Referencia: Lathi 3.6 p270
En el sistema LTID de la forma,
Q(E) y[n] = P(E) x[n]la entrada cero implica x[n] =0, lo que cambia la expresión anterior a,
Q(E) y_0 [n] = 0que lleva a resolver:
y_0[n+N] + a_1 y_0[n+N-1] + \text{...} + a_{N-1} y_0[n+1] + a_N y_0[n] = 0 (E^N + a_1 E^{N-1} + \text{...} + a_{N-1}E{n+1} + a_N) y_0[n] = 0La ecuacion muestra que es una combinación lineal de y0[n] y un avance de y0[n] también es cero, siempre y cuando ambas expresiones tengan la misma forma. La función exponencial γn es la que tiene ésta propiedad,
E^k {\gamma ^n} = \gamma^{k+n} = \gamma^k \gamma^nRaices reales no repetidas
Indica que γn avanzado por k unidades es varias veces una constante (γk). Por lo que la solución es de la forma y0[n] = cγn, de donde se deben encontrar los valores para c y γ.
Se reescribe la ecuación de diferencias con operadores E como y se busca una solución:
c(\gamma^N + a_1 \gamma^{N-1} + \text{...} + a_{N-1}\gamma{n+1} + a_N) \gamma^n = 0 \gamma^N + a_1 \gamma^{N-1} + \text{...} + a_{N-1}\gamma{n+1} + a_N = 0 (\gamma -\gamma_1)(\gamma -\gamma_2) \text{...}(\gamma -\gamma_N) = 0 y_0[n] = c_1 \gamma_1^n + c_2 \gamma_2^{n} + \text{...} + c_n \gamma_N^{n}que se resuelve con las condiciones iniciales del problema, teniendo asi la ecuación característica, con valores característicos.
Raíces reales repetidas
Si no todas las raíces son diferentes, es decir algunas se repiten, la forma de los modos característicos se modifican. Por sustitución directa, siendo r el número de raíces repetidas, se tiene:
Q[\gamma] =(\gamma -\gamma_1)^r (\gamma -\gamma_{r+1}) (\gamma -\gamma_{r+2}) \text{...}(\gamma -\gamma_N) y_0[n] = (c_1+c_2 n +c_3 n^2 + \text{...} +c_r n^{r-1}) \gamma_1^n + c_{r+1} \gamma_{r+1}^{n} + + c_{r+2} \gamma_{r+2}^{n} + \text{...} + c_n \gamma_N^{n}Raices complejas
Pueden darse el caso en forma de pares de conjugadas, si los coeficientes en la ecuación del sistema con números reales.
Una alternativa es usar la forma real de la solución, tal como se hace en sistemas contínuos.
Se expresan las raíces conjugadas complejas en su forma polar. Si la magnitud es |γ| y el ángulo es β, se tiene,
\gamma = |\gamma | e^{j \beta} \gamma^* = |\gamma | e^{-j \beta} y_0[n] = c_1 \gamma ^{n} + c_2 (\gamma^*)^n =c_1 |\gamma| ^{n} e^{j \beta n} + c_2 | \gamma |^n e^{-j \beta n} c_1 = \frac{c}{2} e^{j \theta} c_2 = \frac{c}{2} e^{-j \theta} y_0[n] = \frac{c}{2} |\gamma| ^{n} \Big[ e^{j (\beta n + \theta)}+ e^{-j (\beta n + \theta)} \Big] y_0[n] = c |\gamma| ^{n} \cos (\beta n + \theta)donde c y θ son constantes determinadas con las condiciones iniciales. Esta solución es numérica real, evitando trabajar con números complejos