s2Eva_IIT2018_T3 EDP

Ejercicio: 2Eva_IIT2018_T3 EDP

Se indica en el enunciado que b = 0

$\frac{\delta u}{\delta t} = \frac{\delta ^2 u}{\delta x^2} + b\frac{\delta u}{\delta x}$

simplificando la ecuación a:

$\frac{\delta u}{\delta t} = \frac{\delta ^2 u}{\delta x^2}$

Reordenando la ecuación a la forma estandarizada:

$\frac{\delta ^2 u}{\delta x^2} = \frac{\delta u}{\delta t}$

Seleccione un método: explícito o implícito.
Si el método es explícito, las diferencias finitas a usar son hacia adelante y centrada:

$U'(x_i,t_j) = \frac{U(x_i,t_{j+1})-U(x_i,t_j)}{\Delta t} + O(\Delta t)$ $U''(x_i,t_j) = \frac{U(x_{i+1},t_j)-2U(x_{i},t_j)+U(x_{i-1},t_j)}{\Delta x^2} + O(\Delta x^2)$

como referencia se usa la gráfica.

Se selecciona la esquina inferior derecha como 0,  por la segunda ecuación de condiciones y facilidad de cálculo. (No hubo indicación durante el examen que muestre lo contrario)

condiciones de frontera U(0,t)=0, U(1,t)=1
condiciones de inicio U(x,0)=0, 0≤x≤1

aunque lo más recomendable sería cambiar la condición de inicio a:

condiciones de inicio U(x,0)=0, 0<x<1

Siguiendo con el tema de la ecuación, al reemplazar las diferencias finitas en la ecuación:

---

$\frac{U(x_{i+1},t_j)-2U(x_{i},t_j)+U(x_{i-1},t_j)}{\Delta x^2} =$ $= \frac{U(x_i,t_{j+1})-U(x_i,t_j)}{\Delta t}$

---

se reagrupan los términos que son constantes y los términos de error se acumulan:

$\frac{\Delta t}{\Delta x^2} \Big[U(x_{i+1},t_j)-2U(x_i,t_j)+U(x_{i-1},t_j) \Big] = U(x_i,t_{j+1})-U(x_i,t_j)$

siendo,

$\lambda= \frac{\Delta t}{\Delta x^2}$ $error \cong O(\Delta t) + O(\Delta x^2)$

continuando con la ecuación, se simplifica la escritura usando sólo los índices i,j y se reordena de izquierda a derecha como en la gráfica

$\lambda \Big[U[i-1,j]-2U[i,j]+U[i+1,j] \Big] = U[i,j+1]-U]i,j]$ $\lambda U[i-1,j]+(-2\lambda+1)U[i,j]+\lambda U[i+1,j] = U[i,j+1]$ $U[i,j+1] = \lambda U[i-1,j]+(-2\lambda+1)U[i,j]+\lambda U[i+1,j]$ $U[i,j+1] = P U[i-1,j]+QU[i,j]+R U[i+1,j]$ $P=R = \lambda$ $Q = -2\lambda+1$

En las iteraciones, el valor de P,Q y R se calculan a partir de λ ≤ 1/2

iteraciones: j=0, i=1

U[1,1] = P*0+Q*0+R*0 = 0

j=0, i=2

U[2,1] = P*0+Q*0+R*0=0

j=0, i=3

$U[3,1] = P*0+Q*0+R*1=R=\lambda=\frac{1}{2}$

iteraciones: j=1, i=1

U[1,2] = P*0+Q*0+R*0 = 0

j=1, i=2

$U[2,2] = P*0+Q*0+R*\lambda = \lambda ^2 = \frac{1}{4}$

j=1, i=3

$U[3,2] = P*0+Q*\frac{1}{4}+R (\lambda)$ $U[3,2] = (-2\lambda +1) \frac{1}{4}+\lambda^2 = \Big(-2\frac{1}{2}+1\Big) \frac{1}{4}+\Big(\frac{1}{2}\Big)^2$ $U[3,2] =0\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

---

Literal b. Para el cálculo del error:

$\lambda \leq \frac{1}{2}$ $\frac{\Delta t}{\Delta x^2} \leq \frac{1}{2}$ $\Delta t \leq \frac{\Delta x^2}{2}$

en el enunciado se indica h = 0.25 = ¼ = Δ x

$\Delta t \leq \frac{(1/4)^2}{2} = \frac{1}{32}$ $error \cong O(\Delta t) + O(\Delta x^2)$ $error \cong \frac{\Delta x^2}{2}+ \Delta x^2$ $error \cong \frac{3}{2}\Delta x^2$ $error \cong \frac{3}{2}( \frac{1}{4})^2$ $error \cong \frac{3}{32} = 0.09375$