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2Eva_2024PAOII_T3 EDP Elíptica con función en borde superior

2da Evaluación 2024-2025 PAO II. 28/Enero/2025

Tema 3. (35 puntos) Considere la ecuación diferencial parcial, tipo elíptica descrita sobre una placa en el plano x,y:

∂2u∂x2=−∂2u∂y2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = -\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}

0≤x≤1 ; 0≤y≤1.5

Con condiciones en frontera en los intervalos definidos para una placa.

EDP Elípticau(0, y) = 0 ; u(1, y) = 0

u(x, 0) = 0

u(x, 1.5) = 100 sin(πx)

Utilice diferencias finitas para las variables independientes x,y

a. Plantee las ecuaciones discretas a usar un método numérico en un nodo i,j

b. Realice la gráfica de malla, detalle los valores de i, j, xi, yj

c. Desarrolle y obtenga el modelo discreto para u(xi,yj)

d. Determine el valor de Lambda λ, considerando Δx = 1/4 , Δy = 1/8

e. Desarrolle la ecuación para al menos tres nodos i,j diferentes y consecutivos.

f. (Extra) Estime el error de u(xi,tj) y adjunte los archivos del algoritmo.py, resultados.txt, gráficas.png

Rúbrica: Selección de diferencias finitas divididas (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), literal e (15 puntos). literal f extra (5 puntos)

Referencia: Chapter 13: Partial Differential Equations (Part 2 – Elliptic PDEs). Lindsey Westover. 18 Marzo 2021. https://youtu.be/0eI5zrhtEjE?si=a8rQhpEEirvMBC26&t=633

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2Eva_2024PAOII_T2 Mayoría entre grupos Azules y Rojos

2da Evaluación 2024-2025 PAO II. 28/Enero/2025

Tema 2 (35 puntos) Suponga que en un país democrático existen dos tendencias políticas identificadas por los colores Azul y Rojo [1,3].

Al inicio, la gran mayoría de la población tiene preferencia “Azul”. Los hijos que nacen en población Azul se educan e identifican con la tendencia política Azul. Sin embargo, algunos jóvenes al encontrarse con las ideas de los Rojos cambian su preferencia política a Rojo e incluso se mudan hacia provincias o estados donde predomina una tendencia.

Las provincias donde predominan los Rojos comienzan a crecer no solo por los nacimientos y educación en familias Rojas, sino también por las mudanzas, lo que podría a cambiar la balanza en las votaciones “democráticas” de gobierno. Se observa que las provincias predominantemente Rojas tienen un costo de vida menor aunque con expectativa de vida menor [2], sin embargo las tendencias de cambio se mantienen.

En un modelo de Rashevsky modificado con la ecuación logística de Verhulst [4], la población anual del país se describe con x(t), con tasas de natalidad a = 0.018 y mortalidad b = 0.012

δxδt=ax−bx2 \frac{\delta x}{\delta t} = a x - b x^2

x(0)=2

La población de Rojos es minoría y se describe con y(t).

δyδt=0.026x−0.017y2+0.19b(x−y) \frac{\delta y}{\delta t} = 0.026x - 0.017 y^2 +0.19 b (x-y)

y(0)=0.5

Sin embargo los jóvenes descendientes de los Azules al meditar sobre la situación actual del país, como protesta, cambian su tendencia política hacia los Rojos, a tasa de 0.19 de jóvenes descendientes “Azules”.

a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden.

b. Desarrolle tres iteraciones con expresiones completas para x(t), y(t) con tamaño de paso h=0.5.

c. Realice una observación sobre el crecimiento de población del país, x(t), a lo largo del tiempo usando los resultados del literal c.

d. Realice una observación sobre el gobierno elegido democráticamente por mayoría, según los resultados de y(t) en el literal c.

e. (Extra) Encuentre el tiempo t cuando los “Rojos” y(t) se vuelven mayoría simple, más de la mitad de la población x(t). Se supondrá que la tendencia política gobernante será “Roja”. Adjunte algoritmo.py, resultado.txt y gráfica.png.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (20 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), literal e Extra (5 puntos)

Referencia: [1] Estados rojos y estados azules. Wikipedia, Enero 2025. https://es.wikipedia.org/wiki/Estados_rojos_y_estados_azules

[2] Los estadounidenses se mudan cada vez más a estados rojos, de tendencia republicana , donde la vida es más barata, pero la gente también muere más joven. theconversarion.com. Mayo 25, 2023. https://theconversation.com/americans-are-increasingly-moving-to-red-republican-leaning-states-where-life-is-cheaper-but-people-also-die-younger-205980

[4] Rashevsky, MIT 1968. pp102-110, Protestantismo https://es.wikipedia.org/wiki/Protestantismo

[3] Bipartidismo en EEUU: ¿Solo existen dos partidos? Enterarse. 15 Octubre 2020.

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2Eva_2024PAOII_T1 Área de incendio forestal en Cerro Azul

2da Evaluación 2024-2025 PAO II. 28/Enero/2025

Tema 1 (30 puntos) El lunes 2 de diciembre del 2024, el cuerpo de Bomberos informó sobre un incendio forestal en el Km 33 de vía Perimetral en Guayaquil, sector Cerro Azul.

Se desplegaron ocho unidades de bomberos, tres tanqueros, un camión cisterna, una ambulancia y un vehículo comando de accidentes [1]. La voracidad de las llamas obligó a las autoridades a trasladar más recursos humanos y materiales, 120 uniformados, 36 vehículos contra-incendios y un helicóptero. Se informó que hasta las 16h30, se habían usado 12000 litros de agua en la zona.

Se requiere determinar el área forestal afectada y delimitada por las coordenadas relativas representadas en la imagen.

Frontera superior

xi = [410, 450, 550, 520, 586, 606, 626, 705, 830, 884, 934, 984, 1004, 1024]
yi = [131, 194, 266, 337, 402, 483, 531, 535, 504, 466, 408, 368,  324,  288]

Frontera Inferior

xj = [410, 600, 790, 980, 1024]
yj = [131, 124, 143, 231,  288]

a. Calcular los tamaños de paso en cada frontera y plantear la integración con fórmulas compuestas

b. Desarrollar las expresiones del área para las coordenadas de la frontera superior, según el literal a.

c. Realice los cálculos para la frontera inferior y encuentre el área afectada.

d. Estime la cota de error en los cálculos.

Nota: dxi = np.diff(xi) calcula los tamaños de paso de un vector

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos)

Frontera superior

xi 410 450 550 520 586 606 626 705 834 884 934 984 1004 1024
yi 131 194 266 337 402 483 531 535 504 466 408 368 324 288

Frontera Inferior

xj 410 600 790 980 1024
yj 131 124 143 231 288

Referencia: [1] Bomberos atienden voraz incendio forestal en Guayaquil. EL COMERCIO. 2 de diciembre 2024. https://www.elcomercio.com/actualidad/bomberos-atienden-incendio-forestal-guayaquil.html

[2] Incendios forestales han afectado 1.656 hectáreas durante la época seca en Guayaquil. Eluniverso.com. 4 de diciembre 2024. https://www.eluniverso.com/guayaquil/comunidad/incendios-forestales-han-afectado-1656-hectareas-durante-la-epoca-seca-para-guayaquil-nota/

[3] Noticiero de Guayaquil (Primera Emisión 03/12/24) desde [1:52,17:03]. Teleamazonas Ecuador.

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2Eva_2024PAOI_T3 EDP Parabólica

2da Evaluación 2024-2025 PAO I. 28/Agosto/2024

Tema 3. (30 puntos)

Para la siguiente Ecuación Diferencial Parcial con b = 2, resuelva usando las condiciones mostradas

∂2u∂x2=b∂u∂t \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = b \frac{\partial u}{\partial t}
0 < x < 1  0 < t < 0.5
Condiciones iniciales:  u(x,0)=0
Condiciones de frontera: u(0,t)=1
u(1,t)= 2

Utilice diferencias finitas centradas y hacia adelante para las variables independientes x,t

a. Plantee las ecuaciones para usar un método numérico en un nodo i,j

b. Realice la gráfica de malla,

c. Desarrolle y obtenga el modelo discreto para u(xi,tj)

d. Realice al menos tres iteraciones en el eje tiempo.

e. Estime el error de u(xi,tj) y adjunte los archivos del algoritmo y resultados.

Rúbrica: Aproximación de las derivadas parciales (5 puntos), construcción de la malla (5), desarrollo de iteraciones (15), literal e (5 puntos)

Referencia: EDP Parabólicas. Chapra & Canale. 5ta Ed. Ejercicio 30.15. P.904

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2Eva_2024PAOI_T2 Salto Bungee longitud total de cuerda

2da Evaluación 2024-2025 PAO I. 28/Agosto/2024

Tema 2. (40 puntos) Bungee Jumping 02
Para el salto del Bungee del ejercicio del tema anterior se toman lecturas con un sensor de velocidad sujetado a la persona.

2.1 De la tabla de datos obtenida, se observa que los tamaños de paso en tiempo no siempre son equidistantes.
Se requiere encontrar la distancia recorrida en el intervalo de [0,2.55] usando fórmulas de integración compuestas.

ti vi
0 0.0000
0.25 2.4479
0.5 4.8849
0.75 7.3001
1 9.6832
1.375 13.1763
1.75 16.5451
2.125 19.7641
2.4 22.0193
2.55 23.2075

2.2 Usando los datos de la tabla para el intervalo [2.55, 5.175] donde la velocidad de la caída de la persona al primer salto ha llegado a casi cero, o antes del primer rebote, se ha obtenido un polinomio de interpolación:

v = -3.979t2 + 21.557t – 5.3997

Obtenga la distancia recorrida en el segundo intervalo usando el método de Cuadratura de Gauss.

a. Realice el planteamiento de las ecuaciones para cada sección del ejercicio.

b. Describa el criterio usado para determinar el número de tramos usado en cada caso.

c. Desarrolle las expresiones completas del ejercicio para cada sección.

d. Encuentre la distancia total (profundidad) alcanzada por la persona al dar el salto.

Rúbrica: literal a 2.1 (5 puntos), a 2.2 (5 puntos) literal b (5 puntos), literal c 2.1 (10 puntos), c 2.2 (10 puntos), literal d (5 puntos)

Referencia:[1] Chapra. capítulo 28. Ejercicio 28.41 p852.

[2] Extreme Bungy Jumping with Cliff Jump Shenanigans! Play On in New Zealand! 4K! – devinsupertramp. 23 mar 2015.

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2Eva_2024PAOI_T1 EDO Salto Bungee tiempo extiende cuerda

2da Evaluación 2024-2025 PAO I. 28/Agosto/2024

Tema 1. (30 puntos) Salto Bungee 01
La ecuación diferencial para la velocidad de alguien que practica el salto del bungee es diferente según si el saltador ha caído una distancia en la que la cuerda está extendida por completo y comienza a estirarse o encogerse.

Si la distancia recorrida es menor que la longitud de la cuerda, el saltador sólo está sujeto a las fuerzas gravitacional y de arrastre de la cuerda.

d2ydt2=g−signo(v)Cdm(dydt)2 \frac{d^2y}{dt^2} = g - signo(v) \frac{C_d}{m}\Big( \frac{dy}{dt}\Big)^2 y≤L y \leq L

Salto Bungee 02Suponga que las condiciones iniciales son:

y(0) = 0

dy(0)dt=0 \frac{dy(0)}{dt} = 0

Una vez que la cuerda comienza a estirarse, también deben incluirse las fuerzas del resorte y del amortiguamiento de la cuerda.

d2ydt2=g−signo(v)Cdm(dydt)2−km(y−L)−γm(dydt) \frac{d^2y}{dt^2} = g - signo(v) \frac{C_d}{m}\Big( \frac{dy}{dt}\Big)^2 -\frac{k}{m}(y-L) - \frac{\gamma}{m}( \frac{dy}{dt}\Big) y>L y \gt L
dy/dt m/s velocidad (v)
t s tiempo
g 9.8 m/s2 gravedad
cd 0.25 kg/m coeficiente de arrastre
m 68.1 Kg masa
L 30 m Longitud de la cuerda
k 40 N/m constante de resorte de la cuerda
γ 8 N s/m coeficiente de amortiguamiento de la cuerda
signo(v) función que devuelve –1, 0 y 1, para v negativa, cero y positiva, respectivamente

Encuentre el tiempo tc y la velocidad de la persona cuando se alcanza la longitud de la cuerda extendida y sin estirar (30 m), es decir y<L, aún se entra cayendo signo(v)=1. (solo primera ecuación)

a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden

b. Desarrolle tres iteraciones para y(t) con tamaño de paso h=0.5

c. Usando el algoritmo, aproxime la solución para y en el intervalo entre [0,tc], adjunte sus resultados.txt

d. Indique el valor de tc, muestre cómo mejorar la precisión y realice sus observaciones sobre los resultados.

Observación: dy/dt = v, función signo(v) en Numpy:np.sign(v)

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c resultados.txt y grafica.png (5 puntos), literal d (5 puntos),

Referencia: [1] Chapra. capítulo 28. Ejercicio 28.41 p852.

[2] Extreme Bungy Jumping with Cliff Jump Shenanigans! Play On in New Zealand! 4K! – devinsupertramp. 23 mar 2015.

 

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2Eva_2023PAOII_T3 EDP desarrolle expresión

2ra Evaluación 2023-2024 PAO II. 30/Enero/2024

Tema 3 (30 puntos) Para la siguiente Ecuación Diferencial Parcial con b = 2, resuelva usando las condiciones mostradas

∂2u∂x2+b∂u∂x=∂u∂dt \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + b\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial dt}
0 < x < 1

0 < t < 0.5

 Condiciones de frontera:
u(0,t)=0, u(1,t)= 1, 0≤t≤0.5
Condiciones iniciales:
u(x,0)=0, 0≤x≤1

Utilice diferencias finitas centradas y hacia adelante para las variables independientes x,t

a. Plantee las ecuaciones para usar un método numérico en un nodo i,j

b. Realice la gráfica de malla,

c. Desarrolle y obtenga el modelo discreto para u(xi,tj)

d. Realice al menos tres iteraciones en el eje tiempo.

e. Estime el error de u(xi,tj) y adjunte los archivos del algoritmo y resultados.

f. Con el algoritmo, estime la solución para b = 0 y b=-4. Realice las observaciones de resultados para cada caso.

Rúbrica: Aproximación de las derivadas parciales (5 puntos), construcción de la malla (5), desarrollo de iteraciones (10), literal e (10 puntos), literal f (5 puntos extra)

Referencia: EDP Parabólicas. Chapra & Canale. 5ta Ed. Ejercicio 30.15. P.904

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2Eva_2023PAOII_T2 Cable cuelga entre apoyos A y B

2ra Evaluación 2023-2024 PAO II. 30/Enero/2024

Tema 2 (40 puntos) Un cable cuelga de dos apoyos en A y B. cable colgante entre apoyos

El cable sostiene una carga distribuida cuya magnitud varía con x según la ecuación

w=w0[1+sin⁡(πx2lB)] w = w_0 \Big[ 1+ \sin \Big(\frac{\pi x}{2l_B} \Big) \Big]

donde w0 = 1 000 lbs/ft y T0. = 0.588345×106.
La pendiente del cable (dy/dx) = 0 en x = 0, que es el punto más bajo del cable.

También es el punto donde la tensión del cable alcanza un mínimo de T0. La ecuación diferencial que gobierna el cable es

d2ydx2=w0T0[1+sin⁡(πx2lB)] \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{w_0}{T_0} \Big[ 1+ \sin \Big(\frac{\pi x}{2l_B} \Big) \Big]

a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden

b. Desarrolle tres iteraciones para y(x) con tamaño de paso h=0.5

c. Usando el algoritmo, aproxime la solución para x en el intervalo entre [0,200], adjunte sus resultados.txt en la evaluación.

d. Realice sus observaciones sobre los resultados obtenidos sobre la altura y(200) alcanzada en el extremo derecho del cable y lo indicado en la gráfica del enunciado.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c resultados.txt (10 puntos), grafica.png (5 puntos), literal d (5 puntos),

Referencia: Cable entre dos apoyos con carga distribuida. Chapra & Canale. 5ta Ed. Ejercicio 28.21. P849

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2Eva_2023PAOII_T1 Volumen por solido de revolución

2da Evaluación 2023-2024 PAO II. 30/Enero/2024

Tema 1 (30 puntos) Los sólidos de revolución se generan al girar una región plana alrededor de un eje. solido de revolucion 1

V=∫abπ(f(x))2dx V = \int_{a}^{b} \pi (f(x))^2 dx

El volumen generado al girar la región de la función f(x) en el intervalo [a,b], se puede calcular como el volumen del disco de radio f(x) y anchura dx.

f(x)=sin⁡(x/2) f(x) = \sqrt{\sin (x/2)} g(x)=ex/3−1 g(x) = e^{x/3} - 1

Calcule el volumen de revolución generado por la región sombreada de la gráfica que ese encuentra entre: f(x) y g(x).
Las funciones se usan en el intervalo [0.1 , 1.8]:

Realice el planteamiento de las ecuaciones para el ejercicio, considerando que

a. Para el integral con f(x), use formulas de Simpson con al menos 3 tramos, mientras que

b. Para el integral con g(x) use Cuadratura de Gauss de dos puntos con al menos 2 tramos.

c. Desarrolle las expresiones completas del ejercicio para cada función.

d. Indique el resultado obtenido para el área requerida y la cota de error.

e. Determine el volumen de revolución generado por la región sombreada

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)

Referencia:  [1] Volúmenes de sólidos de revolución. Moisés Villena Muñoz.Capítulo 4 p78. https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/4800/4/7417.pdf
[2] 8.2.2 Gráficas en 3D en Python, sólidos de revolución. http://blog.espol.edu.ec/ccpg1001/graficas-en-3d-en-python-sistema-de-ecuaciones-y-planos/
[3] Volumes: Washer Method Animation 2. Stacey Roshan. 24 Abril 2016.

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2Eva_2023PAOI_T3 EDP elíptica, placa rectangular con frontera variable

2da Evaluación 2023-2024 PAO I. 29/Agosto/2023

Tema 3 (35 puntos) Aproxime la solución de la Ecuación Diferencial Parcial

∂2u∂x2+∂2u∂y2=(x2+y2)exy \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = \Big( x^2 + y^2 \Big) e^{xy} 0<x<1 0 \lt x \lt 1 0<y<0.5 0 \lt y \lt 0.5

Con las condiciones de frontera:

u(0,y)=1, u(1,y)= y, 0≤y≤0.5
u(x,0)=1, u(x,0.5)=x/2, 0≤x≤1

Aproxime la solución con tamaños de paso Δx = 0.25, Δy = 0.25
Utilice diferencias finitas centradas para las variables independientes x,y

a. Plantee las ecuaciones para usar un método numérico en un nodo i,j

b. Realice la gráfica de malla,

c. desarrolle y obtenga el modelo discreto para u(xi,tj)

d. Realice al menos tres iteraciones en el eje tiempo.

e. Estime el error de u(xi,tj) y adjunte los archivos del algoritmo y resultados.

Rúbrica: Aproximación de las derivadas parciales (5 puntos), construcción de la malla (10), construcción del sistema lineal (15), resolución del sistema (5 puntos).

Referencia: 2Eva_IT2012_T3 EDP elíptica, placa rectangular