1. movimiento circular - partícula
Simular el movimiento circular de una partícula en el plano x,y considerando la variable tiempo consiste en definir las ecuaciones a usar para cada eje.
x(t) = \cos \Big( \dfrac{2 \pi}{T}t \Big)
y(t) = \sin \Big( \dfrac{2 \pi}{T}t \Big)
donde T es el periodo de la función.
Para la gráfica se crean todas las muestras de los puntos en los tiempos ti que al realizar la gráfica mostraría un punto en cada posición ti. La animación consiste en usar el concepto de fotograma, una "foto" por unidad de tiempo como en el cine, es decir solo dibujar un punto a la vez, por cada foto 'i'.
Los fotogramas dentro de un periodo se definen como fotos=20, y el retardo dt en milisegundos dentro del periodo es t/fotos*1000.
La animación requiere usar los procedimientos redibuja(i) y borrapizarra() para cada fotograma 'i'. Los procedimientos usados o coordinados con la instrucción animation.FuncAnimation()
En caso de requerir un archivo gif animado se proporciona un nombre de archivo. Para crear el archivo se requiere de la libreria 'pillow' a ser instalado.
2. Algoritmo en Python - partícula
# FCNM-ESPOL-2015. Fisica con Python
# Una particula en recorrido circular
# propuesta: edelros@espol.edu.ec
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation
# INGRESO
T = 4 # periodo en segundos
x_t = lambda t: np.cos(2*np.pi*t/T)
y_t = lambda t: np.sin(2*np.pi*t/T)
# intervalos ejes x,y
x_a = -1.2 ; x_b =-x_a # simétricos a 0
y_a = -1.2 ; y_b =-y_a
fotos = 20 # muestras en un periodo
retardo = int(T/fotos*1000) # milisegundos entre fotogramas
narchivo = 'movimientocircular01' # archivo.gif
# PROCEDIMIENTO
# Inicializa valores de muestras
i = np.arange(0, fotos) # cuenta tramas
ti = np.linspace(0,T,fotos+1)
xi = x_t(ti)
yi = y_t(ti)
# SALIDA - Gráfica animada
figura, graf_xy = plt.subplots()
graf_xy.axis([x_a, x_b, y_a, y_b])
graf_xy.set_aspect('equal')
graf_xy.grid()
graf_xy.set_xlabel('x(t)')
graf_xy.set_ylabel('y(t)')
graf_xy.set_title('movimiento circular')
punto, = graf_xy.plot(xi[0], yi[0],'ro')
# cuadros de texto en gráfico
txt_x = (x_b+x_a)/2
txt_y = y_b*(1-0.09)
txt_ti = graf_xy.text(txt_x,txt_y,'t='+str(ti[0]),
horizontalalignment='center')
# Animación Nueva graf_xy (n frame)
def redibuja(i):
# actualiza el punto, [] porque es solo un valor
punto.set_xdata([xi[i]])
punto.set_ydata([yi[i]])
# actualiza texto
t_trama = np.around(ti[i],2)
txt_ti.set_text('t= '+str(t_trama))
return (punto,txt_ti)
def borrapizarra(): # limpiar gráfica
punto.set_ydata(np.ma.array(xi, mask=True))
txt_ti.set_text('')
return (punto,txt_ti)
# Animación coordina
ani = animation.FuncAnimation(figura, redibuja, i ,
init_func=borrapizarra,
interval = retardo, blit=True)
# Graba Archivo GIFAnimado y video, requiere 'pillow'
ani.save(narchivo+'_GIFanimado.gif',writer='pillow')
plt.show()
Otros ejercicios donde las animaciones son un complemento para mostrar resultados en otros cursos:
Método de la Bisección – Concepto - Métodos Numéricos
Ecuaciones Diferenciales Parciales Parabólicas - Métodos Numéricos
Gráfica animada para interpretar el Integral de convolución - Señales y Sistemas
3. Movimiento circular velocidad(t)
Gráfica y animación
Se añaden los componentes de velocidad por cada eje al algoritmo de movimiento circular de una partícula para obtener el resultado siguiente
v_x(t) = \dfrac{\delta}{\delta t} x(t) = -\dfrac{2\pi}{T}\sin \Big( \frac{2 \pi}{T}t \Big)
v_y(t) = \dfrac{\delta}{\delta t}y(t) = \dfrac{2\pi}{T}\cos\Big( \dfrac{2 \pi}{T}t \Big)
donde T es el periodo de la función.
Los vectores de velocidad son líneas que parten desde la posición de la partícula y se extienden en magnitud de cada componente de la velocidad
vx, = graf_xy.plot([xi[0],xi[0]+vxi[0]],
[yi[0],yi[0]],'*-.')
vy, = graf_xy.plot([xi[0],xi[0]],
[yi[0],yi[0]+vyi[0]],'*-.')en cada procedimiento redibuja(i) y borrapizarra() se incorpora el nuevo componente para actualizar las coordenadas y en la salida return().
Al incorporar los vectores de velocidad, se debe extender los intervalos de cada eje, con un exceso de 0.2 como espacio para mostrar el cuadro de texto para la variable tiempo.
4. Algoritmo en Python - velocidad
# FCNM-ESPOL-2015. Fisica con Python
# velocidad de una particula en recorrido circular
# propuesta: edelros@espol.edu.ec
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation
# INGRESO
T = 4 # periodo en segundos
x_t = lambda t: np.cos(2*np.pi*t/T)
y_t = lambda t: np.sin(2*np.pi*t/T)
# velocidades
v_x = lambda t: -(2*np.pi/T)*np.sin(2*np.pi*t/T)
v_y = lambda t: (2*np.pi/T)*np.cos(2*np.pi*t/T)
# intervalos ejes x,y
x_a = -1.8-.2 ; x_b =-x_a # simétricos a 0
y_a = -1.8-.2 ; y_b =-y_a
fotos = 40 # muestras en un periodo
retardo = int(T/fotos*1000) # milisegundos entre fotogramas
narchivo = 'movimientocircular02' # archivo.gif
# PROCEDIMIENTO
# Inicializa valores de muestras
i = np.arange(0, fotos) # cuenta tramas
ti = np.linspace(0,T,fotos+1)
xi = x_t(ti)
yi = y_t(ti)
vxi = v_x(ti)
vyi = v_y(ti)
# SALIDA - Gráfica animada
figura, graf_xy = plt.subplots()
graf_xy.axis([x_a, x_b, y_a, y_b])
graf_xy.set_aspect('equal')
graf_xy.grid()
graf_xy.set_xlabel('x(t)')
graf_xy.set_ylabel('y(t)')
graf_xy.set_title('movimiento circular')
punto, = graf_xy.plot(xi[0], yi[0],'ro')
# dibuja velocidad
velocidad, = graf_xy.plot([xi[0],xi[0]+vxi[0]],
[yi[0],yi[0]+vyi[0]],'*-')
vx, = graf_xy.plot([xi[0],xi[0]+vxi[0]],
[yi[0],yi[0]],'*-.')
vy, = graf_xy.plot([xi[0],xi[0]],
[yi[0],yi[0]+vyi[0]],'*-.')
# Dibuja trayectoria circular
trayecto = graf_xy.plot(xi,yi,linestyle='dotted')
# cuadros de texto en gráfico
txt_x = (x_b+x_a)/2
txt_y = y_b*(1-0.09)
txt_ti = graf_xy.text(txt_x,txt_y,'t='+str(ti[0]),
horizontalalignment='left')
# Animación Nueva graf_xy (n frame)
def redibuja(i):
# actualiza el punto
punto.set_xdata(xi[i])
punto.set_ydata(yi[i])
# actualiza velocidad
velocidad.set_xdata([xi[i],xi[i]+vxi[i]])
velocidad.set_ydata([yi[i],yi[i]+vyi[i]])
vx.set_xdata([xi[i],xi[i]+vxi[i]])
vx.set_ydata([yi[i],yi[i]])
vy.set_xdata([xi[i],xi[i]])
vy.set_ydata([yi[i],yi[i]+vyi[i]])
# actualiza texto
t_trama = np.around(ti[i],2)
txt_ti.set_text('t= '+str(t_trama))
return (punto,txt_ti,velocidad,vx,vy)
def borrapizarra(): # limpiar gráfica
punto.set_ydata(np.ma.array(xi, mask=True))
velocidad.set_ydata(np.ma.array(xi, mask=True))
vx.set_ydata(np.ma.array(xi, mask=True))
vy.set_ydata(np.ma.array(xi, mask=True))
txt_ti.set_text('')
return (punto,txt_ti,velocidad,vx,vy)
# Animación coordina
ani = animation.FuncAnimation(figura, redibuja, i ,
init_func=borrapizarra,
interval = retardo, blit=True)
# Graba Archivo GIFAnimado y video, requiere 'imagemagick'
ani.save(narchivo+'_GIFanimado.gif',writer='imagemagick')
plt.show()