6.3 LTI DT – Respuesta impulso – Concepto

Referencia: Lathi 3.7 p277

Partiendo de

$Q(E) y[n] = P(E) x[n]$

la entrada x[n] es del tipo δ[n] con todas las condiciones iniciales cero.

$Q(E) h[n] = P(E) \delta[n]$

sujeta a h[-1] = h[-2] = … = h[-N] = 0

Solución de forma cerrada

Con entrada un impulso, solo los modos característicos se mantienen en el sistema, por lo que h[n] se compone de los modos característicos para n>0.

Con n=0, pueden tener valores no cero A₀, por lo que la forma general de h[n] se puede expresar como:

$h[n] = A_0 \delta[n] +y_c[n] \mu [n]$

donde y_c[n] es una combinación de los modos característicos, se debe encontrar Q[E] y_c[n] u[n] = 0, con lo que se tiene,

$A_0 Q[E] \delta [n] = P[E] \delta [n]$

haciendo n=0 y usando el hecho que δ[m] = 0  para todo m ≠ 0 y δ[0] = 1, (pues  se ha asumido que es un sistema invariante en el tiempo LTI y la respuesta a δ[n-m] se puede expresar como h[n-m]), se tiene,

$A_0 a_N = b_N$ $A_0 = \frac{b_N}{a_N}$

quedando la ecuación de respuesta a impulso como,

$h[n] = \frac{b_N}{a_N} \delta[n] +y_c[n] \mu [n]$

Los N coeficientes desconocidos en y_c[n], del lado derecho de la ecuación se pueden determinar conociendo los N valores h[n]