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1Eva_2024PAOII_T3 matriz de distribución de energía por sectores

1ra Evaluación 2024-2025 PAO II. 19/Noviembre/2024

Tema 3 (35 puntos) La distribución de energía eléctrica en un país, considerando distintas fuentes de generación de energía y tipos de consumidores se muestra como ejemplo en la tabla:

Fuente\Consumidor Industrial Comercial Transporte Residencial
Hidroeléctrica 0.7 0.19 0.1 0.01
Gas Natural 0.12 0.18 0.68 0.02
Petróleos-combustible 0.2 0.38 0.4 0.02
Eólica 0.11 0.23 0.15 0.51

Se interpreta de la tabla que la producción de energía con fuentes Hidroeléctricas, el 70% la consume el sector industrial, 19% la consume el sector comercial, 10% es utilizado por el sector del transporte y el 1% lo recibe el sector residencial.

Al considerar que el agua es un recurso natural finito, se pueden presentar insuficiencia de producción de energía por medios Hidráulicos ante fenómenos de sequía[1],  atribuidos por ejemplo al cambio climático.

Suponga que la producción total de energía por fuente de generación para la columna de la tabla es: [1500,400,600,200]. Los datos corresponden a la distribución de energía con la infraestructura existente.

a. Plantee el sistema de ecuaciones para encontrar la cantidad de hogares (residencial), fabricas (industrias), comercios y unidades de transporte se pueden atender según la configuración existente. Si el factor de consumo por unidad es el presentado en la tabla.

b. Presente la matriz aumentada y Muestre los pasos detallados para el pivoteo parcial por filas.

c. Desarrolle las expresiones para resolver mediante el método iterativo de Jacobi. Considere para el vector inicial Xo, al menos 100 clientes por sector.

d. Realice al menos 3 iteraciones con expresiones completas, indicando el error por iteración.

e. Analice la convergencia del método y resultados obtenidos.

f. Opcional: Determine el número de condición y comente su relación con sobre los resultados.

Adjunte los archivos del algoritmo y resultados de computadora utilizados.

Rúbrica: Literal a(5 puntos), literal b(5 puntos), literal c(5 puntos), literal d(15 puntos). literal e(5 puntos). literal f por considerar en calificación total

Referencia: [1] Matriz eléctrica: qué es y cuál es la diferencia entre ella y la matriz energética. Polyexel. 26-julio-2021. https://polyexcel.com.br/es/productos/matriz-electrica-que-es-y-cual-es-la-diferencia-entre-ella-y-la-matriz-energetica/

[2] Se agrava la crisis energética en Ecuador. DW Español. 26 octubre 2024. https://www.youtube.com/watch?v=IbR2SbSCpso

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1Eva_2024PAOII_T2 Interpolar x(t) en caída de cofia para t entre[1,2]

1ra Evaluación 2024-2025 PAO II. 19/Noviembre/2024

Tema 2 (30 puntos) Dispone de los datos registrados en cada eje para muestras en tiempo de trayectoria de caída de la “cofia” del cohete descrito en el tema 1. Los datos fueron tomados con un instrumento como GPS y altímetro, Suponga que solamente dispone de éstos datos para describir la trayectoria y se requiere encontrar el valor en x(t) en t = 1.65.

ti 1 1.2 1.4 1.8 2
xi -80.0108 -45.9965 3.1946 69.5413 61.1849
yi -8.3002 -22.6765 -20.9677 15.8771 33.8999
zi 113.8356 112.2475 110.5523 106.7938 104.71

Use los datos par encontrar un polinomio de interpolación x(t) para todo el intervalo de tiempo [1, 2].Interpola Trayectoria x(t)

a. Plantee y desarrolle un polinomio P3(t) de grado 3, que describa la trayectoria para x(t) en todo intervalo. Las expresiones y tablas para el desarrollo deben ser completas mostrando los valores usados

b. Verifique que P(x) pase por los puntos seleccionados de la muestra.

c. Calcule el error sobre el o los datos que no se usaron en el intervalo.

d. Escriba sus conclusiones y recomendaciones sobre los resultados obtenidos.

e. Opcional: Encuentre el valor del error usando la expresión para x(t) dada en el tema 1 y P(1.65), muestre la gráfica de P(t), los resultados.txt con el algoritmo. Adjunte los archivos en aula virtual.

Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (4 puntos), literal c (10 puntos), literal d (6 puntos), literal e por considerar en calificación total.

Referencia: en Tema 1

xi = [1. , 1.2, 1.4, 1.8, 2. ]
fi = [-80.0108, -45.9965,   3.1946,  69.5413,  61.1849]
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1Eva_2024PAOII_T1 Capturar en el mar las cofias de cohetes

1ra Evaluación 2024-2025 PAO II. 19/Noviembre/2024

Tema 1 (35 puntos) Cada cohete lanzado al espacio por SpaceX tiene elementos que se desacoplan al ser consumidos durante el vuelo y lanzados al océano en una parte deshabitada y sin tránsito marítimo. Barco_red_capsula_paracaidas01a

Las cubiertas protectoras de carga útil o cofias tienen: un proceso de producción largo, complicado, con componentes de alta tecnología y costo aproximado 6 millones de dólares [1]. Las cofias son uno de los elementos que luego de cada lanzamiento vale la pena recuperar.

La primera idea  para recuperar las estructuras durante la caída con paracaídas, era usar un barco equipado con una gran red, que debía estimar el punto de caída antes de tocar el mar. La captura debía ser antes de tocar el agua salada para evitar daños en los tableros electrónicos por corrosión que los vuelven inútiles.

Suponga que la trayectoria de caída de las cofias con paracaídas se describen con las ecuaciones paramétricas mostradas. z(t) describe la altura en la trayectoria de caída que no es de más de 10 minutos desde desacople del cohete.

x(t) = 15.35 - 13.42 t+100e^{-0.12t} cos(2\pi (0.5) t + \pi / 8) y(t) = 22.45 - 6t + 50 e^{-0.2t} \sin(2\pi (0.52) t+ \pi / 6) z(t) = 120 + \frac{450}{60} t \Big(1-e^{-0.35t} \Big) - \frac{g}{2} t^2 + 0.012(7.5+gt)^2

Siendo t en minutos, g = 9.8(60*60/1000) = 35.28 Km/min2.Trayectoria Caida Cofia 3D

Las ecuaciones describen las distancias en los ejes x, y, z en Km

a. Plantear el ejercicio para encontrar el tiempo t cuando la cofia alcanza 30 metros (0.030 Km) sobre el nivel del mar (en z(t)), que considera la altura de la red en el barco para captura.

b. Muestre y verifique el intervalo de tiempo para la búsqueda [a,b].

c. Desarrolle al menos tres iteraciones usando el método del Punto Fijo, las expresiones deben ser completas en cada iteración, con los valores usados en cada una.

d. Indique y describa la tolerancia usada y el error en cada iteración

e. Describa si el método converge y de ser necesario observe los resultados de las iteraciones realizadas.

f. Opcional: Encuentre las coordenadas del punto de captura con el barco, muestre la gráfica de z(t), los resultados.txt con el algoritmo. Adjunte los archivos en aula virtual.

Rúbrica: literal a(5 puntos), literal b(5 puntos), literal c(15 puntos), literal d(5 puntos), literal e (5 puntos). literal f por considerar en calificación total.

Referencia: [1] SpaceX cambia de método para pescar cofias y es tan FÁCIL que a nadie se le había ocurrido. Control de Misión. 21 sept 2023. https://www.youtube.com/watch?v=42dCS-uosbI.

[2] La probabilidad de morir por escombros de un cohete será un problema en los próximos 10 años, y más si vives en CDMX. 13-julio-2022. Xataka. https://www.xataka.com.mx/espacio/probabilidad-morir-escombros-cohete-sera-problema-proximos-10-anos-cdmx-sera-uno-sitios-riesgo

Nota: Los literales indicados como “opcional”, son acorde a la disponibilidad de energía eléctrica durante la evaluación por asuntos presentados a nivel nacional, considerados en la calificación global

 

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3Eva_2024PAOI_T3 Salto Bungee y método de Jacobi

3ra Evaluación 2024-2025 PAO I. 17/Septiembre/2024

Tema 3. (35 puntos) Para el salto del Bungee y la tabla del ejercicio del tema 2, realice el sistema de ecuaciones para el polinomio de interpolación usando los tiempos en el vector ts = [0, 0.75,1.375, 2.55]

datos usando h=1/8
ti vi
0 0.0000
0.25 2.4479
0.5 4.8849
0.75 7.3001
1 9.6832
1.375 13.1763
1.75 16.5451
2.125 19.7641
2.4 22.0193
2.55 23.2075
  1. Plantee el sistema de ecuaciones usando los cuatro puntos datos en el vector ts
  2. Presente el sistema de ecuaciones en su forma matricial y muestre la matriz aumentada y pivoteada
  3. Desarrolle el ejercicio usando el método de Jacobi, para tres iteraciones. Justifique el vector inicial X0
  4. Comente sobre la convergencia del ejercicio y adjunte los archivos para algoritmo.py y resultados.txt

Rúbrica: Planteamiento (5 puntos), Matriz aumentada y pivoteada (5 puntos), iteraciones(15 puntos), error por iteración (5 puntos), literal d (5 puntos)

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3Eva_2024PAOI_T2 Salto Bungee interpolar velocidad primer tramo

3ra Evaluación 2024-2025 PAO I. 17/Septiembre/2024

Tema 2. (30 puntos) Bungee Jumping 02
Para el salto del Bungee del ejercicio del tema anterior se toman lecturas con un sensor de velocidad sujetado a la persona.

De la tabla de datos obtenida, se observa que los tamaños de paso en tiempo no siempre son equidistantes.
Se requiere encontrar un polinomio interpolación de al menos grado 3.

datos usando h=1/8
ti vi
0 0.0000
0.25 2.4479
0.5 4.8849
0.75 7.3001
1 9.6832
1.375 13.1763
1.75 16.5451
2.125 19.7641
2.4 22.0193
2.55 23.2075

a. Describa el planteamiento del ejercicio, selección de puntos, expresiones usando el método de Lagrange.

b. Resuelva el sistema usando los algoritmos correspondientes.

c. Presente el polinomio obtenido, simplificado y grafique verificando que P(x) pase por los puntos de muestra.

d. Use el resultado P(x) para estimar el error con los valores de vi que no fueron usados para la interpolación.

e. Adjunte los archivos para algoritmo.py, resultados.txt y grafica.png

Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (5 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)

Referencia: Chapra. capítulo 28. Ejercicio 28.41 p852.

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3Eva_2024PAOI_T1 EDO Salto Bungee extiende y estira toda la cuerda

3ra Evaluación 2024-2025 PAO I. 17/Septiembre/2024

Tema 1. (35 puntos) Salto Bungee 01
La ecuación diferencial para la velocidad de alguien que practica el salto del bungee es diferente según si el saltador ha caído una distancia en la que la cuerda está extendida por completo y comienza a estirarse o encogerse.

Si la distancia recorrida es menor que la longitud de la cuerda, el saltador sólo está sujeto a las fuerzas gravitacional y de arrastre de la cuerda.

\frac{d^2y}{dt^2} = g - signo(v) \frac{C_d}{m}\Big( \frac{dy}{dt}\Big)^2 y \leq L

Salto Bungee 02Suponga que las condiciones iniciales son:

y(0) =0

\frac{dy(0)}{dt} = 0

Una vez que la cuerda comienza a estirarse, también deben incluirse las fuerzas del resorte y del amortiguamiento de la cuerda.

\frac{d^2y}{dt^2} = g - signo(v) \frac{C_d}{m}\Big( \frac{dy}{dt}\Big)^2 -\frac{k}{m}(y-L) - \frac{\gamma}{m}( \frac{dy}{dt}\Big) y \gt L
dy/dt m/s velocidad (v)
t s tiempo
g 9.8 m/s2 gravedad
cd 0.25 kg/m coeficiente de arrastre
m 68.1 Kg masa
L 30 m Longitud de la cuerda
k 40 N/m constante de resorte de la cuerda
γ 8 N s/m coeficiente de amortiguamiento de la cuerda
signo(v) función que devuelve –1, 0 y 1, para v negativa, cero y positiva, respectivamente

En conocimiento que la primera ecuación es válida solo hasta tc=2.55, L=30mts, v= 23.20752.
Encuentre el tiempo td cuando se alcanza la longitud MÁXIMA de la cuerda extendida y estirada por completo, es decir y>L, con velocidad = 0. (solo 2da ecuación)

a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden

b. Desarrolle tres iteraciones para y(t) con tamaño de paso h=0.5

c. Usando el algoritmo, aproxime la solución para y en el intervalo entre [0,tc], adjunte sus resultados.txt

d. Indique el valor de td, muestre cómo mejorar la precisión y realice sus observaciones sobre los resultados.

Observación: dy/dt = v, función signo(v) en Numpy:np.sign(v)

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c resultados.txt y grafica.png (10 puntos), literal d (5 puntos),

Referencia: [1] Chapra. capítulo 28. Ejercicio 28.41 p852.

[2] Extreme Bungy Jumping with Cliff Jump Shenanigans! Play On in New Zealand! 4K! – devinsupertramp. 23 mar 2015.

 

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2Eva_2024PAOI_T3 EDP Parabólica

2da Evaluación 2024-2025 PAO I. 28/Agosto/2024

Tema 3. (30 puntos)

Para la siguiente Ecuación Diferencial Parcial con b = 2, resuelva usando las condiciones mostradas

\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = b \frac{\partial u}{\partial t}
0 < x < 1  0 < t < 0.5
Condiciones iniciales:  u(x,0)=0
Condiciones de frontera: u(0,t)=1
u(1,t)= 2

Utilice diferencias finitas centradas y hacia adelante para las variables independientes x,t

a. Plantee las ecuaciones para usar un método numérico en un nodo i,j

b. Realice la gráfica de malla,

c. Desarrolle y obtenga el modelo discreto para u(xi,tj)

d. Realice al menos tres iteraciones en el eje tiempo.

e. Estime el error de u(xi,tj) y adjunte los archivos del algoritmo y resultados.

Rúbrica: Aproximación de las derivadas parciales (5 puntos), construcción de la malla (5), desarrollo de iteraciones (15), literal e (5 puntos)

Referencia: EDP Parabólicas. Chapra & Canale. 5ta Ed. Ejercicio 30.15. P.904

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2Eva_2024PAOI_T2 Salto Bungee longitud total de cuerda

2da Evaluación 2024-2025 PAO I. 28/Agosto/2024

Tema 2. (40 puntos) Bungee Jumping 02
Para el salto del Bungee del ejercicio del tema anterior se toman lecturas con un sensor de velocidad sujetado a la persona.

2.1 De la tabla de datos obtenida, se observa que los tamaños de paso en tiempo no siempre son equidistantes.
Se requiere encontrar la distancia recorrida en el intervalo de [0,2.55] usando fórmulas de integración compuestas.

ti vi
0 0.0000
0.25 2.4479
0.5 4.8849
0.75 7.3001
1 9.6832
1.375 13.1763
1.75 16.5451
2.125 19.7641
2.4 22.0193
2.55 23.2075

2.2 Usando los datos de la tabla para el intervalo [2.55, 5.175] donde la velocidad de la caída de la persona al primer salto ha llegado a casi cero, o antes del primer rebote, se ha obtenido un polinomio de interpolación:

v = -3.979t2 + 21.557t – 5.3997

Obtenga la distancia recorrida en el segundo intervalo usando el método de Cuadratura de Gauss.

a. Realice el planteamiento de las ecuaciones para cada sección del ejercicio.

b. Describa el criterio usado para determinar el número de tramos usado en cada caso.

c. Desarrolle las expresiones completas del ejercicio para cada sección.

d. Encuentre la distancia total (profundidad) alcanzada por la persona al dar el salto.

Rúbrica: literal a 2.1 (5 puntos), a 2.2 (5 puntos) literal b (5 puntos), literal c 2.1 (10 puntos), c 2.2 (10 puntos), literal d (5 puntos)

Referencia:[1] Chapra. capítulo 28. Ejercicio 28.41 p852.

[2] Extreme Bungy Jumping with Cliff Jump Shenanigans! Play On in New Zealand! 4K! – devinsupertramp. 23 mar 2015.

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2Eva_2024PAOI_T1 EDO Salto Bungee tiempo extiende cuerda

2da Evaluación 2024-2025 PAO I. 28/Agosto/2024

Tema 1. (30 puntos) Salto Bungee 01
La ecuación diferencial para la velocidad de alguien que practica el salto del bungee es diferente según si el saltador ha caído una distancia en la que la cuerda está extendida por completo y comienza a estirarse o encogerse.

Si la distancia recorrida es menor que la longitud de la cuerda, el saltador sólo está sujeto a las fuerzas gravitacional y de arrastre de la cuerda.

\frac{d^2y}{dt^2} = g - signo(v) \frac{C_d}{m}\Big( \frac{dy}{dt}\Big)^2 y \leq L

Salto Bungee 02Suponga que las condiciones iniciales son:

y(0) =0

\frac{dy(0)}{dt} = 0

Una vez que la cuerda comienza a estirarse, también deben incluirse las fuerzas del resorte y del amortiguamiento de la cuerda.

\frac{d^2y}{dt^2} = g - signo(v) \frac{C_d}{m}\Big( \frac{dy}{dt}\Big)^2 -\frac{k}{m}(y-L) - \frac{\gamma}{m}( \frac{dy}{dt}\Big) y \gt L
dy/dt m/s velocidad (v)
t s tiempo
g 9.8 m/s2 gravedad
cd 0.25 kg/m coeficiente de arrastre
m 68.1 Kg masa
L 30 m Longitud de la cuerda
k 40 N/m constante de resorte de la cuerda
γ 8 N s/m coeficiente de amortiguamiento de la cuerda
signo(v) función que devuelve –1, 0 y 1, para v negativa, cero y positiva, respectivamente

Encuentre el tiempo tc y la velocidad de la persona cuando se alcanza la longitud de la cuerda extendida y sin estirar (30 m), es decir y<L, aún se entra cayendo signo(v)=1. (solo primera ecuación)

a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden

b. Desarrolle tres iteraciones para y(t) con tamaño de paso h=0.5

c. Usando el algoritmo, aproxime la solución para y en el intervalo entre [0,tc], adjunte sus resultados.txt

d. Indique el valor de tc, muestre cómo mejorar la precisión y realice sus observaciones sobre los resultados.

Observación: dy/dt = v, función signo(v) en Numpy:np.sign(v)

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c resultados.txt y grafica.png (5 puntos), literal d (5 puntos),

Referencia: [1] Chapra. capítulo 28. Ejercicio 28.41 p852.

[2] Extreme Bungy Jumping with Cliff Jump Shenanigans! Play On in New Zealand! 4K! – devinsupertramp. 23 mar 2015.

 

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1Eva_2024PAOI_T3 Tasas de natalidad de reemplazo en Ecuador

1ra Evaluación 2024-2025 PAO I. 2/Julio/2024

Tema 3 (30 puntos) El  acelerado crecimiento de la población de mayor edad tendrá un fuerte impacto en los gastos futuros del Instituto de Seguridad Social (IESS), una entidad a la que actualmente (2024) no le alcanzan sus ingresos para pagar las pensiones a sus jubilados y otros rubros. [1] trabajadores vs Pensionistas

Un motivo a considerar, podría ser la caída de la natalidad es un fenómeno generalizado en los países desarrollados que tienen tasa de hijos por mujer en edad fértil por debajo de la tasa de reemplazo poblacional de 2.1

Ejemplos de estos casos son Corea del Sur, Japón y China [2,3], países donde la cantidad de personas que trabajan y aportan al seguro social tiende a ser cada vez menor respecto a los pensionistas (jubilados).

Para el caso de Ecuador a fin de realizar un análisis preliminar, se requiere disponer de un modelo matemático que permita estimar cuando ser alcanzaría esta tasa de natalidad.

Promedio Hijos por mujer en Ecuador. INEC 29 Agosto 2019 [4]
tasa 7.32 6.39 5.58 4.89 4.31 3.85 3.50 3.26 3.03 2.79 2.54 2.35
año 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015 2020
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Realice un modelo de interpolación polinómica usando los datos de los años 1965, 1980, 1995 y 2010.

a. Describa el planteamiento del ejercicio, justificando el grado del polinomio seleccionado

b. Realice el del sistema de ecuaciones en su forma matricial y muestre la matriz aumentada

c. Resuelva el sistema usando los algoritmos correspondientes.

d. Presente el polinomio obtenido y grafique verificando que P(x) pase por los puntos de muestra.

e. Use el resultado P(x) para estimar la tasa de hijos por mujer para el año 2020 y calcule el error.

f. Estime el año en que se alcanza la tasa mínima de reemplazo de 2.1

Adjunte los archivos de resultados, algoritmos y gráficas realizados para el ejercicio

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos) ), literal f (5 puntos).

Referencia:  [1] IESS: Envejecimiento de la población disparará gastos; Peña plantea subir aportes. Primicias.ec: 3 Marzo 2024. https://www.primicias.ec/noticias/economia/envejecimiento-poblacion-iess-aportes/
[2] «Emergencia nacional» en Corea del Sur: por qué las mujeres surcoreanas no están teniendo hijos. BBC News Mundo. 30 marzo 2024.

[3] Por qué China amplió a 3 el número de hijos que pueden tener las parejas. BBC News Mundo. 4 junio 2021.
https://www.youtube.com/watch?v=8kErwjPKwjY .
[4] 5 datos sobre población del Ecuador. INEC Ecuador. 29 Agosto 2019. Min 0:45 https://www.youtube.com/watch?v=wjTZNfykmZU [5] ¿Por qué los PAÍSES RICOS se enfrentan al COLAPSO DEMOGRÁFICO? VisualEconomik. 11 Octubre 2022.

import numpy as np
tasa = [7.32, 6.39, 5.58, 4.89, 4.31, 3.85, 3.50, 3.26, 3.03, 2.79, 2.54, 2.35]
anio = [1965, 1970, 1975, 1980, 1985, 1990, 1995, 2000, 2005, 2010, 2015, 2020]
k    = [   0,     1,   2,    3,    4,   5,     6,    7,    8,    9,   10,   11]
cual = [0,3,6,9]
tasamin = 2.1
fi = np.take(tasa,cual) # datos seleccionados