Se selecciona la esquina inferior derecha como 0, por la segunda ecuación de condiciones y facilidad de cálculo. (No hubo indicación durante el examen que muestre lo contrario)
condiciones de frontera U(0,t)=0, U(1,t)=1
condiciones de inicio U(x,0)=0, 0≤x≤1
aunque lo más recomendable sería cambiar la condición de inicio a:
condiciones de inicio U(x,0)=0, 0<x<1
Siguiendo con el tema de la ecuación, al reemplazar las diferencias finitas en la ecuación:
# 2Eva_IIT2018_T2 Kunge Kutta 2do Orden x''import numpy as np
defrungekutta2_fg(f,g,x0,y0,z0,h,muestras):
tamano = muestras + 1
estimado = np.zeros(shape=(tamano,3),dtype=float)
# incluye el punto [x0,y0]
estimado[0] = [x0,y0,z0]
xi = x0
yi = y0
zi = z0
for i inrange(1,tamano,1):
K1y = h * f(xi,yi,zi)
K1z = h * g(xi,yi,zi)
K2y = h * f(xi+h, yi + K1y, zi + K1z)
K2z = h * g(xi+h, yi + K1y, zi + K1z)
yi = yi + (K1y+K2y)/2
zi = zi + (K1z+K2z)/2
xi = xi + h
estimado[i] = [xi,yi,zi]
return(estimado)
# PROGRAMA# INGRESO
f = lambda t,x,z: z
g = lambda t,x,z: -5*t*z-(t+7)*np.sin(np.pi*t)
t0 = 0
x0 = 6
z0 = 1.5
h = 0.2
muestras = 10
# PROCEDIMIENTO
tabla = rungekutta2_fg(f,g,t0,x0,z0,h,muestras)
# SALIDAprint(tabla)
# GRAFICAimport matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(tabla[:,0],tabla[:,1])
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('x(t)')
plt.show()
a) Se pueden combinar los métodos para realizar la integral. Se usa el método de Simpson 1/3 para los primeros dos tramos y Simpson 3/8 para los 3 tramos siguientes. Siendo f(x) equivalente a Q(t)C(t). El tamaño de paso h es constante para todo el ejercicio con valor 5.
b.1 se puede estimar como la diferencia entre la parábola del primer tramo y simpson 1/3
b.2 siguiendo el ejemplo anterior, como la diferencia entre la interpolación de los tramos restantes y simpson 3/8.
# 2Eva_IT2010_T2 Movimiento angularimport numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
defrungekutta2_fg(f,g,x0,y0,z0,h,muestras):
tamano = muestras + 1
estimado = np.zeros(shape=(tamano,3),dtype=float)
# incluye el punto [x0,y0,z0]
estimado[0] = [x0,y0,z0]
xi = x0
yi = y0
zi = z0
for i inrange(1,tamano,1):
K1y = h * f(xi,yi,zi)
K1z = h * g(xi,yi,zi)
K2y = h * f(xi+h, yi + K1y, zi + K1z)
K2z = h * g(xi+h, yi + K1y, zi + K1z)
yi = yi + (K1y+K2y)/2
zi = zi + (K1z+K2z)/2
xi = xi + h
estimado[i] = [xi,yi,zi]
return(estimado)
# INGRESO theta = y
ft = lambda t,y,z: z
gt = lambda t,y,z: -10*np.sin(y)
t0 = 0
y0 = 0
z0 = 0.1
h=0.2
muestras = 5
# PROCEDIMIENTO
tabla = rungekutta2_fg(ft,gt,t0,y0,z0,h,muestras)
# SALIDAprint(' [ t, \t\t y, \t dyi/dti=z]')
print(tabla)
# Grafica
ti = np.copy(tabla[:,0])
yi = np.copy(tabla[:,1])
zi = np.copy(tabla[:,2])
plt.subplot(121)
plt.plot(ti,yi)
plt.xlabel('ti')
plt.title('yi')
plt.subplot(122)
plt.plot(ti,zi, color='green')
plt.xlabel('ti')
plt.title('dyi/dti')
plt.show()
Siguiendo el desarrollo analítico tradicional, para adecuar la ecuación para los algoritmo de búsquda de raíces de ecuaciones, se reemplazan los valores en la fórmula.
P = A\Big(\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \Big) 70000 = 1200\Big(\frac{1-(1+i)^{-300}}{i} \Big)
Como ambos lados de la ecuación deben ser iguales, si se restan ambos se obtiene una ecuación que tiene como resultado cero, que es la forma ideal para usar en el algoritmo que representa f(x) o en este caso f(i)
El intervalo de existencia correspondería a la tasa de interés mínimo y el interés máximo.
[izquierda, derecha] = [a,b]
Para el intervalo se deben tomar en cuenta algunas consideraciones descritas a continuación:
izquierda:
En el extremo izquierdo, las tasas no son negativas, lo que se interpreta en que un banco paga por que le presten dinero.
Tampoco tiene mucho sentido el valor cero, que son prestamos sin intereses. A menos que sean sus padres quienes le dan el dinero.
Un valor inicial para el interés puede ser por ejemplo 1% ó 0.01, siempre que se cumpla que existe cambio de signo en la función a usar.
derecha:
En el extremo derecho, si se propone por ejemplo i con 100%, o 1.00, no tendría mucho sentido un préstamo con intereses al 100% anual, que resulta en el doble del valor inicial en tan solo un periodo o año.
La tasa de interés de consumo que son de las más alto valor, se encuentran reguladas. En Ecuador es un valor alrededor del 16% anuales o 0.16.
Considerando las observaciones iniciales del problema, se propone empezar el análisis para la búsqueda de la raíz en el intervalo en un rango más amplio:
[ 0.01, 0.50]
Ser realiza la comprobación que existe cambio de signo en los extremos del intervalo.
fx(0.001) =- 43935.86
fx(0.50) = 67600.0
Para el ejercicio se hace notar que la es tasa nominal anual, pero los pagos son mensuales. Por lo que se debe unificar las tasas de interes a mensuales. Una aproximación es usar las tasas anuales divididas para los 12 meses del año.
Tolerancia al error
La tolerancia se considera en éste ejercicio como el valor de diferencias (tramo) entre iteraciones con precisión satisfactoria.
Por ejemplo si no negociaremos más con el banco por variaciones de tasas del 0.1% , entonces la tolerancia será de 0.001.
Las publicaciones de tasas en el mercado incluyen dos decimales, por lo que para el ejercicio aumentamos la precisión a : 0.0001
tolera = 1x10-4
Literal c
Se presentan dos formas se solución para el litera c:
- c.1 la requerida en el enunciado con Newton-Raphson
y se continuaría con las iteraciones, hasta cumplir que tramo<=tolera
Tabla de datos obtenidos
tabla para Bisección
i
a
c
b
f(a)
f(c)
f(b)
tramo
1
0.01
0.255
0.5
-43935.86
65294.11
67600.0
0.49
2
0.01
0.1325
0.255
-43935.86
60943.39
65294.11
0.215
3
0.01
0.07125
0.1325
-43935.86
53157.89
60943.39
0.1225
hasta lo calculado la raiz se encontraría en el intervalo [0.01,0.07125] con error estImado de 0.06125, aún por mejorar con más iteraciones.
Algoritmo en Python para Bisección
El algoritmo bisección usa las variables a y b, por lo que los limites en el intervalo usados son [La,Lb]
para el problema la variable 'i' se usa en el eje x.
La selección de cambio de rango [a,b] se hace usando solo el signo del valor.
El algoritmo presentado es tal como se explica en la parte conceptual
Se deja como tarea convertir el algoritmo a funcion def-return de Python.
# 1Eva_IIT2018_T4 Tasa de interés en hipotecaimport numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# INGRESO
P = 70000.00
A = 1200.00
n = 25*12
fi = lambda i: P - A*(1-((1+i)**-n))/i
# Intervalo de observación# e inicio de Bisección
La = 0.01
Lb = 0.50
tolera = 0.0001 #grafica
muestras = 21
# PROCEDIMIENTO# Método de Bisección
a = La
b = Lb
c = (a+b)/2
tramo = np.abs(b-a)
while (tramo>tolera):
fa = fi(a)
fb = fi(b)
fc = fi(c)
cambio = np.sign(fc)*np.sign(fa)
if (cambio>0):
a = c
b = b
else:
b = c
a = a
c = (a+b)/2
tramo = np.abs(b-a)
# Para la gráfica
tasa = np.linspace(La,Lb,muestras)
fr = fi(tasa)
# SALIDAprint('a, f(a):', a,fa)
print('c, f(c):', c,fc)
print('b, f(b):', b,fb)
print('la raiz esta entre: \n',a,b)
print('con un error de: ', tramo)
print('raiz es tasa buscada: ', c)
print('tasas anual buscada: ',c*12)
# Gráfica
plt.plot(tasa,fr)
plt.axhline(0, color='green')
plt.title('tasa de interes mensual')
plt.show()
la ejecución del algoritmo da como resultado
>>>
RESTART: D:/MATG1052Ejemplos/HipotecaInteres.py
a, f(a): 0.016998291015625 -385.52828922150366
c, f(c): 0.0170281982421875 -145.85350695741363
b, f(b): 0.01705810546875 92.28034212642524
la raiz esta entre:
0.016998291015625 0.01705810546875
con un error de: 5.981445312500111e-05
raiz es tasa buscada: 0.0170281982421875
tasas anual buscada: 0.20433837890625
con error del orden de O(h5) que al considerar h=2 no permite hacer una buena estimación del error. Sin embargo la respuesta es bastante cercana si se usa el método el trapecio con el algoritmo:
valores de fi: [ 0. 27.77 41.1 ]
divisores en L(i): [ 32. -16. 32.]
Polinomio de Lagrange, expresiones
-1.735625*x*(x - 8.0) + 1.284375*x*(x - 4.0)
Polinomio de Lagrange:
-0.45125*x**2 + 8.7475*x
Método del trapecio
distancia recorrida: 193.28
>>>
El error entre los métodos es |203.2-193.28|= 9.92
Revisar el resultado usando un método con mayor precisión que el trapecio.
Algoritmo con Python
Las instrucciones en Python para el ejercicio son:
# 1ra Evaluación II Término 2018# Tema 1. Interpolar velocidad del paracaidistaimport numpy as np
import sympy as sym
import matplotlib.pyplot as plt
# Literal a)# Interpolacion de Lagrange# divisoresL solo para mostrar valores# INGRESO
t = [0.0, 2, 4, 6, 8]
v = [0.0, 16.40, 27.77, 35.64, 41.10]
cuales = [0,2,4]
# PROCEDIMIENTO
xi = np.array(t,dtype=float)
fi = np.array(v,dtype=float)
xi = xi[cuales]
fi = fi[cuales]
# Polinomio de Lagrange
n = len(xi)
x = sym.Symbol('x')
polinomio = 0
divisorL = np.zeros(n, dtype = float)
for i inrange(0,n,1):
# Termino de Lagrange
numerador = 1
denominador = 1
for j inrange(0,n,1):
if (j!=i):
numerador = numerador*(x-xi[j])
denominador = denominador*(xi[i]-xi[j])
terminoLi = numerador/denominador
polinomio = polinomio + terminoLi*fi[i]
divisorL[i] = denominador
# simplifica el polinomio
polisimple = polinomio.expand()
# para evaluación numérica
px = sym.lambdify(x,polisimple)
# Puntos para la gráfica
muestras = 51
a = np.min(xi)
b = np.max(xi)
pxi = np.linspace(a,b,muestras)
pfi = px(pxi)
# SALIDAprint(' valores de fi: ',fi)
print('divisores en L(i): ',divisorL)
print()
print('Polinomio de Lagrange, expresiones')
print(polinomio)
print()
print('Polinomio de Lagrange: ')
print(polisimple)
# Gráfica
plt.plot(t,v,'o', label = 'Puntos')
plt.plot(xi,fi,'o', label = 'Puntos en polinomio')
plt.plot(pxi,pfi, label = 'Polinomio')
plt.legend()
plt.xlabel('xi')
plt.ylabel('fi')
plt.title('Interpolación Lagrange')
plt.grid()
plt.show()
# Literal b# INGRESO# El ingreso es el polinomio en forma lambda# se mantienen las muestras# intervalo de integración# a, b seleccionados para la gráfica anterior
tramos = muestras -1
# PROCEDIMIENTOdefintegratrapecio_fi(xi,fi):
''' sobre muestras de fi para cada xi
integral con método de trapecio
'''
n = len(xi)
suma = 0
for i inrange(0,n-1,1):
dx = xi[i+1]-xi[i]
untrapecio = dx*(fi[i+1]+fi[i])/2
suma = suma + untrapecio
return(suma)
tramos = muestras-1
# PROCEDIMIENTO
distancia = integratrapecio_fi(xi,fi)
# SALIDAprint('Método del trapecio')
print('distancia recorrida: ', distancia)
Observación: En la gráfica se muestra que el polinomio pasa por los puntos seleccionados de la tabla. En los otros puntos hay un error que se puede calcular como la resta del punto y su valor con p(x). Queda como tarea.
Usando el algoritmo del polinomio de interpolación con la matriz de Vandermonde se obtiene:
Matriz Vandermonde:
[[1. 1. 1. ]
[2.25 1.5 1. ]
[4.41 2.1 1. ]]
los coeficientes del polinomio:
[ 0.71515152 -0.90787879 2.03272727]
Polinomio de interpolación:
0.715151515151516*x**2 - 0.907878787878792*x + 2.03272727272728
formato pprint
2
0.715151515151516*x - 0.907878787878792*x + 2.03272727272728
suma de columnas: [3. 4.75 7.51]
norma D: 7.51
numero de condicion: 97.03737354737122
solucion:
[ 0.71515152 -0.90787879 2.03272727]
>>>
Literal b
Se requiere calcular una norma de suma de filas. es suficiente para demostrar el conocimiento del concepto el usar A.
Se adjunta el cálculo del número de condición y la solución al sistema de ecuaciones:
suma de columnas: [3. 4.75 7.51]
norma A: 7.51
numero de condición: 97.03737354737129
solución:
[ 2.03272727 -0.90787879 0.71515152]
El comentario importante corresponde al número de condición, que es un número muy alto para usar un método iterativo, por lo que la solución debe ser un método directo.
Se puede estimar será un número mucho mayor que 1, pues la matriz no es diagonal dominante.
Instrucciones en Python
# 1Eva_IIT2018_T3 Interpolar con sistema de ecuaciones# El polinomio de interpolaciónimport numpy as np
import sympy as sym
import matplotlib.pyplot as plt
# INGRESO
xj = [1.0, 1.1, 1.3, 1.5, 1.9, 2.1 ]
yj = [1.84, 1.90, 2.10, 2.28, 2.91, 3.28]
cuales = [0, 3, 5]
# muestras = tramos+1
muestras = 51
# PROCEDIMIENTO# Convierte a arreglos numpy
xi = np.array(xj,dtype=float)
fi = np.array(yj,dtype=float)
xi = xi[cuales]
fi = fi[cuales]
B = fi
n = len(xi)
# Matriz Vandermonde D
D = np.zeros(shape=(n,n),dtype =float)
for i inrange(0,n,1):
for j inrange(0,n,1):
potencia = (n-1)-j # Derecha a izquierda
D[i,j] = xi[i]**potencia
# Aplicar métodos Unidad03. Tarea# Resuelve sistema de ecuaciones A.X=B
coeficiente = np.linalg.solve(D,B)
# Polinomio en forma simbólica
x = sym.Symbol('x')
polinomio = 0
for i inrange(0,n,1):
potencia = (n-1)-i # Derecha a izquierda
termino = coeficiente[i]*(x**potencia)
polinomio = polinomio + termino
# Polinomio a forma Lambda# para evaluación con vectores de datos xin
px = sym.lambdify(x,polinomio)
# Para graficar el polinomio en [a,b]
a = np.min(xi)
b = np.max(xi)
xin = np.linspace(a,b,muestras)
yin = px(xin)
# Usando evaluación simbólica##yin = np.zeros(muestras,dtype=float)##for j in range(0,muestras,1):## yin[j] = polinomio.subs(x,xin[j])# SALIDAprint('Matriz Vandermonde: ')
print(D)
print('los coeficientes del polinomio: ')
print(coeficiente)
print('Polinomio de interpolación: ')
print(polinomio)
print('\n formato pprint')
sym.pprint(polinomio)
# Grafica
plt.plot(xj,yj,'o', label='Puntos')
plt.plot(xi,B,'o', label='[xi,fi]')
plt.plot(xin,yin, label='p(x)')
plt.xlabel('xi')
plt.ylabel('fi')
plt.legend()
plt.title(polinomio)
plt.show()
# literal b
sumacolumnas = np.sum(D, axis =1)
norma = np.max(sumacolumnas)
print('suma de columnas: ', sumacolumnas)
print('norma D: ', norma)
numerocondicion = np.linalg.cond(D)
print('numero de condicion: ', numerocondicion)
solucion = np.linalg.solve(D,B)
print('solucion: ')
print(solucion)
Se requiere analizar la distancias entre una trayectoria y el punto = [1,1]
Al analizar las distancias de ex y el punto [1,1] se trazan lineas paralelas a los ejes desde el punto [1,1], por lo que se determina que el intervalo de x = [a,b] para distancias se encuentra en:
a > 0, a = 0.1
b < 1, b = 0.7
El ejercicio usa la fórmula de distancia entre dos puntos:
d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2- y_1)^2}
en los cuales:
[x1,y1] = [1,1]
[x2,y2] = [x, ex]
que al sustituir en la fórmula se convierte en:
d = \sqrt{(x-1)^2+(e^x- 1)^2}
que es lo requerido en el literal a
Literal b
Para usar un método de búsqueda de raíces, se requiere encontrar el valor cuando f(x) = d' = 0.
Un método como el de Newton Raphson requiere también f'(x) = d''
Al algoritmo anterior se complementa con las instrucciones de la función para la bisección.
# Eva_IIT2018_T2 Distancia mínima a un puntoimport numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sym
# INGRESO
x = sym.Symbol('x')
fx = sym.sqrt((x-1)**2+(sym.exp(x) -1)**2)
a = 0
b = 1
muestras = 21
# PROCEDIMIENTO
dfx = sym.diff(fx,x,1)
d2fx = sym.diff(fx,x,2)
f = sym.lambdify(x,dfx)
xi = np.linspace(a,b,muestras)
fi = f(xi)
# SALIDAprint('f(x) :')
print(dfx)
print("f'(x) :")
print(d2fx)
print()
print('f(x) :')
sym.pprint(dfx)
print("f'(x) :")
sym.pprint(d2fx)
# GRAFICA
plt.plot(xi,fi, label='f(x)')
plt.axhline(0)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()
# Algoritmo de Bisección# [a,b] se escogen de la gráfica de la función# error = toleraimport numpy as np
defbiseccion(fx,a,b,tolera,iteramax = 20, vertabla=False, precision=4):
'''
Algoritmo de Bisección
Los valores de [a,b] son seleccionados
desde la gráfica de la función
error = tolera
'''
fa = fx(a)
fb = fx(b)
tramo = np.abs(b-a)
itera = 0
cambia = np.sign(fa)*np.sign(fb)
if cambia<0: # existe cambio de signo f(a) vs f(b)if vertabla==True:
print('método de Bisección')
print('i', ['a','c','b'],[ 'f(a)', 'f(c)','f(b)'])
print(' ','tramo')
np.set_printoptions(precision)
while (tramo>=tolera and itera<=iteramax):
c = (a+b)/2
fc = fx(c)
cambia = np.sign(fa)*np.sign(fc)
if vertabla==True:
print(itera,[a,c,b],np.array([fa,fc,fb]))
if (cambia<0):
b = c
fb = fc
else:
a = c
fa = fc
tramo = np.abs(b-a)
if vertabla==True:
print(' ',tramo)
itera = itera + 1
respuesta = c
# Valida respuestaif (itera>=iteramax):
respuesta = np.nan
else:
print(' No existe cambio de signo entre f(a) y f(b)')
print(' f(a) =',fa,', f(b) =',fb)
respuesta=np.nan
return(respuesta)
# INGRESO
tolera = 0.001
# PROCEDIMIENTO
respuesta = biseccion(f,a,b,tolera,vertabla=True)
# SALIDAprint('raíz en: ', respuesta)
