Tema 1. (35 puntos)

El tendido de guía de cables con drone es una técnica avanzada usada donde el terreno es irregular o se busca proteger el entorno natural. La técnica utiliza aeronaves no tripuladas para transportar un hilo guía ligero (nylon) entre torres de alta tensión, reduciendo hasta un 85% la necesidad de talar vegetación y minimizando el impacto ambiental.

El cable durante el tendido cuelga en forma de catenaria entre dos puntos que no se encuentran sobre la misma línea vertical. Como se ilustra en la figura, no está sujeta a más carga que su propio peso. Así, su peso (N/m) actúa como una carga uniforme por unidad de longitud a lo largo del cable.

El diagrama de cuerpo libre muestra una sección AB, donde T_A y T_B son las fuerzas de tensión en el extremo.

Con base en los balances de fuerzas horizontal y vertical, se obtiene para el cable el siguiente modelo de ecuación diferencial:

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{w}{T_A} \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}

Puede emplearse el cálculo para resolver esta ecuación para la altura y del cable como función de la distancia x.

y=\frac{T_A}{w} \cosh\left( \frac{w}{T_A}x \right) + y_0-\frac{T_A}{w}

a. Plantear el ejercicio usando la ecuación de altura y, para calcular el valor de T_A dados los valores de los parámetros w=12 y y₀=6, de modo que el cable tenga una altura de y=15 en x=50.

b. Indique y verifique el intervalo [a,b] a usar en el método de búsqueda de raíces. T_A es de orden 103

c. Desarrolle al menos tres iteraciones con el método de la Bisección, las expresiones deben ser completas en cada iteración, con los valores usados en cada una.

d. Indique el error en cada iteración.

e. Describa si el método converge, en cuántas iteraciones.

f. Adjunte los resultados.txt y gráficas.png realizadas con el algoritmo.py

Nota: Para el algoritmo, puede calcular cosh(x) mediante np.cosh(x)

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos), literal f (5 puntos).

Referencia: [1] tendido cable en forma catenaria. Ejercicio 8.17 Chapra. P219

[2] Tendido de cables con drones. Drontec. 6 diciembre 2021.