Ejercicio: 1Eva_IT2017_T2 Tanque esférico-volumen

a. Planteamiento del problema

$V = \frac{\pi h^{2} (3r-h)}{3}$

Si r=1 m y V=0.75 m³,

$0.75 = \frac{\pi h^{2} (3(1)-h)}{3}$ $0.75 -\frac{\pi h^{2} (3(1)-h)}{3} = 0$ $f(h) = 0.75 -\frac{\pi h^{2} (3-h)}{3}$ $= 0.75 -\frac{\pi}{3}(h^{2} (3)-h^{2}h)$ $= 0.75 -\frac{\pi}{3}(3 h^{2} - h^{3})$ $f(h) = 0.75 -\pi h^{2} + \frac{\pi}{3}h^{3}$

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b. Intervalo de búsqueda de raíz

El tanque vacio tiene h=0 y completamente lleno h= 2r = 2(1) = 2, por lo que el intevalo tiene como extremos:

[0,2]

Verificando que exista cambio de signo en la función:

$f(0) = 0.75 -\pi (0)^{2} + \frac{\pi}{3}(0)^{3} = 0.75$ $f(2) = 0.75 -\pi (2)^{2} + \frac{\pi}{3}(2)^{3}= -3.4387$

y verificando al usar la gráfica dentro del intervalo:

Tolerancia

Se indica en el enunciado como 0.01 que es la medición mínima a observar con un flexómetro.

tolera = 0.01

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c. Método de Newton-Raphson
d. Método de Punto Fijo

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c. Método de Newton-Raphson

El método de Newton-Raphson requiere la derivada de la función:

$x_{i+1} = x_i -\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$ $f(h) = 0.75 -\pi h^{2} + \frac{\pi}{3}h^{3}$ $f'(h) = -2\pi h + \pi h^{2}$

Tomando como punto inicial de búsqueda el extremo izquierdo del intervalo, genera una división para cero. Por lo que se mueve un poco a la derecha, algo más cercano a la raiz, viendo la gráfica por ejemplo 0.1

x₀ = 0.1

iteración 1

i =0

$f(0.1) = 0.75 -\pi (0.1)^{2} + \frac{\pi}{3}(0.1)^{3} =0.7196$ $f'(0.1) = -2\pi (0.1) + \pi (0.1)^{2} = -0.5969$ $x_{1} = x_0 -\frac{0.7496 }{-0.0625} = 1.3056$ $tramo = |x_{1}-x_{0}| = |0.1-1.3056 | = 1.2056$

iteración 2

i =1

$f(1.3056) = 0.75 -\pi (1.3056)^{2} + \frac{\pi}{3}(1.3056)^{3} = -2.2746$ $f'(1.3056) = -2\pi (1.3056) + \pi (1.3056)^{2} =-2.8481$ $x_{1} = x_0 -\frac{-2.2746}{-2.8481} = 0.5069$ $tramo = |x_{2}-x_{1}|=|0.5069-1.3056|=0.7987$

iteración 3

i =2

$f(0.5069) = 0.75 -\pi (0.5069)^{2} + \frac{\pi}{3}(0.5069)^{3} = 0.0789$ $f'(0.5069) = -2\pi (0.5069) + \pi (0.5069)^{2} =-2.3780$ $x_{1} = x_0 -\frac{0.0789}{-2.3780} = 0.5401$ $tramo = |x_{3}-x_{2}| =|0.5401 - 0.5069| = 0.0332$

Observe que el tramo disminuye en cada iteración , por lo que el método converge, si se siguen haciendo las operaciones se tiene que:

 [ xi, xnuevo, tramo]
[[1.00000000e-01 1.30560920e+00 1.20560920e+00]
 [1.30560920e+00 5.06991599e-01 7.98617601e-01]
 [5.06991599e-01 5.40192334e-01 3.32007350e-02]
 [5.40192334e-01 5.39518667e-01 6.73667593e-04]]
raiz 0.5395186666699257

Instrucciones en Python

para Método de Newton-Raphson

# 1Eva_IT2017_T2 Tanque esférico-volumen
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
fx = lambda h: 0.75 - np.pi*(h**2)+(np.pi/3)*h**3
dfx = lambda h: -2*np.pi*h+np.pi*(h**2)

# Parámetros de método
a = 0
b = 2
tolera = 0.01
x0 = 0.1
iteramax = 100

# parametros de gráfica
La = a
Lb = b
muestras = 21

# PROCEDIMIENTO
# Newton-Raphson
tabla = []
tramo = abs(2*tolera)
xi = x0
while (tramo>=tolera):
    xnuevo = xi - fx(xi)/dfx(xi)
    tramo = abs(xnuevo-xi)
    tabla.append([xi,xnuevo,tramo])
    xi = xnuevo
tabla = np.array(tabla)

# calcula para grafica
hi = np.linspace(La,Lb,muestras)
fi = fx(hi)
gi = dfx(hi)

# SALIDA
print(' [ xi, xnuevo, tramo]')
print(tabla)
print('raiz', xnuevo)
plt.plot(hi,fi)
plt.plot(xi,fx(xi),'ro')
plt.axhline(0, color='green')
plt.xlabel('h')
plt.ylabel('V')
plt.title('Método Newton-Raphson')
plt.show()

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Planteo con Punto Fijo

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d. Método de Punto Fijo

Del planteamiento del problema en el literal a, se tiene que:

$0.75 = \frac{\pi h^{2} (3(1)-h)}{3}$

de donde se despeja una h:

$\frac{3(0.75)}{\pi (3(1)-h) } = h^{2}$ $h = \sqrt{\frac{3*0.75}{\pi (3-h) }}$ $h = \sqrt{\frac{2.25}{\pi (3-h) }}$

con lo que se obtienen las expresiones a usar en el método

$identidad = h$ $g(h) = \sqrt{\frac{2.25}{\pi (3-h) }}$

El punto inicial de búsqueda debe encontrarse en el intervalo, se toma el mismo valor que x0 en el método de Newton-Raphson

x₀ = 0.10

Iteracion 1

$x_0= 0.10$ $g(0.10) = \sqrt{\frac{2.25}{\pi (3-(0.10) }}= 0.4969$ $tramo= |0.4969-0.10| = 0.3869$

Iteracion 2

$x_1= 0.4969$ $g(0.4969) = \sqrt{\frac{2.25}{\pi (3-(0.4969 ) }}= 0.5349$ $tramo= |0.5349- 0.4969| = 0.038$

Iteracion 3

$x_2 =0.5349$ $g(0.5349) = \sqrt{\frac{2.25}{\pi (3-(0.5349) }}= 0.5390$ $tramo= |0.5390 - 0.5349| = 0.0041$

con lo que se cumple el criterio de tolerancia, y se obtiene la raiz de:

raiz = 0.5390

Tabla de resultados, donde se observa que el tramo o error en cada iteración disminuye, por lo que el método converge.

 [i,xi,xi+1,tramo]
[[1.         0.1        0.4969553  0.3969553 ]
 [2.         0.4969553  0.5349116  0.03795631]
 [3.         0.5349116  0.53901404 0.00410243]]
raiz 0.5390140355891347
>>> 

Instrucciones en Python

para Método de Punto-Fijo, recordamos que el método puede diverger, por lo que se añade el parámetro iteramax

# 1Eva_IT2017_T2 Tanque esférico-volumen
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
fx = lambda h: h
gx = lambda h: np.sqrt(2.25/(np.pi*(3-h)))

a = 0.1
b = 2
tolera = 0.01
iteramax = 100

La = a
Lb = b
muestras = 21

# PROCEDIMIENTO
# Punto Fijo
tabla = []
i = 1 # iteración
b = gx(a)
tramo = abs(b-a)
while not(tramo<=tolera or i>=iteramax):
    tabla.append([i,a,b,tramo])
    a = b
    b = gx(a)
    tramo = abs(b-a)
    i = i+1
tabla.append([i,a,b,tramo])
respuesta = b

# Validar respuesta
if (i>=iteramax):
    respuesta = np.nan
tabla = np.array(tabla)

# calcula para grafica
hi = np.linspace(La,Lb,muestras)
fi = fx(hi)
gi = gx(hi)

# SALIDA
print(' [i, xi, xi+1, tramo]')
print(tabla)
print('raiz', respuesta)
plt.plot(hi,fi, label = 'identidad', color='green')
plt.plot(hi,gi, label = 'g(h)', color = 'orange')
plt.plot(b,gx(b),'ro')
plt.axhline(0, color='green')
plt.xlabel('h')
plt.ylabel('V')
plt.title('Método Punto Fijo')
plt.legend()
plt.axhline(0, color='green')
plt.show()

Otra forma de probar la convergencia es que |g'(x)|<1 que se observa en la una gráfica adicional, lo que limita aún más el intervalo de búsqueda.

Desarrollo en la siguiente clase.

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