1ra Evaluación 2025-2026 PAO I. 1/Julio/2025

Tema 1 (35 puntos) Para viajes largos en un vehículo normalmente se recarga combustible luego de un tramo largo de recorrido.

Para los viajes de exploración al espacio, se ha propuesto disponer de estaciones orbitales de recarga de combustible (Tank). Esto permite el lanzamiento de cohetes con naves de exploración (Starship) más ligeros desde la superficie del planeta [1].

Usando un modelo simplificado y adimensional, la trayectoria orbital (T_x(t),T_y(t)) de la estación cisterna se describe mediante un círculo centrado en el origen.

T_x (t) = 2\sin(3.5t) T_y (t) = 2\cos(3.5t) S_x (t) = 3.2(t+k)+4.1(t+k)^2 S_y (t) = 2 - 2e^{(-9t)} 0 ≤ t ≤ (π/7)

Una nave de exploración hacia otro planeta tiene una trayectoria (S_x(t,k),S_y(t)) con parámetro k. El parámetro corresponde a un retraso o adelanto en tiempo de inicio de las maniobras de desplazamiento en el eje x.

Encuentre el valor de k que permite acercar el cohete a la estación orbital de recarga para repostar combustible.

El acercamiento debe ser suficiente para realizar maniobras de acople, con tolerancia de 0.001

a. Plantear el ejercicio para el eje y. Luego con el resultado en t, continuar con el eje x.

b. Indique y verifique el intervalo [a,b] para el tiempo t de acercamiento en el eje y.

c. Desarrolle al menos tres iteraciones usando el método de Newton-Raphson, las expresiones deben ser completas en cada iteración, con los valores usados en cada una.

d. Indique el error en cada iteración.

e. Describa si el método converge y observe los resultados de las iteraciones realizadas.

f. Encuentre el valor de k, usando otro método con el valor de la raíz t encontrado. Muestre los resultados.txt y gráficas.png realizadas con el algoritmo.py. Adjunte todos los archivos en aula virtual.

Rúbrica: literal a(5 puntos), literal b(5 puntos), literal c(10 puntos), literal d(5 puntos), literal e(5 puntos), literal f (5 puntos).

Referencia: [1] Cómo SpaceX planea cargar combustible en el espacio para llegar a Marte con Starship. Esandotech. 12 febrero 2025.

https://www.youtube.com/shorts/Ml9PzEQgrrU

[2] SpaceX Found Brilliant Solution for Starship Refueling Problem!. Space Zone. 12 Junio 2025.