Ejercicios de examen
Tema 3. (25 puntos) Calcular la siguiente integral, con el algoritmo de la integral doble de Simpson:
\int_R \int x^2 (\sqrt{9 - y^2}) \delta ADonde R es la región acotada por: x2+y2 =9 .
Usar n=m=4
Tema 2. (25 puntos) Resolver el siguiente problema de valor inicial
(1-x^2)y' - xy = x (1-x^2) 0\leq x \leq \frac{1}{2} y(0)=2Usando el método de Runge-Kutta de cuarto orden:
a. Plantear el algoritmo para la función específica f(x,y)
b, Realice al menos 3 iteraciones con h=0.1
c. Presentar la tabla de resultados
Tema 1. (25 puntos) Para aproximar la profundidad de una ladera submarina se han hecho mediciones, las cuales relacionan la profundidad de la ladera, expresada en m, con la distancia respecto a la orilla, expresada en km.
Empleando los datos que se dan a continuación, construya el trazador cúbico natural para aproximar la profundidad de la ladera a 1.5 km respecto a la orilla.
| Distancia a orilla | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Profundidad ladera | 1 | 170 | 235 | 320 |
Escriba el sistema de ecuaciones del cual se obtienen los valores de ci.
distancia = [ 0, 1, 2, 3] profundidad = [ 1, 170, 235, 320]
Referencias:
EEUU vierte arena en playas de Miami Beach erosionadas por el cambio climático | AFP
Tema 4. (25 puntos) Resuelva la siguiente ecuación diferencial con el método de diferencias finitas, h=0.2
y'' + 2y' -y -2e^x + x - 4 = 0 0 \leq x \leq 1 y(0) = -1, y(1) = e-1Rúbrica: Determinar algoritmo de diferencia centrada (10 puntos), sistema de ecuaciones (10 puntos), solución numérica (5 puntos)
Tema 3. (25 puntos) Aproxime el valor de la siguiente integral con ayuda de la fórmula compuesta de Simpson con n=6
\int_0^1 \frac{\cos (2x)}{x^{1/3}} \delta xRúbrica: Integración del polinomio de grado cuatro (10 puntos), integración del residuo con Simpson (10 puntos), Valor aproximado de la integral (5 puntos)
Tema 2. (25 puntos) Resolver la ecuación diferencial usando el método de Taylor con n=2:
xy'+ 2y = \sin (x) \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2} y\Big(\frac{\pi}{2} \Big) = 1a. Establecer el algoritmo correspondiente para la ecuación dada
b. Escribir la tabla de resultados para h = π/10
Rúbrica: Determinación correcta de f(x,y(xi) )(2.5 puntos), establecimiento del algoritmo de Taylor (12.5 puntos), Solución numérica (10 puntos)
Tema 1. (25 puntos) Dado los valores de una función, construir el trazador cúbico fijo.
f(0) = 1,
f(0.25) = 1.14012
f(0.5) = 1.32436
f(0.75) = 1.5585
y con las derivadas, f'(0) = 0.5, f'(0.75) = 1.0585
a. Establecer el sistema para determinar los valores de ci
b. Aproximar f(0.15) y f(0.6)
Rúbrica: Sistema de ecuaciones (7.5 puntos), polinómios cúbicos (10 puntos), aproximación correcta de los puntos (7.5 puntos)
datos = [[0, 1],
[0.25, 1.14012],
[0.5 , 1.32436],
[0.75, 1.5585 ]]
Tema 3. (20 puntos) Determine la corriente I(t) de un circuito "LRC" en serie, cuando L=0.005 Henrios, R = 2 Ohm y C=0.02 Faradios, donde E(t) se regula en el tiempo y es igual a:
E(t)=1000\frac{[[t+1]]}{\sin ^2 (t) +2}En el instante inicial la corriente I(0) es cero y la ecuación del circuito puede aproximarse por:
L\frac{\delta I}{\delta t} +RI + \frac{1}{C} \int_0^t e^{-t^2} \delta t = E(t) I(0) = 0Determine la corriente en los instantes π/4 y π/2 utilizando el método de Runge-Kutta de cuarto orden para resolver la ecuación diferencial y Simpson con una parábola para determinar las integrales que se generen.
Rúbrica: Aproximación de I(t) en t = π/4 (10 puntos), aproximación de I(t) en t = π/2 (10 puntos)
Tema 2. (20 puntos) Dada la ecuación hiperbólica
\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = 0 0 \lt x \lt 1, t\gt 0 \begin{cases} u(0,t) = u(1,t) = 0 , & t\gt 0 \\ u(x,0) = \sin (2\pi x), & 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{\delta u}{\delta t} (x,0) = 2 \pi \sin (2\pi x) , & 0 \leq x \leq 1\end{cases}Aproximar u(x,t) para t=0.8, con h=k=0.2
Rúbrica: Establecer el método de diferencia centrada y condiciones de frontera (5 puntos), determinar ωi1 (5 puntos), aproximación de u(x,t) en t=0.8 (10 puntos)
Tema 1. (20 puntos) Calcular la integral doble usando el método de Simpson con n=m=3
\int_R\int (y^2 + x^3) \delta y \delta x
Rúbrica: Integración respecto eje x (10 puntos), Integración respecto eje y (10 puntos)