1Eva_2024PAOI_T1 Vaciado de reservorio semiesférico

1ra Evaluación 2024-2025 PAO I. 2/Julio/2024

Tema 1. (30 puntos) Un reservorio semiesférico de radio R = 3 m, está lleno agua hasta la altura h como se muestra en la figura. En la base tiene un tubo de salida con abertura de área a = 0.01 m². El coeficiente de fricción hidráulico K = 0.85   g = 9.8 m/s².

Se requiere que el reservorio se vacíe en menos de t_f = 15 min.
La ecuación diferencial para el vaciado de tanques es:

$A(h)\frac{dh}{dt} = -Ka\sqrt{2gh}$

Considerando la relación de la altura del líquido h con
respecto al radio R de la semiesfera: $r^2 + \Big( R-h\Big)^2 = R^2$
Y el Área del círculo en función de h: $A(h) = \pi \Big(2Rh -h^2 \Big)$

se encuentra la solución general en la expresión:

$\frac{4}{3}R \Big(h_f^{3/2} - h_0^{3/2} \Big) - \frac{2}{5}\Big(h_f^{5/2} - h_0^{5/2} \Big) = \frac{Ka}{\pi}\sqrt{2g}\Big(t_0-t_f \Big)$

Dado que se vacía el reservorio, h_f = 0 y que el experimento inicia en t₀=0, h₀ =h y t_f=t, la expresión se simplifica:

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$-\frac{4}{3}R h^{3/2} + \frac{2}{5} h^{5/2} = -\frac{Ka}{\pi} t \sqrt{2g}$

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a. Plantear el ejercicio para encontrar h para un t dado, muestre el intervalo de búsqueda y una gráfica.

b. Desarrolle usando el método de Newton-Raphson para tres iteraciones y tolerancia milimétrica.

c. Verifique el orden de convergencia y observe sus resultados usando el algoritmo.

Nota: la gravedad g tiene unidades de segundos, el tiempo de vaciado está en minutos.

Rúbrica: Planteamiento (5 puntos), iteraciones y error (15 puntos), análisis de la convergencia (5 puntos). observación de resultados, algoritmo y gráficas adjuntos (5 puntos).

Referencia:
[1] Ejercicio 25.21 p765 y 5.17. p143 Steven C. Chapra. Numerical Methods 7th Edition.
[2] Vaciado de un tanque semiesférico. Tiempo total de vaciado. Demostración y aplicación. Sebastian Rodriguez