Ejercicios - Evaluaciones (324)
Ejemplos - Soluciones (146)
Categoría: Evaluaciones
Ejercicios de examen
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3Eva_2025PAOI_T3 EDP elíptica con f(x,y)
3ra Evaluación 2025-2026 PAO I. 9/Septiembre/2025
Tema 3 (35 puntos) Use el método de diferencias finitas divididas para la ecuación diferencial parcial, también conocida como Poisson, para aproximar la solución de:
\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = x e^{y}
0 < y < 1 u(0,y) = 0 u(2,y) = 2ey 0 < x < 2 u(x,0) = x u(x,1) = xe1 Utilice diferencias finitas para las variables independientes x,y
Considere la cantidad de tramos por eje como n=6 en x, m=5 en y, con tolerancia de 10-5.
a. Plantee las ecuaciones discretas a usar un método numérico en un nodo xi, yj
b. Realice la gráfica de malla, detalle los valores de i, j, xi, yj
c. Desarrolle y obtenga el modelo discreto para u(xi,yj)
d. Determine el valor de Lambda λ
e. Adjunte los archivos del algoritmo.py, resultados.txt, gráficas.png
Rúbrica: Selección de diferencias finitas divididas (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)
Referencia: Burden 10Ed ejemplo 12.2 p550
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3Eva_2025PAOI_T2 Sistema de ecuaciones con Jacobi
3ra Evaluación 2025-2026 PAO I. 9/Septiembre/2025
Tema 2 (35 puntos) Para el sistema de ecuaciones mostrado, encuentre la solución usando el método de Jacobi usando como vector cero como inicial.
x1 − x2 + x3 + 3x4 = 1
x1 + 4x2 − x3 − x4 = −1
−x1 − x2 + 5x3 + x4 = 0
4x1 + x2 − x3 + x4 = −2a. Presente la matriz aumentada y Muestre los pasos para el pivoteo parcial por filas.
b. Desarrolle las expresiones para resolver mediante el método iterativo de Jacobi.
c. Realice al menos 3 iteraciones con expresiones completas, indicando el error por iteración.
d. Analice la convergencia del método y resultados obtenidos.
e. Determine el número de condición y comente su relación sobre los resultados.
f. Adjunte los archivos del algoritmo y resultados de computadora utilizados.
Rúbrica: Literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos). literal e (5 puntos). literal f (5 puntos)
Referencia: Burden 9Ed ejercicio 7.3.c p459
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3Eva_2025PAOI_T1 Crecimiento de población con migracion
3ra Evaluación 2025-2026 PAO I. 9/Septiembre/2025
Tema 1 (35 puntos) A menudo, el crecimiento de una población se puede modelar sobre periodos breves al asumir que aumenta de manera continua con el tiempo a una tasa proporcional al número actual en ese momento.
N(t) = N_0 e^{\lambda t} + \frac{v}{\lambda}\left( e^{\lambda t} -1 \right)
Si se permite inmigración a una tasa constante v, la ecuación N(t) mostrada estima el número de la población en el tiempo t.
Suponga λ denota la tasa constante de natalidad. En un inicio, cierta población tiene N(0)=1 millón de personas, que v=124000 personas inmigran a la comunidad durante el primer año. Que al final del primer año N(1)=1364000. Encuentre la tasa de natalidad λ para el primer año.
a. Plantear el ejercicio para el eje λ o variable independiente
b. Indique y verifique el intervalo [a,b] a usar en el ejercicio
c. Desarrolle al menos tres iteraciones usando un método para búsqueda de raíces, las expresiones deben ser completas en cada iteración, con los valores usados en cada una.
d. Indique el error en cada iteración.
e. Describa si el método converge y observe los resultados de las iteraciones realizadas.
f. Adjunte en “aulavirtual” los resultados.txt y gráficas.png realizadas con el algoritmo.py
Nota: Si la mitad de la población son mujeres y todas pudiesen tener un hijo, la tasa de natalidad en un periodo de gestación de un año será como máximo del 50 por ciento (0.5).
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos), literal f (5 puntos).
Referencia:[1] Burden 10Ed ejemplo 1 p35
[2] https://revistacomunicacion.com/2022/03/07/imagenes-y-representaciones-visuales-de-la-migracion%EF%BF%BC/
[3] Planeta Tierra – Población, ciudades y migración (Cap. 8). La Casa Encendida. 2 abril 2020. https://www.youtube.com/watch?v=h2spokNWN50
[4] Migrantes, la gran mayoría latinos, colapsan la Gran Manzana- DW español. 22-Sept-2023.
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2Eva_2025PAOI_T3 EDP Elíptica, distribución de potencial
2da Evaluación 2025-2026 PAO I. 26/Agosto/2025
Tema 3 (30 puntos) Un cuadrado dieléctrico de 2 cm de lado donde los bordes están a tierra, 0 Voltios, y el vértice opuesto está a 80V. Calcular la distribución de potencial, suponiendo que la densidad de carga f(x,y) es nula.
\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} =0
Condiciones de contorno se muestran junto con la ecuación diferencial parcial
\phi (x,0) = \phi(0,y)=0
\phi (x,2) = 40x
\phi (2,y) = 40y
Suponiendo que se satisface la ley de Ohm, considere Δx=Δy=1/4
Utilice diferencias finitas para las variables independientes x,ya. Plantee las ecuaciones discretas a usar un método numérico en un nodo i,j
b. Realice la gráfica de malla, detalle los valores de i, j, xi, yj
c. Desarrolle y obtenga el modelo discreto para Φ(xi,yj)
d. Determine el valor de Lambda λ
e. Adjunte los archivos del algoritmo.py, resultados.txt, gráficas.pngRúbrica: Selección de diferencias finitas divididas (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)
Referencia: Chapter 13: Partial Differential Equations (Part 2 - Elliptic PDEs). Lindsey Westover. 18 Marzo 2021.
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2Eva_2025PAOI_T2 EDO Modelo económico de Solow-Swan
2da Evaluación 2025-2026 PAO I. 26/Agosto/2025
Tema 2 (35 puntos) El modelo de crecimiento económico de Solow-Swan describe cómo el capital por trabajador k cambia con el tiempo dk/dt.
\frac{\delta k}{\delta t} = s f(k) -(d+n)k
f(k) = k^{\alpha}
El cambio del capital por trabajador depende de la inversión, la depreciación d y el crecimiento de la población n.
El primer término aumenta el capital por medio de la inversión por trabajador, s es la tasa de ahorro y f(k) es la función de producción.El siguiente término disminuye el capital por la depreciación d de equipos, junto con el capital necesario para equipar a los nuevos trabajadores n.
Una propiedad en el modelo de Solow indica que el capital por unidad de trabajo efectivo f(k) muestra rendimientos marginales decrecientes del capital.En países desarrollados α=0.3, mostrando que el 30% del ingreso nacional total se atribuye al factor de producción de capital como edificios, maquinaria y equipos, mientras que el 70% restante se atribuye al factor de producción trabajo, sueldos y salarios. Considere s=0.15, d=0.05, n=0.015, k(0)=1.
a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden
b. Desarrolle tres iteraciones con expresiones completas para k(t) con tamaño de paso h=0.2 meses
c. Realice una observación sobre el resultado, a lo largo del tiempo para al menos 60 meses usando el algoritmo.
d. Adjunte algoritmo.py, resultado.txt y gráfica.png.Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (20 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos)
Referencia: [1] Solow-Swan Model. Sean McClung. 8 abril 2025. https://inomics.com/terms/solow-swan-model-1548564
[2] Modelo de crecimiento de Solow. https://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_crecimiento_de_Solow
[3] The Solow Model and the Steady State. Marginal Revolution University. Apr 12, 2016. https://www.youtube.com/watch?v=LQR7rO-I96A
[4] Human Capital & Conditional Convergence. Marginal Revolution University. Apr 26, 2016. https://www.youtube.com/watch?v=SVWX4Xjl4Os
[5] The Solow Model and Ideas. Marginal Revolution University. May 3, 2016. -
2Eva_2025PAOI_T1 coordenadas centroide por integración numérica
2da Evaluación 2025-2026 PAO I. 26/Agosto/2025
Tema 1 (35 puntos) Un centroide es un promedio ponderado, como el centro de gravedad, pero ponderado con una propiedad geométrica como el área o el volumen, y no con una propiedad física como el peso o la masa.
Esto significa que los centroides son propiedades de formas puras, no de objetos físicos. Para el caso particular dado en f(x), los resultados de los integrales permiten obtener las coordenadas del punto medio:
\bar{x} = \frac{Q_y}{A} \bar{y} = \frac{Q_x}{A} Q_y = \int x dA = \int_0^5 x^3 dx Q_x = \int ydA = \int_0^5 \frac{x^4}{2} dx A = \int f(x) dx = \int_0^5 x^2 dx Donde Qx, Qy corresponden al primer momento de área con respecto a cada eje. Realice el planteamiento de los integrales considerando que:
a. Para el integral con Qy use fórmulas de Simpson con al menos 3 tramos, mientras que
b. Para el integral con Qx use Cuadratura de Gauss de dos puntos.
c. Desarrolle las expresiones completas del ejercicio para cada función. Para A seleccione el método numérico de su preferencia.
d. Indique el resultado obtenido para el integral requerido y la cota de error.
e. Determine las coordenadas del centroide según las fórmulas presentadas.
f. Adjunte algoritmo.py, resultado.txt y gráfica.png.
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos), literal f (5 puntos)
Referencia: [1] Engineering Statics Open and Interactive. Daniel W. Baker, William Haynes. https://engineeringstatics.org/Chapter_07-centroids.html
[2] Centroide de una parábola mediante integración. Ingeniería elemental. 13 octubre 2022.
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1Eva_2025PAOI_T3 Ruta de avistamiento ballenas
1ra Evaluación 2025-2026 PAO I. 1/Julio/2025
Tema 3 (30 puntos) El avistamiento de ballenas es una actividad popular en Ecuador que atrae a miles de turistas cada año.
Puerto López, en la provincia de Manabí, a 219 kilómetros de Guayaquil, es uno de los epicentros de esta actividad.
Esta pequeña localidad costera celebra anualmente el Festival de Observación de Ballenas Jorobadas.El evento busca promover el turismo y la importancia de la conservación marina.
Usando los registros de coordenadas (relativas x,y)donde se han observado las ballenas, realice el trazado de una ruta de avistamiento turístico siguiendo el viaje de las ballenas.
Los puntos registrados son:
x 1.03 2.2 3.6 4.24 5.3 y -0.5 0.7 4.1 2.3 0.1 a. Describa el planteamiento del ejercicio, justificando el grado del polinomio seleccionado.
b. Realice el desarrollo analítico para la ruta de avistamiento, usando interpolación de Lagrange
c. Presente el polinomio simplificado usando el algoritmo.
d. Verifique que el polinomio pasa por los puntos usados para el planteamiento usando una gráfica. Observe y comente sus resultados
e. Adjunte algoritmo.py, resultados.txt y gráfica.png en “aulavirtual”.
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)
xi = [ 1.03, 2.2, 3.6, 4.24, 5.3] yi = [-0.5 , 0.7, 4.1, 2.3, 0.1]
Referencia: [1] Turistas asombrados por avistamiento de ballena blanca en la costa de Ecuador. Teleamazonas.com. 24-junio-2025 https://www.teleamazonas.com/tendencias/turistas-asombrados-avistamiento-ballena-blanca-costa-ecuador-97688/
[2] El impresionante viaje de las ballenas jorobadas a Ecuador. Yalilé Loaiza, Infobae. 30 junio 2024. https://www.infobae.com/america/america-latina/2024/06/30/el-impresionante-viaje-de-las-ballenas-jorobadas-a-ecuador/
[3] Primer avistamiento de una ballena blanca en Ecuador. Televistazo-Ecuavisa. 24-Junio-2025.
[4] Inicia temporada de avistamiento de ballenas en la costa. Televistazo-Ecuavisa.18-junio-2024.
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1Eva_2025PAOI_T2 Cables de cámara aérea
1ra Evaluación 2025-2026 PAO I. 1/Julio/2025
Tema 2 (35 puntos) La cámara aérea en los estadios permite “volar” sobre la cancha durante eventos televisados.
Una cámara se desplaza hasta 36Km/h [1], operada por el navegador que controla la posición y camarógrafo que enfoca la imagen en una dirección [3].Para un sistema de 3 poleas con cables de soporte, las tensiones en estado de equilibrio sobre una posición dada se expresan:
AB=(55,14,0) AC=(0,14,-32) AD=(-60,14,36) |AB|=56.75 |AC|=34.93 |AD|=71.36 \sum F_x =0
\frac{55}{56.75} T_{AB} - \frac{60}{71.36} T_{AD}=0
\sum F_y =0
\frac{14}{56.75} T_{AB} + \frac{14}{34.93} T_{AC} + \frac{14}{71.36} T_{AD}-490=0
\sum F_z =0
-\frac{32}{34.93} T_{AC} + \frac{36}{71.36} T_{AD}=0
a. Presente la matriz aumentada y Muestre los pasos para el pivoteo parcial por filas.
b. Desarrolle las expresiones para resolver mediante el método iterativo de Jacobi. Considere que al menos cada cable soporta la tercera parte de la cámara.
c. Realice al menos 3 iteraciones con expresiones completas, indicando el error por iteración.
d. Analice la convergencia del método y resultados obtenidos.
e. Determine el número de condición y comente su relación sobre los resultados.
f. Adjunte los archivos del algoritmo y resultados de computadora utilizados.
Rúbrica: Literal a(5 puntos), literal b(5 puntos), literal c(10 puntos), literal d(5 puntos). literal e(5 puntos). literal f (5 puntos)
Referencia: [1] Vuela más veloz que el jugador más rápido. Así funciona la supercámara. El país. 29-septiembre-2019. https://elpais.com/deportes/2019/09/29/es_laliga/1569751863_453539.html
[2] Así funciona la cámara que revolucionó LaLiga. El país. 29-septiembre-2019.
[3] Skycam. The Henry Ford's Innovation Nation. 18-Agosto-2015.
[4] Estática-Equilibrio partícula en 3D - ejercicio 2-136. Beer and Jhonston 9 Edición. Profe Jn el canal del ingeniero. https://www.youtube.com/watch?v=WFNzzHPXxq8
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1Eva_2025PAOI_T1 Recargar combustible en órbita
1ra Evaluación 2025-2026 PAO I. 1/Julio/2025
Tema 1 (35 puntos) Para viajes largos en un vehículo normalmente se recarga combustible luego de un tramo largo de recorrido.
Para los viajes de exploración al espacio, se ha propuesto disponer de estaciones orbitales de recarga de combustible (Tank). Esto permite el lanzamiento de cohetes con naves de exploración (Starship) más ligeros desde la superficie del planeta [1].Usando un modelo simplificado y adimensional, la trayectoria orbital (Tx(t),Ty(t)) de la estación cisterna se describe mediante un círculo centrado en el origen.
T_x (t) = 2\sin(3.5t)
T_y (t) = 2\cos(3.5t)
S_x (t) = 3.2(t+k)+4.1(t+k)^2
S_y (t) = 2 - 2e^{(-9t)}
0 ≤ t ≤ (π/7)
Una nave de exploración hacia otro planeta tiene una trayectoria (Sx(t,k),Sy(t)) con parámetro k. El parámetro corresponde a un retraso o adelanto en tiempo de inicio de las maniobras de desplazamiento en el eje x.
Encuentre el valor de k que permite acercar el cohete a la estación orbital de recarga para repostar combustible.El acercamiento debe ser suficiente para realizar maniobras de acople, con tolerancia de 0.001
a. Plantear el ejercicio para el eje y. Luego con el resultado en t, continuar con el eje x.b. Indique y verifique el intervalo [a,b] para el tiempo t de acercamiento en el eje y.
c. Desarrolle al menos tres iteraciones usando el método de Newton-Raphson, las expresiones deben ser completas en cada iteración, con los valores usados en cada una.
d. Indique el error en cada iteración.
e. Describa si el método converge y observe los resultados de las iteraciones realizadas.
f. Encuentre el valor de k, usando otro método con el valor de la raíz t encontrado. Muestre los resultados.txt y gráficas.png realizadas con el algoritmo.py. Adjunte todos los archivos en aula virtual.
Rúbrica: literal a(5 puntos), literal b(5 puntos), literal c(10 puntos), literal d(5 puntos), literal e(5 puntos), literal f (5 puntos).
Referencia: [1] Cómo SpaceX planea cargar combustible en el espacio para llegar a Marte con Starship. Esandotech. 12 febrero 2025.
https://www.youtube.com/shorts/Ml9PzEQgrrU
[2] SpaceX Found Brilliant Solution for Starship Refueling Problem!. Space Zone. 12 Junio 2025.
