Tema 3. El polinomio P(x) tiene una única raiz positiva.
P(x) = x3 - x2 -x -1
Encuentre un intervalo donde se garantice la existencia de ésta raíz (justifique).
Utilizando el método del punto fijo, presente una tabla que contenga la sucesión de valores, el error
en = | xn - xn-1|, n≥1,
y con un criterio de interrupción del método iterativo de en ≤ 10-9
Tema 2. Considere el sistema AX = B dado por:
\begin {cases} 0.4 x + 1.1 y +3.1z = 7.5 \\ 4x + 0.15y + 0.25z = 4.45\\ 2x+5.6y+3.1z=0.1\end{cases}De ser posible, manipule el sistema de tal forma que se garantice la convergencia del método de Gauss-Seidel, determine la norma de la matriz T.
Determine la solución con éste método con el vector inicial (1,1,1) y con una tolerancia 10-4.
A = [[0.4, 1.1 , 3.1],
[4.0, 0.15, 0.25],
[2.0, 5.6 , 3.1]]
B = [7.5, 4.45, 0.1]
tolera = 1e-4
iteramax = 100
Tema 1. La función de variable real f(x) será aproximada con el polinomio de segundo grado P(x) que incluye los tres puntos f(0), f(π/2), f(π).
f(x) = e^x \cos (x) +1 0\leq x \leq \piEncuentre la magnitud del mayor error E(x) = f(x) -P(x), que se produciría al usar esta aproximación. Resuelva la ecuación no lineal resultante con la fórmula de Newton con un error máximo de 0.0001.
Tema 3. Un comerciante compra cuatro artículos: arroz, manzanas, papas y tomates. 
Estos productos se venden por peso en Kg.
El cajero registra el peso adquirido de cada artículo y el costo total en dólares que debe pagar por los cuatro artículos.
El comerciante desea conocer el precio por Kg. de cada artículo, para lo cual dispone de cuatro facturas con los siguientes datos:
| Factura | Arroz | Manzanas | Papas | Tomates | Costo ($) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 | 4 | 1 | 15.0 |
| 2 | 2 | 2 | 5 | 2 | 18.3 |
| 3 | 4 | 1 | 1 | 2 | 12.3 |
| 4 | 2 | 5 | 2 | 1 | 19.2 |
a. Formule el modelo matemático para resolver este problema: sistema de ecuaciones lineales
b. Use el método de Gauss-Jordan para calcular la solución. Simultáneamente, transforme la matriz identidad para obtener la inversa de la matriz de coeficientes.
Tema 2. La curva de encendido de televisores en la ciudad de Guayaquil está en función de la hora del día y del día de la semana.
Suponga que en un intervalo de 4 horas, un determinado día , el porcentaje de televisores encendidos está dado por la función:
p(x) =\frac{1}{2.5} \Big(-10 \sin \Big(\frac{12x}{7} \Big) e^{-\frac{24x}{7}} + \frac{48x}{7}e^{-\frac{8x}{7}} + 0.8 \Big)0≤x≤4
x: Tiempo en horas
p: porcentaje en horas de televisores encendidos
a. Encuentre un intervalo en que se encuentre el máximo de la función p
b. Utilice el método de Newton para encontrar el máximo de la función p. Calcule la respuesta con un error máximo de 0.0001
c. Encuentre el mínimo de la función p en el mismo intervalo de cuatro horas con el mismo método y con la misma precisión anteriores.
Gráfica de referencia
Tema 1. La demanda de un producto en el intervalo de tiempo [0,3] tiene forma sinusoidal. 
Al detectar la demanda, una empresa puede iniciar su producción a partir del instante 1, y la cantidad producida tiene forma logaritmica natural.
Se necesita encontrar el instante a partir del cual, la producción satisface a la demanda del producto.
Use el método de la Bisección para localizar el intervalo de la respuesta y obtenga la respuesta con error menor a 0.01
Tema 3. Para el control de los accidentes de tránsito, se requiere modelar un factor de riesgo de que ocurra un accidente de tránsito en cierta avenida, en función del número de vehículos que circulan por ella a la semana.
Por observación directa se han determinado los siguientes factores:
“Número de vehículos que circulan por la avenida a la semana” vs “Factor de riesgo”
| vehículos | 10000 | 7000 | 6000 | 5000 |
| Factor de riesgo | 0.8 | 0.5 | 0.4 | 0.2 |
Empleando toda la información de la tabla anterior, estime con un polinomio de Lagrange el factor de riesgo que tendrá la avenida si el número de vehículos que circula a la semana es 6500.
vehiculos = np.array([10000, 7000, 6000, 5000]) riesgo = np.array([0.8, 0.5, 0.4, 0.2])
Tema 2. Un pequeño buque porta-contenedores tiene una capacidad remanente para llevar un peso de 10 toneladas de carga y 10.4 m3 de volumen en contenedores tipo I y tipo II.
Los contenedores tipo I tienen un peso de 1 tonelada y ocupan un volumen de 1.1 m3, mientras que los de tipo II tienen un peso de 2 toneladas y ocupan un volumen de 2 m3.
Si se llenó la capacidad remanente del buque tanto en peso como en volumen, y utilizando el método directo de Gauss con aritmética de 3 dígitos y estrategia de pivoteo parcial:
a) Determinar cuántos contenedores tipo I y tipo II llevó el buque.
b) Luego se comprobó que hubo un pequeño error en la estimación del volumen que ocupa cada contenedor del tipo I. En lugar de 1.1 m3 en realidad estos contenedores ocupan 1.05 m3, los otros parámetros estaban bien estimados. Determinar cuál era la cantidad real de contenedores tipo I y II que debió haber llevado el buque para utilizar su capacidad completa de peso y volumen.
c) El sistema es bien o mal condicionado? Determine el número de condición.
Tema 1. El movimiento de una partícula en el plano, se encuentra representado por las ecuaciones paramétricas:
x(t) = 3 \sin ^{3}(t)-1 y(t) = 4 \sin (t)\cos (t) t \geq 0Donde x, y son las coordenadas de la posición expresadas en cm y t se expresa en segundos.
a) Demuestre que existe un instante t ∈ [0, π/2] tal que sus coordenadas x e y coinciden.
b) Empleando el método de Newton, aproxime con una precisión de 10-5 en qué instante de tiempo las dos coordenadas serán iguales en el intervalo dado en el literal a.
Referencias: Megaconstrucciones, El Tren InterUrbano | México - Toluca.
El Tunel debajo del agua entre Francia e Inglaterra
Tema 3. (40 puntos).
Una empresa produce cuatro productos:
P1, P2, P3, P4 usando tres tipos de materiales M1, M2, M3.
Para fabricar cada Kg. de cada producto se requiere la siguiente cantidad en Kg, de los tres materiales en la siguiente proporción:
| P1 | P2 | P3 | P4 | |
|---|---|---|---|---|
| M1 | 0.2 | 0.2 | 0.1 | 0.5 |
| M2 | 0.4 | 0.6 | 0.8 | 0.4 |
| M3 | 0.4 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
La cantidad disponible de cada material es: 15, 20, 12 Kg. respectivamente, los cuales deben usarse completamente.
a) Resuelva este sistema dejando como variable libre la cantidad del producto P4. Use el método de Gauss-Jordan para reducir el sistema a la forma diagonal hasta donde sea posible.
b) Luego exprese las ecuaciones en función de la variable libre y determine un rango para la cantidad que debe fabricarse del producto P4 de tal manera que la cantidad fabricada de los otros tres productos sea positiva.
c) Del rango obtenido seleccione un valor entero para la cantidad de P4 y con este valor, determine la cantidad correspondiente para cada uno de los otros tres productos P1, P2, P3.