Ejercicio: 3Eva2019TII_T3 Preparación de terreno en refinería
Se requiere usar el nivel inicial en la matriz, para restar del nivel requerido que es constante 220.
| Nivel inicio (m) | 0 | 50 | 100 | 150 | 200 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 241 | 239 | 238 | 236 | 234 |
| 25 | 241 | 239 | 237 | 235 | 233 |
| 50 | 241 | 239 | 236 | 234 | 231 |
| 75 | 242 | 239 | 236 | 232 | 229 |
| 100 | 243 | 239 | 235 | 231 | 227 |
lo que genera la matriz de diferencias. El valor es positivo indica remoción, el valor negativo indica por rellenar.
| Diferencia (m) | 0 | 50 | 100 | 150 | 200 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 21 | 19 | 18 | 16 | 14 |
| 25 | 21 | 19 | 17 | 15 | 13 |
| 50 | 21 | 19 | 16 | 14 | 11 |
| 75 | 22 | 19 | 16 | 12 | 9 |
| 100 | 23 | 19 | 15 | 11 | 7 |
El volumen se puede calcular por un método en cada fila, y luego los resultados por columnas por otro método o el mismo.
Por ejemplo Simpson de 1/3
con lo que se obtiene:
I_{fila}(0) = \frac{50}{3}(21 +4(19)+18) +\frac{50}{3}(18 +4(16)+14) = 3516.66 I_{fila}(25) = = \frac{50}{3}(21 +4(19)+17) + \frac{50}{3}(17 +4(15)+13) = 3400.0 I_{fila}(50) = \frac{50}{3}(21 +4(19)+16) + \frac{50}{3}(16 +4(14)+11) = 3266.66 I_{fila}(75) = \frac{50}{3}(22 +4(19)+16) + \frac{50}{3}(16 +4(12)+5) = 3116.66 I_{fila}(100) = \frac{50}{3}(23 +4(19)+15) + \frac{50}{3}(15 +4(11)+7) = 3000.0y usando el otro eje, se completa el volumen usando dos veces Simpson:
Volumen = \frac{h_y}{3}(f(x_0) +4f(x_1)+f(x_2)) Remover = \frac{25}{3}(3516.66 +4(3400.0)+3266.66) + + \frac{25}{3}(3266.66 +4(3116.66)+3000.0)=303972.22El signo lo trae desde la diferencia, y muestra el sentido del desnivel.
Se adjunta la gráfica de superficie en azul como referencia del signo, respecto al nivel requerido en color verde.
Error de truncamiento
la cota del error de truncamiento se estima como O(h5)
error_{trunca} = -\frac{h^5}{90} f^{(4)}(z)para un valor de z entre [a,b]
para cuantificar el valor, se puede usar la diferencia finita Δ4f, pues con la derivada sería muy laborioso.
Gráfica 3D del ejercicio
# refineria
import numpy as np
xi = [0,50,100,150,200]
yi = [0,25,50,75,100]
nivel= [[241, 239, 238, 236, 234],
[241, 239, 237, 235, 233],
[241, 239, 236, 234, 231],
[242, 239, 236, 232, 229],
[243, 239, 235, 231, 227]]
nRequerido = 220
hx = 50
hy = 25
# PROCEDIMIENTO
# Matrices como arreglo, numeros reales
xi = np.array(xi,dtype=float)
yi = np.array(yi,dtype=float)
A = np.array(nivel,dtype=float)
tamano = np.shape(A) # tamaño A
n = tamano[0]
m = tamano[1]
nivel0 = nRequerido*np.ones((n,m),dtype=float)
X, Y = np.meshgrid(xi, yi)
# GRAFICA
import matplotlib.pyplot as plt
fig3D = plt.figure()
graf3D = fig3D.add_subplot(111, projection = '3d')
graf3D.plot_wireframe(X,Y,A)
graf3D.scatter(X,Y,A, label='Nivel suelo')
graf3D.plot_wireframe(X,Y,nivel0, color='green',
label='Referencia')
graf3D.set_title('Nivel')
graf3D.set_xlabel('xi')
graf3D.set_ylabel('yj')
graf3D.set_zlabel('Altura')
graf3D.legend()
graf3D.view_init(35, -45)
plt.tight_layout()
plt.show()