Categoría: 3raEva 2025-

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3Eva_2025PAOI_T3 EDP elíptica con f(x,y)

3ra Evaluación 2025-2026 PAO I. 9/Septiembre/2025

Tema 3 (35 puntos) Use el método de diferencias finitas divididas para la ecuación diferencial parcial, también conocida como Poisson, para aproximar la solución de:

\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = x e^{y}
0 < y < 1 u(0,y) = 0 u(2,y) = 2ey
0 < x < 2 u(x,0) = x u(x,1) = xe1

Utilice diferencias finitas para las variables independientes x,y

Considere la cantidad de tramos por eje como n=6 en x, m=5 en y, con tolerancia de 10-5.

a. Plantee las ecuaciones discretas a usar un método numérico en un nodo xi, yj

b. Realice la gráfica de malla, detalle los valores de i, j, xi, yj

c. Desarrolle y obtenga el modelo discreto para u(xi,yj)

d. Determine el valor de Lambda λ

e. Adjunte los archivos del algoritmo.py, resultados.txt, gráficas.png

Rúbrica: Selección de diferencias finitas divididas (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)

Referencia: Burden 10Ed ejemplo 12.2 p550

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3Eva_2025PAOI_T2 Sistema de ecuaciones con Jacobi

3ra Evaluación 2025-2026 PAO I. 9/Septiembre/2025

Tema 2 (35 puntos) Para el sistema de ecuaciones mostrado, encuentre la solución usando el método de Jacobi usando como vector cero como inicial.

x1 − x2 + x3 + 3x4 = 1
x1 + 4x2 − x3 − x4 = −1
−x1 − x2 + 5x3 + x4 = 0
4x1 + x2 − x3 + x4 = −2

a. Presente la matriz aumentada y Muestre los pasos para el pivoteo parcial por filas.

b. Desarrolle las expresiones para resolver mediante el método iterativo de Jacobi.

c. Realice al menos 3 iteraciones con expresiones completas, indicando el error por iteración.

d. Analice la convergencia del método y resultados obtenidos.

e. Determine el número de condición y comente su relación sobre los resultados.

f. Adjunte los archivos del algoritmo y resultados de computadora utilizados.

Rúbrica: Literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos). literal e (5 puntos). literal f (5 puntos)

Referencia: Burden 9Ed ejercicio 7.3.c p459

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3Eva_2025PAOI_T1 Crecimiento de población con migracion

3ra Evaluación 2025-2026 PAO I. 9/Septiembre/2025

Tema 1 (35 puntos) A menudo, el crecimiento de una población se puede modelar sobre periodos breves al asumir que aumenta de manera continua con el tiempo a una tasa proporcional al número actual en ese momento.

N(t) = N_0 e^{\lambda t} + \frac{v}{\lambda}\left( e^{\lambda t} -1 \right)

Si se permite inmigración a una tasa constante v, la ecuación N(t) mostrada estima el número de la población en el tiempo t.

Suponga λ denota la tasa constante de natalidad. En un inicio, cierta población tiene N(0)=1 millón de personas, que v=124000 personas inmigran a la comunidad durante el primer año. Que al final del primer año N(1)=1364000. Encuentre la tasa de natalidad λ para el primer año. Crecimiento Migracion Poblacion 01

a. Plantear el ejercicio para el eje λ o variable independiente

b. Indique y verifique el intervalo [a,b] a usar en el ejercicio

c. Desarrolle al menos tres iteraciones usando un método para búsqueda de raíces, las expresiones deben ser completas en cada iteración, con los valores usados en cada una.

d. Indique el error en cada iteración.

e. Describa si el método converge y observe los resultados de las iteraciones realizadas.

f. Adjunte en “aulavirtual” los resultados.txt y gráficas.png realizadas con el algoritmo.py

Nota: Si la mitad de la población son mujeres y todas pudiesen tener un hijo, la tasa de natalidad en un periodo de gestación de un año será como máximo del 50 por ciento (0.5).

 Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos), literal f (5 puntos).

Referencia:[1] Burden 10Ed ejemplo 1 p35

[2] https://revistacomunicacion.com/2022/03/07/imagenes-y-representaciones-visuales-de-la-migracion%EF%BF%BC/

[3] Planeta Tierra – Población, ciudades y migración (Cap. 8). La Casa Encendida. 2 abril 2020. https://www.youtube.com/watch?v=h2spokNWN50

[4] Migrantes, la gran mayoría latinos, colapsan la Gran Manzana- DW español. 22-Sept-2023.