Algoritmos101

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Categoría: 1ra Evaluación

  • 1Eva_IIT2014_T2 Componentes eléctricos

    1ra Evaluación II Término 2014-2015. 9/Diciembre/2013. ICM00158

    Tema 2. Un ingeniero eléctrico supervisa la producción de tres tipos de componentes eléctricos. componentes eléctricos

    Para cada componente se se requieren tres clases de materiales:
    metal 1, metal 2 y caucho.

    Gramos por componente Metal 1 Metal 2 Caucho
    Componente 1 15 0.25 1.0
    Componente 2 17 0.33 1.2
    Componente 3 19 0.42 1.6

    Se requieren disponer de componentes con el mismo desempeño, pero de menor tamaño y no se dispone de mas gramos de material que:

    materiales = [2.63, 0.0534, 0.202]

    a. Plantee el sistema de ecuaciones

    b. Utilice el método de eliminación de Gauss para resolver el sistema

    c. Encuentre la matriz de Jacobi y comente sobre la convergencia

    d. Realice tres iteraciones con Gauss Seidel y estime el error de la segunda iteración.

    e. Encuentre el número de condición y comente.

    A = np.array([[15, 0.25, 1.0],
              [17, 0.33, 1.2],
              [19, 0.42, 1.6]])
B = np.array([2.63, 0.0534, 0.202])

  • 1Eva_IIT2014_T1 Canal Triangular

    1ra Evaluación II Término 2014-2015. 9/Diciembre/2013. ICM00158

    Tema 1. Usted tiene que diseñar un canal triangular abierto para transportar una corriente de deshechos desde una planta química hasta un depósito de estabilización de desechos. https://es.wikipedia.org/wiki/Canal_(ingenier%C3%ADa)

    La velocidad media aumenta con el radio hidráulico,

    R_h = \frac{A}{P},

    donde A es el área y P es el perímetro mojado de la sección transversal.

    El perímetro mojado es la longitud
    de los lados y fondo del canal que están bajo el agua

    Como la razón del flujo máximo corresponde a la velocidad máxima, el diseño óptimo corresponde a un valor θ que maximice Rh. Considere d=1 unidad.

    a) Encuentre un modelo para calcular Rh en función de θ.

    b) Obtenga la ecuación para encontrar el máximo.

    c) Encuentre un intervalo de existencia y un intervalo de convergencia tal que el método de Newton, y

    d) Aproxime θ con una precisión de 0.0001.

    Nota: Si no logra encontrar el modelo en el literal a) utilice la siguiente ecuación
    R_h= \frac{d \cos(\theta)}{2(1 + \cos (\theta))}

    Referencia: Chapra Problemas 16.11 p442 pdf466.

    Siendo c la hipotenusa de un triángulo del canal, la formula queda en función de la profundidad del canal d.

    p = w + 2c \frac{w}{2} = c \cos (\theta) d = c \sin (\theta) c = \frac{d}{sin(\theta)} \frac{w}{2} = \frac{d}{sin(\theta)} \cos(\theta) w = 2d\frac{ \cos(\theta)}{sin(\theta)}

    perimetro p  es entonces:

    p = 2d\frac{ \cos(\theta)}{sin(\theta)} + 2\frac{d}{sin(\theta)} p = 2d\frac{ \cos(\theta)+1}{sin(\theta)}

    continue calculando el área y encuentre la fórmula para el problema ...

  • 1Eva_IT2012_T3_MN Resolver con Gauss-Jordan

    1ra Evaluación I Término 2012-2013. 3/Julio/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

    TEMA 3. (35 puntos) Con los mismos datos de las matrices T y D del problema anterior, se decide resolver el sistema mediante el método de Gauss-Jordan, para lo cual la ecuación inicial X = TX + D se la reescribe en la siguiente forma:

    (I – T)X = D

    en donde I es la matriz identidad.

    a) Obtenga la solución transformando la matriz de coeficientes I – T aumentada con el vector D.
    Adjunte adicionalmente una matriz identidad que al ser transformada simultáneamente proporcione la inversa de la matriz de coeficientes

    b) Calcule el número de condición de la matriz de coeficientes y comente al respecto. Use la norma de fila.

  • 1Eva_IT2012_T2_MN Modelo Leontief

    1ra Evaluación I Término 2012-2013. 3/Julio/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

    TEMA 2. (35 puntos) La matriz insumo-producto propuesto por W. Leontief, es un modelo muy importante en Economía. Flores Ecuador 01

    En ésta matriz se describe la producción de los diferentes sectores económicos y la demanda interna para satisfacer a estos mismos sectores, expresada como una fracción de su producción.

    Ejemplo: Suponga que hay tres sectores
    A: agricultura,
    M: manufactura
    S: servicios
    y su demanda interna es:

    Matriz T Producción
    A M S
    Demanda A 0.40 0.03 0.02
    Interna M 0.06 0.37 0.10
    S 0.12 0.15 0.19

    Sea T el nombre de esta matriz.

    Para los datos propuestos, en la primera columna de la matriz T, el sector A requiere 0.4 de su propia producción, 0.06 del sector M, y 0.12 del sector S, etc.

    Sea D el vector de demanda externa de cada sector, y X el vector de la producción total de cada sector, requerida para satisfacer las demandas interna y externa:

    D = \begin{pmatrix} 80\\ 140\\200 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\x3 \end{pmatrix}

    en donde x1, x2, x3 representan la producción total de cada sector.

    Entonces la ecuación X = TX + D proporciona la producción total X para satisfacer las demandas externa e interna.

    a) Formule un método iterativo en notación vectorial para usar la ecuación anterior. Indique cual es el nombre de la matriz T. Analice esta matriz y determine si el método iterativo es convergente.

    b) Comience con un vector inicial X = [200, 200, 200]T realice las iteraciones necesarias hasta que la norma de la diferencia entre dos vectores consecutivos sea menor a 1.

    Use la norma de fila.

    Referencia: Modelo Input-Output. https://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_Input-Output, https://es.wikipedia.org/wiki/Wassily_Leontief

    T = np.array([[0.40, 0.03, 0.02],
              [0.06, 0.37, 0.10],
              [0.12, 0.15, 0.19]])

D = np.array([80.0, 140.0, 200.0],dtype=float)

Xa = np.array([200.0,200.0,200.0])

  • 1Eva_IT2012_T1_MN Tasa de interés

    1ra Evaluación I Término 2012-2013. 3/Julio/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

    Tema 1. (30 puntos) Una empresa compra una máquina en P=20000 dólares pagando A=5000 dólares cada año durante los próximos n=5 años.tractor 01

    La siguiente fórmula relaciona los valores de P, A, n y el interés anual x que la empresa debe pagar:

    A = P \frac{x(1+x)^n}{(1+x)^n -1}

    Determine la tasa de interés anual x que la empresa ha contratado.

    a) Localice un intervalo que contenga a la raíz, para aplicar el método de la bisección

    b) Calcule la raíz con una precisión de 0.01. Muestre los valores intermedios

    Referencias:

    La venta de tractores se mantiene. El comercio 24-Oct-2009. https://www.elcomercio.com/actualidad/venta-tractores-mantiene.html

  • 1Eva_IT2012_T3 Interpolar con Lagrange

    1ra Evaluación I Término 2012-2013. 3/Julio/2012. ICM00158

    Tema 3. (20 puntos) Se conocen los valores de una función en los siguientes puntos

    f(1) = 0.75
f(1.5) = 1.34375
f(2) = 2.5
f(2.25) = 3.34765625
f(2.5) = 4.40625
f(3) = 7.25

    Aproximar con el método de Lagrange, p3(x)

    xi = [1, 1.5, 2, 2.25, 2.5, 3]
fi = [0.75, 1.34375, 2.5, 3.34765625, 4.40625, 7.25]

  • 1Eva_IT2012_T2 Resolver sistema ecuaciones

    1ra Evaluación I Término 2012-2013. 3/Julio/2012. ICM00158

    Tema 2. (20%) Dado el siguiente sistema:

    \begin{cases}2x_1+2x_2-x_3+x_4=4\\4x_1+3x_2-x_3+2x_4=6\\8x_1+5x_2-3x_3+4x_4=12\\3x_1+ 3x_2-2x_3+2x_4=6\end{cases}

    a) Resolver el sistema con un método directo

    b) ¿Es posible resolver este sistema con el método iterativo de Jacobi?
    Si su respuesta es afirmativa, resuélvalo con una tolerancia de 10-2, con X(0)=0
    Si su respuesta es negativa, justifique su conclusión.

    A = np.array([[2,2,-1,1],
              [4,3,-1,2],
              [8,5,-3,4],
              [3,3,-2,2]])
B = np.array([[4.0],
              [6],
              [12],
              [6]])
tolera = 0.01

  • 1Eva_IT2012_T1 Cercanía de ln(x) a punto de origen

    1ra Evaluación I Término 2012-2013. 3/Julio/2012. ICM00158

    Tema 1. (30 puntos). Determine de ser posible, los puntos de la curva

    y=ln(x)

    para x>0, más cercanos al origen de coordenadas.

    a) Plantee la ecuación que permita resolver matemáticamente el problema.

    b) Determine de ser posible un intervalo de la solución a la ecuación planteada en el literal anterior.

    c) Aproxime la solución numérica de la ecuación planteada, empleando el método de Newton-Raphson con tolerancia de 10−6. Mostrar la tabla de resultados respectiva.

    d) Escriba las coordenadas del punto encontrado: (x,y)

    E1Eva_IT2012_T1 Distancia Lnx

  • 1Eva_IIT2011_T3_MN Producir un producto adicional

    1ra Evaluación II Término 2011-2012. 29/Noviembre/2011. ICM02188 Métodos Numéricos

    Tema 3. En el problema anterior, la empresa ha decidido fabricar un producto adicional D con la siguiente composición y con la misma cantidad de insumos disponibles semanales.

    Sea t la cantidad del producto D que se producirá semanalmente (t≥0)

    Insumo1 Insumo2 Insumo3
    Producto D  3 2  2

    a) encuentre el conjunto solución para x, y ,z, en términos de la variable independiente t

    b) Encuentre el rango de producción posible del producto D, y con éste rango encuentre el rango de producción posible para los otros tres productos.

  • 1Eva_IIT2011_T2_MN Insumos por semana

    1ra Evaluación II Término 2011-2012. 29/Noviembre/2011. ICM02188 Métodos Numéricos

    insumos para producto
    Tema 2. Una empresa produce semanalmente 3 tipos de productos, los insumos que requiere cada unidad producida se indican en la siguiente tabla:

    Insumo1 Insumo2 Insumo3
    Producto A 2 3 5
    Producto B 5 2 7
    Producto C 2 1 4

    La cantidad de insumos que debe utilizarse exactamente cada semana es:

    Insumo1 Insumo2 Insumo3
    200 150 400

    Sean x, y, z, la cantidad de productos A,B,C respectivamente, producida semanalmente (x≥0, y≥0, z≥0)

    a) Plantee un sistema de ecuaciones

    b) Utilice el método de eliminación de Gauss y encuentre la solución.

    c) Incremente en 0.1 el primer coeficiente de la matriz. Resuelva nuevamente el sistema y comente acerca del cambio en la solución respecto al cambio en la matriz de coeficientes.