Curso con Python – MATG1052-FCNM-ESPOL
Ejercicios de examen
Tema 4 (10 puntos) Para la expresión mostrada, realice la integración por el método de cuadratura de Gauss de dos puntos. Use al menos dos tramos en el intervalo mostrado.
a. Planteamiento del ejercicio usando dos tramos
b. Expresiones y valores completos
c. Resultados de la expresión
Rúbrica: literal a (2 puntos), literal b (5 puntos), literal c (3 puntos)
Referencia: en Tema 1. Revisar imagen en tema 2
Tema 3 (30 puntos) El efecto Allee es un proceso biológico identificado en la década de 1930 que describe por una correspondencia entre la densidad o el tamaño de la población y la aptitud física individual media.
Se cree que es muy común y se produce en regiones escasamente pobladas. Poblaciones muy pequeñas pueden tener dificultades para defenderse de los depredadores, encontrar pareja o localizar comida.
Donde r = 0.7 es la tasa intrínseca de crecimiento, A=50 es la capacidad de alojamiento del medio, y K=10 es una constante que representa el valor mínimo de la población por debajo del cual se extingue.
a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden.
b. Desarrolle tres iteraciones para x(t) con tamaño de paso h=0.2, con expresiones completas y valores usados.
c. Realice una observación sobre el crecimiento de población x(t), a lo largo del tiempo usando los resultados del literal c.
d. Opcional Adjunte los resultado.txt y gráfica.png realizadas con el algoritmo.py
Rúbrica: literal a (8 puntos), literal b (15 puntos), literal c (7 puntos), literal d (5 puntos).
Referencia: [1] Ecuaciones diferenciales y dinámica de poblaciones. Dpto de Análisis matemático- Universidad de Granada. página3. Revisado en enero 2025. https://www.ugr.es/~fjperez/textos/Tema_6_EEDD_y_Dinamica_de_Poblaciones.pdf
[2] Allee Effect. Wikipedia. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Allee_effect
[3] How the Allee Effect hurts endangered populations | Mongabay Explains. Mongabay. 10 abril 2020.
Tema 2 (25 puntos) 
En vuelo nocturno, un helicóptero debe pasar por los puntos de referencia (xi,yi) mostrados.
El vuelo se realiza de forma semejante a lo descrito en el tema anterior con altura zi constante y bajo el control del piloto.
xi = [0. , 2.50, 3.75, 5.00, 6.25, 7.5 ] yi = [3.7 , 3.25, 4.05, 4.33, 2.95, 3.22]
a. Plantee y desarrolle un polinomio P3(x) de grado 3, que describa la trayectoria para y(x) en todo intervalo. Las expresiones y tablas para el desarrollo deben ser completas mostrando los valores usados.
b. Verifique que P(x) pase por los puntos seleccionados de la muestra.
c. Calcule el error sobre el o los datos que no se usaron en el intervalo.
d. Escriba sus conclusiones y recomendaciones sobre los resultados obtenidos.
e. Encuentre el valor del error usando la expresión para y(x) dada en el tema 1 y P(5),
f. Opcional: Adjunte los archivos en aula virtual para: gráfica.png de P(x), resultados.txt con el algoritmo.py
Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (4 puntos), literal c (5 puntos), literal d (6 puntos), literal f (5 puntos) por considerar en calificación total.
Referencia: en Tema 1
Tema 1 (35 puntos)
Durante el procedimiento automático de aterrizaje nocturno de un avión comercial, un helicóptero se desplazaba en vuelo bajo cerca de las riberas del río en los límites del aeropuerto.
Lamentablemente se produjo una colisión entre las aeronaves.
Para un análisis del accidente de dispone de las trayectorias de las aeronaves descritas según las ecuaciones siguientes:
| Avión | Helicóptero |
| Ax(t) = 5.1 | Hx(t) = 0.5t |
| Ay(t) = 0.4t | Hy(t) = sin(0.1t)cos(0.7t)+3.7 |
| Hz(t) = 0.36 |
a. Plantear el ejercicio para encontrar el tiempo t cuando la distancia entre aeronaves es mínima.
b. Muestre y verifique el intervalo de tiempo para la búsqueda [a,b].
c. Desarrolle al menos tres iteraciones usando uno de los métodos para encontrar raíces de ecuaciones. En cada iteración, las expresiones deben ser completas, con los valores correspondientes.
d. Indique y describa la tolerancia usada y el error en cada iteración.
e. Justifique la convergencia del método. ¿Qué puede interpretar sobre los valores de distancia mínima?
f. Opcional: Encuentre las coordenadas de choque entre las dos aeronaves, muestre la gráfica de y(t), los resultados.txt con el algoritmo. Adjunte los archivos en aula virtual.
Nota: Un avión comercial mide aproximadamente 70 m de longitud, 65 m de envergadura, altura de 19 m. Un helicóptero semejante al del caso tiene longitud de 11 metros y diámetro de rotor principal 13 metros, altura de 4 m.
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (15 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos), literal f, considerar en calificación total.
Referencia: [1] ¿Por qué chocaron el avión y el helicóptero en Washington? Esto dicen las investigaciones hasta ahora. CNN. https://cnnespanol.cnn.com/2025/01/31/eeuu/choque-avion-helicoptero-investigaciones-trax
[2] How the Washington DC plane crash unfolded. Guardian News. 31 Enero 2025. https://www.youtube.com/watch?v=ZEKwbyo61W8
[3] Examining the Minutes Before the D.C. Air Disaster | Visual Investigation. The New York Times. 5 Febrero 2025.
[4] Plane Crash with Black Hawk Helicopter Explained. AiTelly. 30 Enero 2025.
Tema 3. (35 puntos) Considere la ecuación diferencial parcial, tipo elíptica descrita sobre una placa en el plano x,y:
0≤x≤1 ; 0≤y≤1.5
Con condiciones en frontera en los intervalos definidos para una placa.
u(0, y) = 0 ; u(1, y) = 0
u(x, 0) = 0
u(x, 1.5) = 100 sin(πx)
Utilice diferencias finitas para las variables independientes x,y
a. Plantee las ecuaciones discretas a usar un método numérico en un nodo i,j
b. Realice la gráfica de malla, detalle los valores de i, j, xi, yj
c. Desarrolle y obtenga el modelo discreto para u(xi,yj)
d. Determine el valor de Lambda λ, considerando Δx = 1/4 , Δy = 1/8
e. Desarrolle la ecuación para al menos tres nodos i,j diferentes y consecutivos.
f. (Extra) Estime el error de u(xi,tj) y adjunte los archivos del algoritmo.py, resultados.txt, gráficas.png
Rúbrica: Selección de diferencias finitas divididas (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), literal e (15 puntos). literal f extra (5 puntos)
Referencia: Chapter 13: Partial Differential Equations (Part 2 – Elliptic PDEs). Lindsey Westover. 18 Marzo 2021. https://youtu.be/0eI5zrhtEjE?si=a8rQhpEEirvMBC26&t=633
Tema 2 (35 puntos) Suponga que en un país democrático existen dos tendencias políticas identificadas por los colores Azul y Rojo [1,3].
Al inicio, la gran mayoría de la población tiene preferencia “Azul”. Los hijos que nacen en población Azul se educan e identifican con la tendencia política Azul. Sin embargo, algunos jóvenes al encontrarse con las ideas de los Rojos cambian su preferencia política a Rojo e incluso se mudan hacia provincias o estados donde predomina una tendencia.
Las provincias donde predominan los Rojos comienzan a crecer no solo por los nacimientos y educación en familias Rojas, sino también por las mudanzas, lo que podría a cambiar la balanza en las votaciones “democráticas” de gobierno. Se observa que las provincias predominantemente Rojas tienen un costo de vida menor aunque con expectativa de vida menor [2], sin embargo las tendencias de cambio se mantienen.
En un modelo de Rashevsky modificado con la ecuación logística de Verhulst [4], la población anual del país se describe con x(t), con tasas de natalidad a = 0.018 y mortalidad b = 0.012
x(0)=2
La población de Rojos es minoría y se describe con y(t).
y(0)=0.5
Sin embargo los jóvenes descendientes de los Azules al meditar sobre la situación actual del país, como protesta, cambian su tendencia política hacia los Rojos, a tasa de 0.19 de jóvenes descendientes “Azules”.
a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden.
b. Desarrolle tres iteraciones con expresiones completas para x(t), y(t) con tamaño de paso h=0.5.
c. Realice una observación sobre el crecimiento de población del país, x(t), a lo largo del tiempo usando los resultados del literal c.
d. Realice una observación sobre el gobierno elegido democráticamente por mayoría, según los resultados de y(t) en el literal c.
e. (Extra) Encuentre el tiempo t cuando los “Rojos” y(t) se vuelven mayoría simple, más de la mitad de la población x(t). Se supondrá que la tendencia política gobernante será “Roja”. Adjunte algoritmo.py, resultado.txt y gráfica.png.
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (20 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), literal e Extra (5 puntos)
Referencia: [1] Estados rojos y estados azules. Wikipedia, Enero 2025. https://es.wikipedia.org/wiki/Estados_rojos_y_estados_azules
[2] Los estadounidenses se mudan cada vez más a estados rojos, de tendencia republicana , donde la vida es más barata, pero la gente también muere más joven. theconversarion.com. Mayo 25, 2023. https://theconversation.com/americans-are-increasingly-moving-to-red-republican-leaning-states-where-life-is-cheaper-but-people-also-die-younger-205980
[4] Rashevsky, MIT 1968. pp102-110, Protestantismo https://es.wikipedia.org/wiki/Protestantismo
[3] Bipartidismo en EEUU: ¿Solo existen dos partidos? Enterarse. 15 Octubre 2020.
Tema 1 (30 puntos) El lunes 2 de diciembre del 2024, el cuerpo de Bomberos informó sobre un incendio forestal en el Km 33 de vía Perimetral en Guayaquil, sector Cerro Azul. 
Se desplegaron ocho unidades de bomberos, tres tanqueros, un camión cisterna, una ambulancia y un vehículo comando de accidentes [1]. La voracidad de las llamas obligó a las autoridades a trasladar más recursos humanos y materiales, 120 uniformados, 36 vehículos contra-incendios y un helicóptero. Se informó que hasta las 16h30, se habían usado 12000 litros de agua en la zona.
Se requiere determinar el área forestal afectada y delimitada por las coordenadas relativas representadas en la imagen.
Frontera superior
xi = [410, 450, 550, 520, 586, 606, 626, 705, 830, 884, 934, 984, 1004, 1024] yi = [131, 194, 266, 337, 402, 483, 531, 535, 504, 466, 408, 368, 324, 288]
Frontera Inferior
xj = [410, 600, 790, 980, 1024] yj = [131, 124, 143, 231, 288]
a. Calcular los tamaños de paso en cada frontera y plantear la integración con fórmulas compuestas
b. Desarrollar las expresiones del área para las coordenadas de la frontera superior, según el literal a.
c. Realice los cálculos para la frontera inferior y encuentre el área afectada.
d. Estime la cota de error en los cálculos.
Nota: dxi = np.diff(xi) calcula los tamaños de paso de un vector
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos)
Frontera superior
| xi | 410 | 450 | 550 | 520 | 586 | 606 | 626 | 705 | 834 | 884 | 934 | 984 | 1004 | 1024 |
| yi | 131 | 194 | 266 | 337 | 402 | 483 | 531 | 535 | 504 | 466 | 408 | 368 | 324 | 288 |
Frontera Inferior
| xj | 410 | 600 | 790 | 980 | 1024 |
| yj | 131 | 124 | 143 | 231 | 288 |
Referencia: [1] Bomberos atienden voraz incendio forestal en Guayaquil. EL COMERCIO. 2 de diciembre 2024. https://www.elcomercio.com/actualidad/bomberos-atienden-incendio-forestal-guayaquil.html
[2] Incendios forestales han afectado 1.656 hectáreas durante la época seca en Guayaquil. Eluniverso.com. 4 de diciembre 2024. https://www.eluniverso.com/guayaquil/comunidad/incendios-forestales-han-afectado-1656-hectareas-durante-la-epoca-seca-para-guayaquil-nota/
[3] Noticiero de Guayaquil (Primera Emisión 03/12/24) desde [1:52,17:03]. Teleamazonas Ecuador.
Tema 3 (35 puntos) La distribución de energía eléctrica en un país, considerando distintas fuentes de generación de energía y tipos de consumidores se muestra como ejemplo en la tabla:
| Fuente\Consumidor | Industrial | Comercial | Transporte | Residencial |
| Hidroeléctrica | 0.7 | 0.19 | 0.1 | 0.01 |
| Gas Natural | 0.12 | 0.18 | 0.68 | 0.02 |
| Petróleos-combustible | 0.2 | 0.38 | 0.4 | 0.02 |
| Eólica | 0.11 | 0.23 | 0.15 | 0.51 |
Se interpreta de la tabla que la producción de energía con fuentes Hidroeléctricas, el 70% la consume el sector industrial, 19% la consume el sector comercial, 10% es utilizado por el sector del transporte y el 1% lo recibe el sector residencial.
Al considerar que el agua es un recurso natural finito, se pueden presentar insuficiencia de producción de energía por medios Hidráulicos ante fenómenos de sequía[1], atribuidos por ejemplo al cambio climático.
Suponga que la producción total de energía por fuente de generación para la columna de la tabla es: [1500,400,600,200]. Los datos corresponden a la distribución de energía con la infraestructura existente.
a. Plantee el sistema de ecuaciones para encontrar la cantidad de hogares (residencial), fabricas (industrias), comercios y unidades de transporte se pueden atender según la configuración existente. Si el factor de consumo por unidad es el presentado en la tabla.
b. Presente la matriz aumentada y Muestre los pasos detallados para el pivoteo parcial por filas.
c. Desarrolle las expresiones para resolver mediante el método iterativo de Jacobi. Considere para el vector inicial Xo, al menos 100 clientes por sector.
d. Realice al menos 3 iteraciones con expresiones completas, indicando el error por iteración.
e. Analice la convergencia del método y resultados obtenidos.
f. Opcional: Determine el número de condición y comente su relación con sobre los resultados.
Adjunte los archivos del algoritmo y resultados de computadora utilizados.
Rúbrica: Literal a(5 puntos), literal b(5 puntos), literal c(5 puntos), literal d(15 puntos). literal e(5 puntos). literal f por considerar en calificación total
Referencia: [1] Matriz eléctrica: qué es y cuál es la diferencia entre ella y la matriz energética. Polyexel. 26-julio-2021. https://polyexcel.com.br/es/productos/matriz-electrica-que-es-y-cual-es-la-diferencia-entre-ella-y-la-matriz-energetica/
[2] Se agrava la crisis energética en Ecuador. DW Español. 26 octubre 2024. https://www.youtube.com/watch?v=IbR2SbSCpso
Tema 2 (30 puntos) Dispone de los datos registrados en cada eje para muestras en tiempo de trayectoria de caída de la “cofia” del cohete descrito en el tema 1. Los datos fueron tomados con un instrumento como GPS y altímetro, Suponga que solamente dispone de éstos datos para describir la trayectoria y se requiere encontrar el valor en x(t) en t = 1.65.
| ti | 1 | 1.2 | 1.4 | 1.8 | 2 |
| xi | -80.0108 | -45.9965 | 3.1946 | 69.5413 | 61.1849 |
| yi | -8.3002 | -22.6765 | -20.9677 | 15.8771 | 33.8999 |
| zi | 113.8356 | 112.2475 | 110.5523 | 106.7938 | 104.71 |
Use los datos par encontrar un polinomio de interpolación x(t) para todo el intervalo de tiempo [1, 2].
a. Plantee y desarrolle un polinomio P3(t) de grado 3, que describa la trayectoria para x(t) en todo intervalo. Las expresiones y tablas para el desarrollo deben ser completas mostrando los valores usados
b. Verifique que P(x) pase por los puntos seleccionados de la muestra.
c. Calcule el error sobre el o los datos que no se usaron en el intervalo.
d. Escriba sus conclusiones y recomendaciones sobre los resultados obtenidos.
e. Opcional: Encuentre el valor del error usando la expresión para x(t) dada en el tema 1 y P(1.65), muestre la gráfica de P(t), los resultados.txt con el algoritmo. Adjunte los archivos en aula virtual.
Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (4 puntos), literal c (10 puntos), literal d (6 puntos), literal e por considerar en calificación total.
Referencia: en Tema 1
xi = [1. , 1.2, 1.4, 1.8, 2. ] fi = [-80.0108, -45.9965, 3.1946, 69.5413, 61.1849]
Tema 1 (35 puntos) Cada cohete lanzado al espacio por SpaceX tiene elementos que se desacoplan al ser consumidos durante el vuelo y lanzados al océano en una parte deshabitada y sin tránsito marítimo. 
Las cubiertas protectoras de carga útil o cofias tienen: un proceso de producción largo, complicado, con componentes de alta tecnología y costo aproximado 6 millones de dólares [1]. Las cofias son uno de los elementos que luego de cada lanzamiento vale la pena recuperar.
La primera idea para recuperar las estructuras durante la caída con paracaídas, era usar un barco equipado con una gran red, que debía estimar el punto de caída antes de tocar el mar. La captura debía ser antes de tocar el agua salada para evitar daños en los tableros electrónicos por corrosión que los vuelven inútiles.
Suponga que la trayectoria de caída de las cofias con paracaídas se describen con las ecuaciones paramétricas mostradas. z(t) describe la altura en la trayectoria de caída que no es de más de 10 minutos desde desacople del cohete.
Siendo t en minutos, g = 9.8(60*60/1000) = 35.28 Km/min2.
Las ecuaciones describen las distancias en los ejes x, y, z en Km
a. Plantear el ejercicio para encontrar el tiempo t cuando la cofia alcanza 30 metros (0.030 Km) sobre el nivel del mar (en z(t)), que considera la altura de la red en el barco para captura.
b. Muestre y verifique el intervalo de tiempo para la búsqueda [a,b].
c. Desarrolle al menos tres iteraciones usando el método del Punto Fijo, las expresiones deben ser completas en cada iteración, con los valores usados en cada una.
d. Indique y describa la tolerancia usada y el error en cada iteración
e. Describa si el método converge y de ser necesario observe los resultados de las iteraciones realizadas.
f. Opcional: Encuentre las coordenadas del punto de captura con el barco, muestre la gráfica de z(t), los resultados.txt con el algoritmo. Adjunte los archivos en aula virtual.
Rúbrica: literal a(5 puntos), literal b(5 puntos), literal c(15 puntos), literal d(5 puntos), literal e (5 puntos). literal f por considerar en calificación total.
Referencia: [1] SpaceX cambia de método para pescar cofias y es tan FÁCIL que a nadie se le había ocurrido. Control de Misión. 21 sept 2023. https://www.youtube.com/watch?v=42dCS-uosbI.
[2] La probabilidad de morir por escombros de un cohete será un problema en los próximos 10 años, y más si vives en CDMX. 13-julio-2022. Xataka. https://www.xataka.com.mx/espacio/probabilidad-morir-escombros-cohete-sera-problema-proximos-10-anos-cdmx-sera-uno-sitios-riesgo
Nota: Los literales indicados como “opcional”, son acorde a la disponibilidad de energía eléctrica durante la evaluación por asuntos presentados a nivel nacional, considerados en la calificación global