Ejercicio: 2Eva_2025PAOI_T2 EDO Modelo económico de Solow-Swan

El modelo de crecimiento económico de Solow-Swan describe cómo el capital por trabajador k cambia con el tiempo dk/dt .

\frac{\delta k}{\delta t} = s f(k) -(d+n)k

f(k) = k^{\alpha}

literal a

La EDO es de primera derivada o primer orden, en la que se sustituyen los valore de las constantes y f(k)

f(t,k) = \frac{\delta k}{\delta t} = 0.15 k ^{0.3}-(0.05+0.015)k

Tiene como variable independiente el tiempo t, y como variable dependiente k.

Para evitar repetir la variable k en el algoritmo junto a Runge-Kutta, se cambia la variable por x:

f(t,y) = 0.15 y ^{0.3}-(0.05+0.015)y

literal b

Desarrolle tres iteraciones con expresiones completas para k(t) con tamaño de paso h=0.2 meses, que se aplica al algoritmo EDO dy/dx con Runge-Kutta de 2do Orden

K_1 = h f(t_i,y_i)

K_2 = h f(t_i+h, y_i + K_1)

y_{i+1} = y_i + \frac{K_1+K_2}{2}

t_{i+1} = t_i + h

itera=0, ti= 0, yi=k(0)=1

K_1 = 0.2 \left( 0.15 (1) ^{0.3}-(0.05+0.015)(1) \right) =0.017

K_2 = 0.2 \left( 0.15 (1+0.017) ^{0.3}-(0.05+0.015)(1+0.017) \right) =0.016931

y_{1} = 1+ \frac{0.017+0.016931}{2} = 1.016966

t_{1} = 0 + 0.2 = 0.2

itera = 1

K_1 = 0.2 \Big( 0.15 (1.016966) ^{0.3}

-(0.05+0.015)(1.016966) \Big) =0.016931

K_2 = 0.2 \Big( 0.15 (1.016966+0.016931) ^{0.3}

-(0.05+0.015)(1.016966+0.016931) \Big)=0.016861

y_{2} = 1.016966 + \frac{0.016931+0.016861}{2} =1.033862

t_{2} = 0.2 + 0.2 = 0.4

itera = 2

K_1 = 0.2 \left( 0.15 (1.033862) ^{0.3}-(0.05+0.015)(1.033862) \right) =0.016861

K_2 = 0.2 \Big( 0.15 (1.033862+0.016861) ^{0.3}

-(0.05+0.015)(1.033862+0.016861) \Big)=0.016789

y_{3} = 033862 + \frac{0.016861+0.016789}{2}

t_{3} = 0.4 + 0.2 = 0.6

Resultados con el algoritmo:

EDO dy/dx con Runge-Kutta 2 Orden
i, [xi,     yi,     K1,    K2]
0 [0. 1. 0. 0.]
1 [0.2      1.016966 0.017    0.016931]
2 [0.4      1.033862 0.016931 0.016861]
3 [0.6      1.050687 0.016861 0.016789]
4 [0.8      1.06744  0.016789 0.016716]
5 [1.       1.084119 0.016716 0.016642]
6 [1.2      1.100723 0.016642 0.016567]
7 [1.4      1.117252 0.016567 0.01649 ]
8 [1.6      1.133703 0.01649  0.016413]
9 [1.8      1.150077 0.016413 0.016334]
10 [2.       1.166371 0.016334 0.016255]
...
295 [5.900000e+01 3.121417e+00 1.647361e-03 1.632629e-03]
296 [5.920000e+01 3.123042e+00 1.632695e-03 1.618093e-03]
297 [5.940000e+01 3.124653e+00 1.618158e-03 1.603683e-03]
298 [5.960000e+01 3.126249e+00 1.603748e-03 1.589400e-03]
299 [5.980000e+01 3.127832e+00 1.589464e-03 1.575241e-03]
300 [6.000000e+01 3.129400e+00 1.575305e-03 1.561206e-03]

gráfica para 60 periodos completos con h=0.2

# EDO dy/dx. M todo de RungeKutta 2do Orden 
# estima la solucion para muestras espaciadas h en eje x
# valores iniciales x0,y0, entrega tabla[xi,yi,K1,K2]
import numpy as np

def rungekutta2(d1y,x0,y0,h,muestras,
                vertabla=False,precision=6):
    '''solucion a EDO dy/dx, con Runge Kutta de 2do orden
    d1y es la expresi n dy/dx, tambien planteada como f(x,y),
    valores iniciales: x0,y0, tama o de paso h.
    muestras es la cantidad de puntos a calcular. 
    '''
    tamano = muestras + 1
    tabla = np.zeros(shape=(tamano,2+2),dtype=float)
    tabla[0] = [x0,y0,0,0] # incluye el punto [x0,y0]
    
    xi = x0 # valores iniciales
    yi = y0
    for i in range(1,tamano,1):
        K1 = h * d1y(xi,yi)
        K2 = h * d1y(xi+h, yi + K1)

        yi = yi + (K1+K2)/2
        xi = xi + h
        
        tabla[i] = [xi,yi,K1,K2]
       
    if vertabla==True:
        np.set_printoptions(precision)
        print( 'EDO dy/dx con Runge-Kutta 2 Orden')
        print('i, [xi,     yi,     K1,    K2]')
        for i in range(0,tamano,1):
            print(i,tabla[i])

    return(tabla)

# PROGRAMA PRUEBA -------------------

# INGRESO
# d1y = y' = f, d2y = y'' = f'
d1y = lambda t,k: 0.15*k**(0.3)-(0.05+0.015)*k
x0 = 0
y0 = 1
h  = 0.2
muestras = int(60/h)

# PROCEDIMIENTO
tabla = rungekutta2(d1y,x0,y0,h,muestras,
                    vertabla=True)
xi = tabla[:,0]
yiRK2 = tabla[:,1]

# SALIDA
#print(' [xi, yi, K1, K2]')
#print(tabla)

# GRAFICA
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(xi,yiRK2)
plt.plot(xi[0],yiRK2[0],
         'o',color='r', label ='[t0,k0]')
##plt.plot(xi[1:],yiRK2[1:],
##         'o',color='m',
##         label ='[xi,yi] Runge-Kutta')
plt.title('EDO dk/dt: Solow-Swan')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('k')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

.