Curso con Python – MATG1052/MATG1013-FCNM-ESPOL
Ejercicios de examen
Tema 3. Resolver la siguiente ecuación diferencial
\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}=0 1\lt x \lt 2, 0 \lt y \lt 1 u(x,0) = 2 \ln(x) u(x,1)= \ln(x^2 + 1) 1\leq x \leq 2 u(1,y) = \ln(y^2 +1) u(2,y)= \ln(y^2 + 4) 0\leq y \leq 1Tema 2. La matriz F tiene la altura de una montaña en una región rectangular con Δx = Δy =0.2 
Aproxime el volumen de la región bajo la superficie utilizando la regla de Simpson 1/3 en ambas direcciones
F = [[2.3, 2.5, 3.1, 3.2, 2.8],
[2.4, 2.6, 2.9, 2.8, 2.7],
[2.6, 2.8, 3.1, 3.0, 2.6]]
Tema 1. Mediante una investigación se ha logrado determinar que la resistencia de cierto material sometido a un esfuerzo variable en el tiempo responde a la ecuación íntegro-diferencial:
y'- \int_0^t \frac{e^u}{u} \delta u -ty =0 t \in [0,1]; y(0)=1Determinar cuál es la resistencia en los instantes t = 0.25, 0.5, 0.75 y 1 segundos.
Utilice el método de Euler para resolver la ecuación diferencial y trapecios n=2 para resolver las integrales que se generan.
Tema 3. (30 puntos) Para que la siguiente función sea útil en el cálculo de probabilidad, se debe encontrar el valor de k tal que el área bajo f(x) sea igual a 1.
f(x)=\begin{cases} kxe^{-x^2}, & x\geq 0\\ 0, & x\lt 0 \end{cases}Encuentre un valor aproximado de k con el siguiente procedimiento.
a. Separe el integral en dos intervalos [0, 1], [1, ∞]. Mantenga k fuera del integral.
b. Integre en el intervalo [0,1] con la fórmula de Simpson (m=2)
c. Mediante un cambio de variable elimine el límite ∞ en el segundo intervalo e integre aplicando una vez la Cuadratura de Gauss. Recuerde que esta fórmula no requiere evaluar la función en los extremos del intervalo de integración.
d. Obtenga el valor de k igualando a 1 la suma de los dos resultados anteriores
Tema 2. (30 puntos) Dado el sistema de ecuaciones lineales AX=B:
A = [a_{i,j}], B = [b_i] a_{i,j} = \frac{1}{i+j-1}, b_i = i^{2} 1\leq i,j\leq 3a. Determine el nivel de mal condicionamiento de A con la definición:
cond(A) = ||A|| ||A-1||
b. Obtenga el vector solución X e indique si esta solución es confiable.
Use el método de Gauss-Jordan partiendo de la matriz aumentada, A|B|I. Al transformar la matriz A en I, las transformaciones aplicadas simultáneamente al vector B, lo convertirán en la solución. El proceso también afecta a la matriz I que se convierte en A-1 .
Use 4 decimales sin redondear en sus cálculos.
Tema 1. (40 puntos) En los siguientes datos (x, f(x)), x representa el tiempo en horas de entrenamiento que realizaron 4 empleados de una empresa y f(x) representa su eficiencia actual para realizar cierta tarea (tiempo en minutos):
(0.0, 4.0), (2.0, 3.6), (4.0, 2.8), (6.0, 2.5)
a. Use el polinomio de interpolación de tercer grado para estimar la eficiencia (tiempo en minutos) si el entrenamiento es 5 horas.
b. Use el polinomio de interpolación de tercer grado para estimar el tiempo de entrenamiento que se requiere para que la eficiencia sea exactamente 3.0 minutos.
datos = [[0.0, 4.0],
[2.0, 3.6],
[4.0, 2.8],
[6.0, 2.5]]
Tema 3. Dada la siguiente ecuación diferencial, resuelva usando el método de las diferencias finitas:
y'' + (x+1)y'-2y = (1-x^2)e^{-x^2} 0 \leq x \leq 1 y(0)=-1, y(1)=0a) Aplique el algoritmo con h = 0.2
b) Escriba el sistema de ecuaciones y obtenga la solución con un método iterativo con 10-3 como tolerancia para detener el proceso
Tema 2. Un servomecanismo presenta la potencia de tracción en función del ángulo de elevación como se indica en la tabla.
a. Construya el trazador cúbico natural
b. Aproxime la potencia cuando el ángulo es 35 grados, y determine el error de interpolación.
| Elevación (grados) | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| Potencia (Joules/s) | 34,202 | 50,000 | 64,279 | 76,604 | 86,603 |
elevacion = [ 20, 30, 40, 50, 60] potencia = [34202, 50000, 64279, 76604, 86603]
Referencia:
COMO HACEN LOS BRAZOS ROBOTICOS Discovery MAX
Tema 1. Mediante una investigación se ha logrado determinar que la intensidad de corriente i(t) en cierto circuito sometido a un campo eléctrico variable en el tiempo responde a la ecuación integro-diferencial:
\frac{\delta i}{\delta t} - \int_0^t \frac{e^u}{u+1} \delta u -t i(t) = 0 t \in [0,1]; y(0)=1Determinar cuál es la intensidad de corriente en los instantes t=0.25 y t=0.5 segundos.
Utilice el método de Runge-Kutta para resolver la ecuación diferencial y Trapecios n=2 para resolver las integrales que se generan
Tema 4. Calcule la siguiente integral, usando el método de la cuadratura Gaussiana
\int_0^{\pi /4} x^3 \sin (\sqrt{x}) dxCon n =3