Ejercicio 3Eva_2024PAOII_T4 Sin()Cos() Integrar con Cuadratura de Gauss
A = ∫ 0 7 ( sin ( 0 . 1 t ) cos ( 0 . 7 t ) + 3 . 7 ) d t A= \int_0^7 \Big( \sin(0.1t) \cos(0.7t) +3.7 \Big) dt A = ∫ 0 7 ( sin ( 0 . 1 t ) cos ( 0 . 7 t ) + 3 . 7 ) d t literal a
Para el planteamiento del integral es necesario observar la gráfica de la función a integrar dentro del intervalo.
Se plantea usar al menos dos tramos, y comparar el resultado con tres tramos para observar el error.
Para dos tramos se dispone de los segmentos entre los puntos
Para tres tramos se tiene los segmentos entre los puntos
literal b
Si se usan dos tramos se tienen los segmentos entre los puntos [0,3.5,7]
tramo = [0, 3.5]
x a = 3 . 5 + 0 2 − 3 . 5 − 0 2 ( 1 3 ) = 0 . 7 3 9 6 x_a = \frac{3.5+0}{2} - \frac{3.5-0}{2}\Big(\frac{1}{\sqrt{3}} \Big) = 0.7396 x a = 2 3 . 5 + 0 − 2 3 . 5 − 0 ( 3 1 ) = 0 . 7 3 9 6 x b = 3 . 5 + 0 2 + 3 . 5 − 0 2 ( 1 3 ) = 2 . 7 6 0 3 x_b = \frac{3.5+0}{2} + \frac{3.5-0}{2}\Big(\frac{1}{\sqrt{3}} \Big) = 2.7603 x b = 2 3 . 5 + 0 + 2 3 . 5 − 0 ( 3 1 ) = 2 . 7 6 0 3 f ( 0 . 7 3 9 6 ) = sin ( 0 . 1 ( 0 . 7 3 9 6 ) ) cos ( 0 . 7 ( 0 . 7 3 9 6 ) ) + 3 . 7 = 3 . 7 6 4 2 f(0.7396) =\sin(0.1(0.7396)) \cos(0.7(0.7396)) +3.7 =3.7642 f ( 0 . 7 3 9 6 ) = sin ( 0 . 1 ( 0 . 7 3 9 6 ) ) cos ( 0 . 7 ( 0 . 7 3 9 6 ) ) + 3 . 7 = 3 . 7 6 4 2 f ( 2 . 7 6 0 3 ) = sin ( 0 . 1 ( 2 . 7 6 0 3 ) ) cos ( 0 . 7 ( 2 . 7 6 0 3 ) ) + 3 . 7 = 3 . 6 0 3 6 f(2.7603) =\sin(0.1(2.7603)) \cos(0.7(2.7603)) +3.7 =3.6036 f ( 2 . 7 6 0 3 ) = sin ( 0 . 1 ( 2 . 7 6 0 3 ) ) cos ( 0 . 7 ( 2 . 7 6 0 3 ) ) + 3 . 7 = 3 . 6 0 3 6 I ≅ 3 . 5 − 0 2 ( f ( 0 . 7 3 9 6 ) + f ( 2 . 7 6 0 3 ) ) I \cong \frac{3.5-0}{2}(f(0.7396) + f(2.7603)) I ≅ 2 3 . 5 − 0 ( f ( 0 . 7 3 9 6 ) + f ( 2 . 7 6 0 3 ) ) I ≅ 3 . 5 − 0 2 ( 3 . 7 6 4 2 + 3 . 6 0 3 6 ) = 1 2 . 8 9 3 7 I \cong \frac{3.5-0}{2}(3.7642 + 3.6036) = 12.8937 I ≅ 2 3 . 5 − 0 ( 3 . 7 6 4 2 + 3 . 6 0 3 6 ) = 1 2 . 8 9 3 7 tramo = [3.5, 7]
x a = 3 . 5 + 7 2 − 7 − 3 . 5 2 ( 1 3 ) = 4 . 2 3 9 6 x_a = \frac{3.5+7}{2} - \frac{7-3.5}{2}\Big(\frac{1}{\sqrt{3}} \Big) = 4.2396 x a = 2 3 . 5 + 7 − 2 7 − 3 . 5 ( 3 1 ) = 4 . 2 3 9 6 x b = 3 . 5 + 7 2 + 7 − 3 . 5 2 ( 1 3 ) = 6 . 2 6 0 3 x_b = \frac{3.5+7}{2} + \frac{7-3.5}{2}\Big(\frac{1}{\sqrt{3}} \Big) = 6.2603 x b = 2 3 . 5 + 7 + 2 7 − 3 . 5 ( 3 1 ) = 6 . 2 6 0 3 f ( 4 . 2 3 9 6 ) = sin ( 0 . 1 ( 4 . 2 3 9 6 ) ) cos ( 0 . 7 ( 4 . 2 3 9 6 ) ) + 3 . 7 = 3 . 2 9 4 8 f(4.2396) =\sin(0.1(4.2396)) \cos(0.7(4.2396)) +3.7 =3.2948 f ( 4 . 2 3 9 6 ) = sin ( 0 . 1 ( 4 . 2 3 9 6 ) ) cos ( 0 . 7 ( 4 . 2 3 9 6 ) ) + 3 . 7 = 3 . 2 9 4 8 f ( 6 . 2 6 0 3 ) = sin ( 0 . 1 ( 6 . 2 6 0 3 ) ) cos ( 0 . 7 ( 6 . 2 6 0 3 ) ) + 3 . 7 = 3 . 5 1 0 0 f(6.2603) =\sin(0.1(6.2603)) \cos(0.7(6.2603)) +3.7 =3.5100 f ( 6 . 2 6 0 3 ) = sin ( 0 . 1 ( 6 . 2 6 0 3 ) ) cos ( 0 . 7 ( 6 . 2 6 0 3 ) ) + 3 . 7 = 3 . 5 1 0 0 I ≅ 7 − 3 . 5 2 ( f ( 4 . 2 3 9 6 ) + f ( 6 . 2 6 0 3 ) ) I \cong \frac{7-3.5}{2}(f(4.2396) + f(6.2603)) I ≅ 2 7 − 3 . 5 ( f ( 4 . 2 3 9 6 ) + f ( 6 . 2 6 0 3 ) ) I ≅ 7 − 3 . 5 2 ( 3 . 2 9 4 8 + 3 . 5 1 0 0 ) = 1 1 . 9 0 8 5 I \cong \frac{7-3.5}{2}(3.2948 + 3.5100) = 11.9085 I ≅ 2 7 − 3 . 5 ( 3 . 2 9 4 8 + 3 . 5 1 0 0 ) = 1 1 . 9 0 8 5 literal c
Integral total : = 12.8937 + 11.9085 = 24.8022
Si de compara con 3 tramos, el error se estima como la diferencia entre los dos integrales calculados
[xa,xb,f(xa),f(xb)]
[0.49309135261210324, 1.8402419807212302, 3.7463820813248043, 3.75103137375189] 8.746982364256144
[xa,xb,f(xa),f(xb)]
[2.8264246859454367, 4.173575314054563, 3.5894184973574266, 3.304431611500099] 8.042825127000448
[xa,xb,f(xa),f(xb)]
[5.159758019278771, 6.506908647387897, 3.2601677912890605, 3.6049588227871885] 8.009314383088956
Integral: 24.79912187434555
Error usando 2 y 3 tramos, es del orden 10(-3) :
>>> 24.802242263095337 - 24.79912187434555
0.003120388749788816
gráfica con dos tramos:
La función tiene al menos dos «picos» y dos valles en el intervalo. Por lo que un solo tramo del integral podría aumentar el error de integración numérica con una figura trapezoidal equivalente como propone la cuadratura de Gauss.