s2Eva_2023PAOI_T1 Material para medalla de academia

Ejercicio: 2Eva_2023PAOI_T1 Material para medalla de academia

$f(x) = 2-8\Big( \frac{1}{2} - x \Big)^2$

$0 \le x \lt 1$ $g(x) = -\Big( 1-x\Big)\ln \Big( 1- x \Big)$

Para f(x) se usará Simpson de 1/3 que requiere al menos dos tramos para aplicar:

a. Realice el planteamiento de las ecuaciones para el ejercicio.

$I\cong \frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1) + f(x_2)]$

b. Describa el criterio usado para determinar el número de tramos usado en cada caso.

$h = \frac{b-a}{2} = \frac{1-0}{2} = 0.5$

c. Desarrolle las expresiones completas del ejercicio para cada función.

$I_{fx}\cong \frac{0.5}{3}[f(0)+4f(0.5) + f(1)]$ $f(0) = 2-8\Big( \frac{1}{2} - (0) \Big)^2 = 0$ $f(0.5) = 2-8\Big( \frac{1}{2} - (0.5) \Big)^2 = 2$ $f(1) = 2-8\Big( \frac{1}{2} - (1) \Big)^2 = 0$ $I_{fx} = \frac{1}{6}[0+4(2) + 0] = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1.3333$

cota de error O(h5) = O(0.5⁵)= O(0.03125)

Para g(x) se usará Simpson de 3/8 que requiere al menos tres tramos para aplicar:

$I\cong \frac{3h}{8}[f(x_0)+3f(x_1) +3 f(x_2)+f(x_3)]$ $h = \frac{b-a}{3} = \frac{1-0}{3} = 0.3333$ $I_{gx}\cong \frac{3(0.3333)}{8}[f(0)+3f(0.3333) +3 f(0.6666)+f(1)]$ $g(0) = -\Big( 1-0\Big)\ln \Big( 1- 0 \Big) = 0$ $g(0.3333) = -\Big( 1-0.3333\Big)\ln \Big( 1- 0.3333 \Big) = 0.2703$ $g(0.6666) = -\Big( 1-0.6666\Big)\ln \Big( 1- 0.6666 \Big) = 0.3662$ $g(0.9999) = -\Big( 1-0.9999\Big)\ln \Big( 1- 0.9999 \Big) = 0$

para la evaluación numérica de 1 se usa un valor muy cercano desplazado con la tolerancia aplicada.

$I_{gx}\cong \frac{3(0.3333)}{8}[0+3(0.2703) + 3(0.3662)+0] = 0.2387$

d. Indique el resultado obtenido para el área requerida y la cota de error
Area = I_{fx} – I_{gx} = 1.3333 – 0.2387 = 1.0945

cota de error = O(0.03125) + O(0.00411) = 0.03536

e. Encuentre el valor del tamaño de paso si se requiere una cota de error de 0.00032

Si el factor de mayor error es de Simpson 1/3, se considera como primera aproximación que:

cota de error O(h⁵) = O(0.00032), h = (0.00032)^(1/5) = 0.2
es decir el número de tramos es de al menos (b-a)/tramos = 0.2 , tramos = 5.
El número de tramos debe ser par en Simpson de 1/3, por lo que se toma el entero mayor tramos=6 y el tamaño de paso recomendado es al menos 1/6. EL error al aplicar 3 veces la formula es 3(O((1/6)⁵)) = 0.0003858.

Lo que podría indicar que es necesario al menos dos tramos adicionales con h=1/8 y error O(0,00012) que cumple con el requerimiento.

Se puede aplicar el mismo criterio para Simpson 3/8 y se combinan los errores para verificar que cumplen con el requerimiento.

Algoritmo con Python

Resultados

Ifx:  1.3333332933359998
Igx:  0.238779092876627
Area:  1.094554200459373

Instrucciones en Python usando las funciones

# 2Eva_2023PAOI_T1 Material para medalla de academia
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def integrasimpson13_fi(xi,fi,tolera = 1e-10):
    ''' sobre muestras de fi para cada xi
        integral con método de Simpson 1/3
        respuesta es np.nan para tramos desiguales,
        no hay suficientes puntos.
    '''
    n = len(xi)
    i = 0
    suma = 0
    while not(i>=(n-2)):
        h = xi[i+1]-xi[i]
        dh = abs(h - (xi[i+2]-xi[i+1]))
        if dh<tolera:# tramos iguales
            unS13 = (h/3)*(fi[i]+4*fi[i+1]+fi[i+2])
            suma = suma + unS13
        else:  # tramos desiguales
            suma = 'tramos desiguales'
        i = i + 2
    if i<(n-1): # incompleto, faltan tramos por calcular
        suma = 'tramos incompletos, faltan '
        suma = suma ++str((n-1)-i)+' tramos'
    return(suma)

def integrasimpson38_fi(xi,fi,tolera = 1e-10):
    ''' sobre muestras de fi para cada xi
        integral con método de Simpson 3/8
        respuesta es np.nan para tramos desiguales,
        no hay suficientes puntos.
    '''
    n = len(xi)
    i = 0
    suma = 0
    while not(i>=(n-3)):
        h  = xi[i+1]-xi[i]
        h1 = (xi[i+2]-xi[i+1])
        h2 = (xi[i+3]-xi[i+2])
        dh = abs(h-h1)+abs(h-h2)
        if dh<tolera:# tramos iguales
            unS38 = fi[i]+3*fi[i+1]+3*fi[i+2]+fi[i+3]
            unS38 = (3/8)*h*unS38
            suma = suma + unS38
        else:  # tramos desiguales
            suma = 'tramos desiguales'
        i = i + 3
    if (i+1)<n: # incompleto, tramos por calcular
        suma = 'tramos incompletos, faltan '
        suma = suma +str(n-(i+1))+' tramos'
    return(suma)

# INGRESO
fx = lambda x: 2-8*(0.5-x)**2
gx = lambda x: -(1-x)*np.log(1-x)
a = 0
b = 1-1e-4
muestras1 = 2+1
muestras2 = 3+1

# PROCEDIMIENTO
xi1 = np.linspace(a,b,muestras1)
xi2 = np.linspace(a,b,muestras2)
fi = fx(xi1)
gi = gx(xi2)

Ifx = integrasimpson13_fi(xi1,fi)
Igx = integrasimpson38_fi(xi2,gi)
Area = Ifx - Igx

# SALIDA
print('Ifx: ', Ifx)
print('Igx: ', Igx)
print('Area: ', Area)

plt.plot(xi1,fi,'ob',label='f(x)')
plt.plot(xi2,gi,'or', label='g(x)')
plt.grid()
plt.legend()
plt.xlabel('xi')

# curvas suave con mas muestras (no en evaluación)
xi = np.linspace(a,b,51)
fxi = fx(xi)
gxi = gx(xi)
plt.fill_between(xi,fxi,gxi,color='navajowhite')
plt.plot(xi,fxi,color='blue',linestyle='dotted')
plt.plot(xi,gxi,color='red',linestyle='dotted')

plt.show()