Referencia: Lathi 1.4-3 p89, Hsu 1.3.C p9, Oppenheim 1.3.1 p15 pdf46.
Exponencial est
Otra función importante en señales y sistemas es la señal est, donde s es en general de tipo compleja:
s = \sigma + j \omegalo que convierte:
e^{st} =e^{( \sigma + j \omega)t} = e^{\sigma t} e^{j \omega t} e^{st} =e^{\sigma t} \Big( \cos (\omega t) + j \sin (\omega t)\Big)dado que la conjugada s* = σ – jω
e^{s^* t} =e^{( \sigma - j \omega)t} = e^{\sigma t} e^{-j \omega t} e^{s^* t} =e^{\sigma t} \Big( \cos (\omega t) - j \sin (\omega t)\Big)por lo que sumando las ecuaciones resultantes anteriores:
e^{\sigma t} cos(\omega t) = \frac{1}{2}\Big( e^{st} + e^{s^{*}t} \Big)Comparado con la formula de Euler, se muestra que est es una generalización de ejω.
La función est tiene varias formas que pueden ser:
- una constante k = est cuando s=0
- una exponencial monótona eσt cuando ω=0 y s=σ
- una sinusoide cos (ωt) cuando σ=0 y s=±jω
- una sinusoide con amplitud exponenial eσt cos (ωt) cuando s=σ ±jω
Desarrollamos la gráfica del primer caso en Python, a partir de la cual repetimos el proceso para analizas los demas casos.
# Señales modelo varias import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # INGRESO senal = lambda s,t: np.exp(s*t) sigma = 0 # s = 0 +0j omega = 0 a = -5 # intervalo de tiempo [a,b) b = 5 dt = 0.1 # PROCEDIMIENTO ti = np.arange(a, b, dt) s_i = complex(sigma,omega) senal_i = senal(s_i,ti) # SALIDA - gráfica plt.figure(1) plt.plot(ti,np.real(senal_i),label='real') plt.plot(ti,np.imag(senal_i),label='imaginaria') plt.xlabel('t') plt.ylabel('x(t)') plt.legend() plt.grid() plt.title('e^('+str(sigma) +' + '+str(omega)+'j)') plt.show()
A partir de aquí se continúa con la definición de t en el intervalo del ejercicio anterior, por lo que las instrucciones de Python se añaden a continuación de lo anterior.
Un exponencial simple σ>0 ω=0
Para éste caso se modifica en el bloque de ingreso los parámetros de σ=1 y ω=0, con lo que el algoritmo realiza la gráfica presentada.
# un exponencial simple sigma>0 omega=0
sigma = 1
omega = 0
un exponencial simple σ<0 ω=0
Para éste caso se modifica en el bloque de ingreso los parámetros de σ=-1 y ω=0, con lo que el algoritmo realiza la gráfica presentada.
# un exponencial simple sigma<0 omega=0
sigma = -1
omega = 0
un sinusiode σ=0, ω>0
Para éste caso se modifica en el bloque de ingreso los parámetros de σ=0 y ω=1, con lo que el algoritmo realiza la gráfica presentada.
# un sinusiode sigma=0, omega>0
sigma = 0
omega = 1
un sinusiode σ=0, ω<0
Para éste caso se modifica en el bloque de ingreso los parámetros de σ=0 y ω=-1, con lo que el algoritmo realiza la gráfica presentada.
# un sinusiode sigma=0, omega<0
sigma = 0
omega = -1
un sinusoide con amplitud exponencial σ=0.25, ω>0
# un sinusoide con amplitud exponencial sigma=0.25, omega>0
sigma = 0.25
omega = 4
un sinusoide con amplitud exponencial σ=-0.25, ω>0
# un sinusoide con amplitud exponencial sigma=-0.25, omega>0
sigma = -0.25
omega = 4