2da Evaluación – Página 9 – Métodos numéricos

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2Eva_IIT2008_T3_MN EDO no lineal

2da Evaluación II Término 2008-2009. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 3. (30 puntos) Se tiene la siguiente ecuación no lineal con derivadas:

y'' +y'+y = \ln (x)

1\leq x \leq 3, y(1)=0, y(3) =1

Se requiere determinar la solución de ésta ecuación como la función y(x) .

Siga el siguiente procedimiento para obtener tres puntos de ésta función y(x) para los valores de x=1.5, 2.0 y 2.5

a. Sustituya las derivadas por aproximaciones en un punto i. También exprese las variables x,y en el punto i. Escriba la ecuación resultante, la cual se denomina ecuación de diferencias.

b. Evalúe la ecuación de diferencias en cada uno de los tres puntos x_i, i = 1, 2, 3 en los que se desea concocer y_i.
Se obtendrá un sistema de ecuaciones lineales en el que las incógnitas son los tres valores de y_i.
Escriba el sistema lineal resultante.

c. Realice dos iteraciones con el método de Gauss-Seidel para resolver el sistema de ecuaciones. Comience con los tres valores iniciales iguales a 0.5

d. Calcule la norma del error con los valores obtenidos en las dos iteraciones.
¿Se puede predecir que converge?
¿Se puede asegurar que converge?
Justifique sus respuestas.

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2Eva_IIT2008_T2_MN Emisiones CO2

2da Evaluación II Término 2008-2009. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 2. (40 puntos) Se han registrado seis mediciones de la emisión en Kg de CO₂ en una fábrica entre la 1 y las 3 de la tarde:

t	hora	1.0	1.4	1.8	2.2	2.6
emisión[t]	Kg	2.2874	5.5947	10.6046	16.0527	18.0455

a. Tabule las diferencias finitas hacia adelante

b. Con un polinomio de segundo grado, calcule la cantidad de CO₂ que se emitió a las 2 de la tarde. Encuentre el error en el resultado obtenido

c. Usando una fórmula de segundo orden, calcule la velocidad (emisión‘(t)) con la que está emitiéndose la cantidad de CO₂ cuando t=1.8 horas. Estime el error en el resultado obtenido.

d. Usando una fórmula de segundo orden, calcule la aceleración (emisión''(t)) con la que está emitiéndose la cantidad de CO₂ cuando t=1.8 horas. Estime el error en el resultado obtenido.

e. Usando una aproximación lineal entre los datos de las mediciones, calcule la cantidad total de CO₂ que se emitió entre la una de la tarde y las tres de la tarde (fórmula de los trapecios). Estime el error en el resultado obtenido.

f. Usando una aproximación parabólica entre los datos de las mediciones calcule la cantidad total de CO₂ que se emitió entre la una de la tarde y las tres de la tarde (fórmula de Simpson). Estime el error en el resultado obtenido.

t    =    [ 1.0,    1.4,     1.8,     2.2,     2.6   ]
emision = [ 2.2874, 5.5947, 10.6046, 16.0527, 18.0455]

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2Eva_IIT2008_T1_MN Valor anual de maquinaria por desgaste

2da Evaluación II Término 2008-2009. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 1. (30 puntos) La depreciación es el mecanismo mediante el cual se reconoce el desgaste que sufre un bien por el uso que se haga de él [1].

La siguiente tabla presenta el valor anual C(x) de una máquina en función de los años de vida x en operación productiva.

x (años)	5	10	15	20
C[x] (USD)	10300	8700	9600	12300

a. Use todos los datos para obtener un polinomio para aproximar el costo anual en función de x

b. Con el polinomio obtenido encuentre el tiempo de vida aproximado para el cual el costo anual es mínimo.

Referencia: [1] Depreciación. Wikipedia

x = [    5,   10,   15,    20]
C = [10300, 8700, 9600, 12300]

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2Eva_IT2008_T3_MN Estimar utilidades

2da Evaluación I Término 2008-2009. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 3. Se tienen las utilidades anuales de una empresa cada 3 años.

Año	0	3	6	9	12
Utilidad Anual	0	16500	14520	1540	14690

a. Encuentre el trazador cúbico natural que se ajusta a los datos de la tabla. Resuelva el sistema de ecuaciones con el método de Gauss=Seidel con un error menor a 10^-3

b. Aproxime el área bajo la curva de 0 a 12 años aplicando una vez la Cuadratura de Gauss.

anio = [ 0, 3, 6, 9, 12]
utilidad = [ 0, 16500, 14520, 1540, 14690]

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2Eva_IT2008_T2_MN Integral Simpson

2da Evaluación I Término 2008-2009. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 2. Para el siguiente integral

A = \int_1^{\infty}\frac{1}{1+x^4} \delta x

a. Aproxime el valor de A usando el método de Simpson con 4 subintervalos

b. Estime la cota de error para el resultado obtenido

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2Eva_IT2008_T1_MN Producción petroleo

2da Evaluación I Término 2008-2009. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 1. En la siguiente tabla se muestra la producción diaria de barriles de petróleo en un determinado pozo en la región oriental ecuatoriana.

día	producción
1	3345
2	3245
3	3211
4	3309
5	3351
6	3412
7	3230
8	3135
9	3132
10	3129

a. Aproxime la primera derivada y la segunda derivada en los días 2 y 5

b. Estime la cota del error en los resultados obtenidos

c. Exprese en palabras el significado del comportamiento de la producción en los días señalados.

dia = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
produccion = [3345, 3245, 3211, 3309, 3351, 3412, 3230, 3135, 3132, 3129]

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2Eva_IIT2007_T3_AN Circuito RL

2da Evaluación II Término 2007-2008. 12/Febrero/2008. Análisis Numérico

Tema 3. En un circuito con un voltaje E(t) y una inductancia L, la primera ley de Kirchoff da la siguiente relación:

E(t) = L \frac{\delta i}{\delta t} + Ri

Donde R es la resistencia del circuito e i es la corriente.

Con los datos de la tabla aproxime el voltaje E(t) con inductancia L=0.98 Henrios y resistencia R=0.142 Ohmios, para los valores de tiempo dados.

t	1.00	1.01	1.02	1.03	1.04
i	3.10	3.12	3.14	3.18	3.20

t = [ 1.00, 1.01, 1.02, 1.03, 1.04]
i = [ 3.10, 3.12, 3.14, 3.18, 3.20]

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2Eva_IIT2007_T2_AN Lanzamiento vertical proyectil

2da Evaluación II Término 2007-2008. 12/Febrero/2008. Análisis Numérico

Tema 2. Un proyectil de masa = 0.11 Kg es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial V(0) = 8 m/s.

El proyectil disminuye su velocidad por efecto de la fuerza de gravedad
F_g = -mg
y por la resistencia del aire
F_r = kv|v|
donde g = 9.8 m/s² y k = 0.002 Kg/m.

La ecuación diferencial de la velocidad está dada por:

m \frac{\delta v}{\delta t} = -mg - kv|v|

a. Calcule la velocidad con el método de Runge-Kutta de cuarto orden para

t = 0.2, 0.4, … , 1.0 segundos.

b. Calcule en que tiempo el proyectil alcanzará la altura máxima.

Referencias:

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2Eva_IIT2007_T1 Integral regla Simpson

2da Evaluación II Término 2007-2008. 12/Febrero/2008. ICM00158

Tema 1. Use la regla de Simpson para calcular en forma aproximada

A = \int_0^1 y(x)dx

Use los puntos de y(x) que se obtienen resolviendo la ecuación diferencial

y'' - y' - y - x + 1 = 0

y(0) = 1, y(1) = 2

con el método de diferencias finitas, h = 0.25

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2Eva_IIT2010_T3 Integral impropia

2da Evaluación II Término 2010-2011. 1/Febrero/2011. ICM00158

Tema 3. Determinar el valor de la integral impropia:

\int_0^{1/2} \frac{1}{(2x-1)^{1/3}} \delta x

Con Simpson, n=4