradura bajo la suma, se tiene que\begin{array}{rcl} (x,y)\in H\cup W &\Longrightarrow & (x,y)\in H \vee (x,y)\in W \\ (p,q)\in H\cup W &\Longrightarrow & (p,q)\in H \vee (p,q)\in W \end{array}de donde\begin{array}{rcl} (x,y),(p,q)\in H &\Longrightarrow & (x,y)\oplus(p,q)\in H \\ (x,y),(p,q)\in W &\Longrightarrow &(x,y)\oplus(p,q)\in W \end{array} es decir, \begin{array}{rcl} (x,y)\oplus(p,q)\in H\cup W \end{array}; sin embargo, si (1,1),(1,-1)\in H\cup W entonces (1,1)\oplus(1,-1)=(2,0)\notin H\cup W.

Por consiguiente, H\cup W no es un subespacio vectorial de V.

 

Teorema. Sean H y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial V. Entonces H \cup W es un subespacio vectorial de V si y solo si H\subseteq W o W\subseteq H.

Teorema. Sean H y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial V donde H=gen\left\{P\right\} y W=gen\left\{Q\right\}. Entonces H+W=gen\left\{P\cup Q\right\}.

Teorema. Sean H y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial V de dimensión finita. Entoncesdim(H+W)=dim(H)+dim(W)-dim(H\cap W)

 

Definición. Sean H y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial V. La suma H+W se denomina suma directa de H y W, denotada como H\oplus W, si cada vector en el espacio H+W tiene una única representación como la suma de un vector en H y un vector en W.

Teorema. Sean H y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial V. Entonces H+W=H\oplus W si y solo si H\cap W=\left\{0_V\right\}.

 

Ejemplo. Sean H y W subespacios de \mathbb{R^3} dado por\begin{array}{rcl}H&=&gen\left\{(-1,1,3)\right\} \\ W&=&\left\{(x,y,z)/2x-y+3z=0\right\}\end{array} Determine

a) El subespacio de la intersección entre H y W.
b) Muestre que H\cup W no es un subespacio de \mathbb{R^3}.
c) Que P=\left\{p\in \mathbb{R^3} / p=h+w\ {;}\ h\in H\ y\ w\in W\right\} es \mathbb{R^3}.

Solución.

Literal a. Sean \scriptsize{H=\left\{ \left(\begin{array}{r}-a\\a\\3a \end{array}\right) {/}\ \forall\ a\in \mathbb{R} \right\}} y \scriptsize{W=\left\{ \left(\begin{array}{r}x\\2x+3z\\z \end{array}\right) {/}\ \forall\ x,z\in \mathbb{R} \right\}} entoncesH\cap W \Longrightarrow \left(\begin{array}{r} -a\\a\\3a \end{array} \right) = \left(\begin{array}{r}x\\2x+3z\\z \end{array}\right) \Longrightarrow a=x=z=0Por consiguiente, \scriptsize{H\cap W=\left\{ \left(\begin{array}{r} 0\\0\\0 \end{array}\right) \right\}}, neutro del espacio vectorial en \mathbb{R^3}.

Literal b. Si H\cup W es subespacio de \mathbb{R^3}, entonces debe cumplir con los dos axiomas de cerradura; además, la unión de dos subespacios se denota también como la suma de estos, es decirH\cup W = \left(\begin{array}{r} -a\\a\\3a \end{array} \right) \oplus \left(\begin{array}{r}x\\2x+3z\\z \end{array}\right) de dondeH\cup W=\left\{ \left(\begin{array}{r}x-a\\a+2x+3z\\3a+z \end{array}\right) {/}\ x,z,a\in \mathbb{R} \right\}Entonces, \forall\ h,w \in U\ :\ h\oplus w \in U. Si U es H\cup W se tiene que el vector suma que pertenece a U debe pertenecer a H o W, de donde\scriptsize{\left(\begin{array}{r} x_1 - a_1 \\a_1 + 2x_1 + 3z_1 \\3a_1 + z_1\end{array} \right) \oplus \left(\begin{array}{r}x_2 - a_2 \\a_2 + 2x_2 + 3z_2\\3a_2 + z_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} (x_1 - a_1) + (x_2 - a_2) \\ (a_1+a_2) + 2(x_1+x_2) + 3(z_1 + z_2)\\3(a_1+a_2) + (z_1+z_2) \end{array}\right) }Nótese que el vector suma no pertenece ni a H ni a W.

Por consiguiente, es este caso, la unión de estos subespacios no constituye un subespacio vectorial de \mathbb{R^3}.

Literal c. Si P=\mathbb{R^3} (lo que se debe demostrar), entonces cualquier vector de \mathbb{R^3} pertenece P; es decir, que todo vector de \mathbb{R^3} puede ser expresado en función de los vectores de P.

Si p=h+w, h=\small{\left(\begin{array}{r} -a\\a\\3a \end{array} \right)} y w=\small{\left(\begin{array}{r}x\\2x+3z\\z \end{array}\right)} entoncesh+w=\left(\begin{array}{r} -a\\a\\3a \end{array} \right) + \left(\begin{array}{r}x\\2x+3z\\z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}x-a\\2x+3z+a\\z+3a \end{array}\right)y, por lo tanto, cualquier vector de \mathbb{R^3} puede ser expresado como una combinación lineal, tal que\small{x \left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + z \left(\begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) + a \left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) \quad {,} \quad \left\{\left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) , \left(\begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) , \left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) \right\}}A continuación, se toma un vector típico de \mathbb{R^3} para verificar que puede (el vector típico) ser expresado en función de éstos tres vectores, así se tiene que \alpha_1 \left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + \alpha_2 \left(\begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) + \alpha_3 \left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} i \\ j \\ k \end{array}\right)Al resolver el sistema de ecuaciones lineales asociado se obtiene que\alpha_1=\frac{9i+k-j}{9} \quad{,}\quad \alpha_2=\frac{j-2k}{3} \quad{,}\quad \alpha_3=\frac{k-j}{9}Por consiguiente, cualquier vector de \mathbb{R^3} pertenece a P y P=\mathbb{R^3}.

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Referencias Bibliográficas