Ejercicio: 1Eva2016TII_T3 LTI DT Sistema 1er orden con constante a
A partir del diagrama se tiene que:
literal a.1 ecuación que relaciona entrada-salida
El sistema es discreto de primer orden,
y[n] = x[n] + a y[n-1] y[n] - a y[n-1] = x[n]literal a.2 Respuesta al impulso
Para la respuesta de impulso se escribe la expresión en notación de operador E, con x[n]=δ[n]
y[n+1] - a y[n] = x[n+1] Ey[n] - a y[n] = E x[n] (E -a) y[n] = E x[n]para determinan las raíces del Q[E]
Q[E] = (\gamma-a) = 0 \gamma = aque establece la ecuación
y_c[n] = c_1 a^nPara encontrar el valor de la constante se evalua la expresión del sistema con n=0, teniendo en cuenta que la ecuación general de respuesta a impulso:
h[n] = \frac{b_N}{a_N} \delta (n) + y_c[n] \mu [n] h[n] = y_c[n] \mu [n] = c_1 a^n \mu [n] y[n] = x[n] +a y[n-1] h[n] = \delta [n] +a h[n-1] h[0] = \delta [0] +a h[0-1]El sistema es causal si para n<0 los valores son cero, h[-1] =0
h[0] = 1 +a (0) = 1con lo que par encontrar la constante c1,
h[0] = 1 = c_1 a^0 \mu [0] =c_1 (1)(1) = c_1la constante c1 =1, quedando com respuesta a impulso:
h[n] = a^n \mu [n]literal a.3 Respuesta de paso
s[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} h[k] = \sum_{k=-\infty}^{n} a^k \mu [k]Siendo:
\sum_{k=0}^{n} \alpha^k = \frac{1-\alpha^{n+1}}{1-\alpha} \mu [n]se tiene que:
s[n] = \frac{1-a^{n+1}}{1-a} \mu [n]Solución alterna, El mismo resultado se obtiene mediante:
s[n] = h[n] \circledast \mu [n]usando la tabla de convolucion discreta:
= \sum_{k=- \infty}^{\infty} a^k \mu[k] \mu[n-k] = \sum_{k=0}^{n} a^k s[n] = \frac{1-a^{n+1}}{1-a} \mu [n]literal b.
dado que h[n] no es de la forma k δ[n], el sistema es con memoria.
Si las raíces características, valores característicos o frecuencias naturales de un sistema, se encuentran dentro del círculo de radio unitario, el sistema es asintóticamente estable e implica que es BIBO estable.
h[n] = an μ[n] el sistema es de tipo IIR.
literal c. Sistema inverso
h[n] \circledast h_{inv} = \delta[n] y[n] = x[n] + a y[n-1] h[n] = \delta[n] + a h[n-1] h[n] - a h[n-1] = \delta[n] h[n] \circledast \delta [n] - a h[n] \circledast \delta [n-1] = \delta[n] h[n] \circledast (\delta [n] - a \delta [n-1]) = \delta[n] h_{inv}[n] = (\delta [n] - a \delta [n-1]) = \delta[n]h[n] no es de la forma k δ[n], por lo que el sistema inverso es con memoria.
h[n]=0 para n<0, se entiende que el sistema inverso es Causal.
La respuesta impulso del sistema inverso es absolutamente sumable o convergente, por lo que el sistema es BIBO estable.
la forma de hinv[n] el sistema es de tipo FIR.
literal d. Diagrama de bloques del sistema inverso
El diagrama del sistema inverso sería:
