Referencia: Burden 7Ed, Cap 1.1 Ejemplo 3.  p11, 10Ed p8. Chapra, 4.1 p80, Taylor Series (Wikipedia)

El ejercicio se presenta como un complemento para la sección 1.4  que permite obtener una gráfica animada.

Esta sección es complementaria y usada solo como referencia para exponer el tema. Normalmente se da una explicación breve en el laboratorio de computadoras.

la parte adicional se muestra a partir de:

# SALIDA
# GRAFICA CON ANIMACION ------------

---

---

Algoritmo completo en Python

El tema en detalle se desarrolla en Movimiento circular – Una partícula, animación con matplotlib-Python del curso de Fundamentos de Programación

El algoritmo requiere disponer de la librería"pillow".

# Aproximación Polinomio de Taylor alrededor de x0
# f(x) en forma simbólica con sympy

import numpy as np
import math
import sympy as sym

def politaylor(fx,x0,n):
    k = 0
    polinomio = 0
    while (k <= n):
        derivada   = fx.diff(x,k)
        derivadax0 = derivada.subs(x,x0)
        divisor   = math.factorial(k)
        terminok  = (derivadax0/divisor)*(x-x0)**k
        polinomio = polinomio + terminok
        k = k + 1
    return(polinomio)

# PROGRAMA  -------------
# Capitulo 1 Ejemplo 2, Burden p11, pdf 21

# INGRESO
x = sym.Symbol('x')
fx = sym.cos(x) 

x0 = 0          
n  = 10  # Grado polinomio Taylor
a  = -5   # intervalo [a,b]
b  = 5
muestras = 51

# PROCEDIMIENTO
# tabla polinomios
px_tabla = []
for grado in range(0,n,1):
    polinomio = politaylor(fx,x0,grado)
    px_tabla.append(polinomio)

# SALIDA
print('grado :  polinomio')
for grado in range(0,n,1):
    px = px_tabla[grado]
    print(str(grado)+ ' : '+str(px))
    
    # print('polinomio: ')
    # sym.pprint(px)
    # print()

# GRAFICA - TABLA polinomios ------
xi = np.linspace(a,b,muestras)

# Forma lambda, simplifica evaluación
fxn = sym.utilities.lambdify(x,fx,'numpy')
fi  = fxn(xi)

# lineas de cada grado de polinomio
px_lineas = np.zeros(shape=(n,muestras), dtype =float)
for grado in range(0,n,1):
    polinomio = px_tabla[grado]
    px = sym.utilities.lambdify(x,polinomio,'numpy')
    px_lineas[grado] = px(xi)

# SALIDA
# GRAFICA CON ANIMACION ------------
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

# Parametros de trama/foto
narchivo = 'Taylor01' # nombre archivo
retardo = 700   # milisegundos entre tramas
tramas = len(px_lineas)
ymax = 2*np.max(np.abs(fi))

# GRAFICA figura
figura, ejes = plt.subplots()

# Función Base
fx_linea, = ejes.plot(xi,fi,'r')

# Polinomios de tablapoli grado = 0
px_unalinea, = ejes.plot(xi, px_lineas[0],
                         '-.', label='grado: 0')

# Configura gráfica
plt.xlim([a,b])
plt.ylim([-ymax,ymax])
plt.axhline(0, color='k')  # horizontal en cero
plt.title('Polinomio Taylor: '+'f(x) = ' + str(fx))
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid()

# cuadros de texto en gráfico
txt_x = (b+a)/2
txt_y = ymax*(1-0.1)
texto_poli = ejes.text(txt_x, txt_y*(1),
                      'p(x):',
                      horizontalalignment='center')
texto_grado = ejes.text(txt_x, txt_y*(1-0.1),
                        'grado:',
                        horizontalalignment='center')

# Nueva Trama
def unatrama(i,xi,pxi):
    
    # actualiza cada linea
    px_unalinea.set_xdata(xi)
    px_unalinea.set_ydata(pxi[i])
    etiquetap = 'p'+str(i)+'(x) = '+str(px_tabla[i])
    px_unalinea.set_label(etiquetap)
    
    # actualiza texto
    texto_poli.set_text(etiquetap)
    texto_grado.set_text('Grado: '+str(i))
    
    # color de la línea
    if (i<=9):
        lineacolor = 'C'+str(i)
    else:
        numerocolor = i%10
        lineacolor = 'C'+str(numerocolor)
    px_unalinea.set_color(lineacolor)
    
    return (px_unalinea, texto_poli, texto_grado)

# Limpia Trama anterior
def limpiatrama():
    
    px_unalinea.set_ydata(np.ma.array(xi, mask=True))
    px_unalinea.set_label('')
    
    texto_poli.set_text('')
    texto_grado.set_text('')
    
    return (px_unalinea,texto_poli, texto_grado)

# Trama contador
i  = np.arange(0,tramas,1)
ani = animation.FuncAnimation(figura,
                              unatrama,
                              i ,
                              fargs = (xi,px_lineas),
                              init_func = limpiatrama,
                              interval = retardo,
                              blit=True)

# Graba Archivo GIFAnimado y video
ani.save(narchivo+'_GIFanimado.gif',writer='pillow')

# ani.save(narchivo+'_video.mp4')
plt.draw()
plt.show()

Polinomio de Taylor: [ Ejercicio ] [ función politaylor() ] [ pprint() ]
[ gráfica ]
..

---

Ejercicio 1. Taylor para cos(x), tabla y gráfica en Python

Referencia: Burden 7Ed Capítulo 1.1 Ejemplo 3. p11, 10Ed p8. Chapra, 4.1 p80. Taylor Series (Wikipedia)

Continuando con el Ejemplo01, se generaliza el algoritmo para crear una tabla de polinomios de Taylor de diferente grado.
Se complementa el ejercicio con el gráfico de cada polinomio para interpretar los resultados, alrededor de x₀ = 0

f(x) = \cos (x)

grado :  polinomio
0 : 1
1 : 1
2 : -x**2/2 + 1
3 : -x**2/2 + 1
4 : x**4/24 - x**2/2 + 1
5 : x**4/24 - x**2/2 + 1
6 : -x**6/720 + x**4/24 - x**2/2 + 1
7 : -x**6/720 + x**4/24 - x**2/2 + 1
8 : x**8/40320 - x**6/720 + x**4/24 - x**2/2 + 1
9 : x**8/40320 - x**6/720 + x**4/24 - x**2/2 + 1

Polinomio de Taylor: [ Ejercicio ] [ función politaylor() ] [ pprint() ]
[ gráfica ] [ función en Sympy ]
..

---

2. Función politaylor(fx,x0,n) en Python

Sección complementaria, no obligatoria para la parte algorítmica

En el ejercicio presentado requiere resolver con varios grados de polinomio, por lo que se generaliza convirtiendo el procedimiento del algoritmo anterior al formato de función def-return. Cada polinomio intermedio se añade a una tabla de resultados:

# Aproximación Polinomio de Taylor alrededor de x0
# f(x) en forma simbólica con sympy

import numpy as np
import math
import sympy as sym

def politaylor(fx,x0,n):
    k = 0
    polinomio = 0
    while (k <= n):
        derivada   = fx.diff(x,k)
        derivadax0 = derivada.subs(x,x0)
        divisor   = math.factorial(k)
        terminok  = (derivadax0/divisor)*(x-x0)**k
        polinomio = polinomio + terminok
        k = k + 1
    return(polinomio)

# PROGRAMA  -------------
# Capitulo 1 Ejemplo 2, Burden p11, pdf 21

# INGRESO
x  = sym.Symbol('x')
fx = sym.cos(x) 

x0 = 0          
n  = 10   # Grado polinomio Taylor
a  = -5   # intervalo [a,b]
b  = 5
muestras = 51

# PROCEDIMIENTO
# tabla polinomios
px_tabla = []
for grado in range(0,n,1):
    polinomio = politaylor(fx,x0,grado)
    px_tabla.append(polinomio)

# SALIDA
print('grado :  polinomio')
for grado in range(0,n,1):
    px = px_tabla[grado]
    print(str(grado)+ ' : '+str(px))
    
    # print('polinomio: ')
    # sym.pprint(px)
    # print()

Con lo que se obtiene los polinomios para cada grado calculado.

grado :  polinomio
0 : 1
1 : 1
2 : -x**2/2 + 1
3 : -x**2/2 + 1
4 : x**4/24 - x**2/2 + 1
5 : x**4/24 - x**2/2 + 1
6 : -x**6/720 + x**4/24 - x**2/2 + 1
7 : -x**6/720 + x**4/24 - x**2/2 + 1
8 : x**8/40320 - x**6/720 + x**4/24 - x**2/2 + 1
9 : x**8/40320 - x**6/720 + x**4/24 - x**2/2 + 1

Polinomio de Taylor: [ Ejercicio ] [ función politaylor() ] [ pprint() ]
[ gráfica ] [ función en Sympy ]
..

---

3. Otras formas de presentación del polinomio

Otra forma de presentar la salida es ¨pretty print¨ con sym.pprint() . añada las instrucciones en el bloque de salida como se muestra a continuación:

# SALIDA
print('grado :  polinomio')
for grado in range(0,n,1):
    px = px_tabla[grado]
    print(str(grado)+ ' : '+str(px))
    
    print('polinomio: ')
    sym.pprint(px)
    print()

para obtener el siguiente resultado

grado :  polinomio
0 : 1
polinomio: 
1

1 : 1
polinomio: 
1

2 : -x**2/2 + 1
polinomio: 
   2    
  x     
- -- + 1
  2     

3 : -x**2/2 + 1
polinomio: 
   2    
  x     
- -- + 1
  2     

4 : x**4/24 - x**2/2 + 1
polinomio: 
 4    2    
x    x     
-- - -- + 1
24   2     

5 : x**4/24 - x**2/2 + 1
polinomio: 
 4    2    
x    x     
-- - -- + 1
24   2     

6 : -x**6/720 + x**4/24 - x**2/2 + 1
polinomio: 
    6    4    2    
   x    x    x     
- --- + -- - -- + 1
  720   24   2     

Polinomio de Taylor: [ Ejercicio ] [ función politaylor() ] [ pprint() ]
[ gráfica ] [ función en Sympy ]
..

---

4. Gráfica con Python

La forma gráfica de cada polinomio se obtiene evaluando cada polinomio para obtener las líneas en el intervalo [a, b] para cada punto del vector x_i .

Se utiliza un cierto número de muestras en cada intervalo [a,b].

El resultado es una matriz, px_lineas, cuya fila representa el grado del polinomio, y la columna contiene los valores del polinomio de cada grado evaluado en cada punto x_i

# GRAFICA - TABLA polinomios ------
xi = np.linspace(a,b,muestras)

# Forma lambda, simplifica evaluación
fxn = sym.utilities.lambdify(x,fx,'numpy')
fi = fxn(xi)

# lineas de cada grado de polinomio
px_lineas = np.zeros(shape=(n,muestras), dtype =float)
for grado in range(0,n,1):
    polinomio = px_tabla[grado]
    px = sym.utilities.lambdify(x,polinomio,'numpy')
    px_lineas[grado] = px(xi)

Cada polinomio en la fila de px_lineas, genera una línea adicional en la gráfica. Se itera cada fila de px_lineas usando el grado del polinomio, dibujando cada línea con plt.plot():

# SALIDA - GRAFICA
import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(xi,fi,'r',label=str(fx))

for grado in range(0,n,2):
    etiqueta = 'grado: '+str(grado)
    plt.plot(xi, px_lineas[grado],
             '-.',label = etiqueta)

ymax = 2*np.max(fi)
plt.xlim([a,b])
plt.ylim([-ymax,ymax])
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Aproximación con Polinomios de Taylor')
plt.legend()
plt.show()

Polinomio de Taylor: [ Ejercicio ] [ función politaylor() ] [ pprint() ]
[ gráfica ] [ función en Sympy ]
..

---

Polinomio de Taylor: [ Ejercicio ] [ función politaylor() ] [ pprint() ]
[ gráfica ] [ función en Sympy ]

Taylor:  [ Ejemplo cos(x) ] [ analítico ] [ algoritmo ] [ función ] [ gráfica ]
[Ejemplo 2  raíz() ]
..

---

1. Polinomio de Taylor - Serie de Taylor

La serie de Taylor proporciona un medio simplificar una función f(x) alrededor de punto x₀ de referencia mediante un polinomio. Los términos del polinomio p(x) se construyen con el valor de la función y sus derivadas en x₀.

P_{n}(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k

Cualquier función suave puede aproximarse por un polinomio. Como ejemplo, la expresión p(x) para cuatro términos de la serie es:

P_{n}(x) = f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!} (x-x_0) + + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 + \text{...}

Mientras más términos se añaden, la aproximación del polinomio p(x) se adapta más a f(x) en un mayor intervalo alrededor del punto de referencia x₀.

Taylor:  [ Ejemplo cos(x) ] [ analítico ] [ algoritmo ] [ función ] [ gráfica ]
[Ejemplo 2  raíz() ]

..

---

2. Ejemplo 1. Polinomio de Taylor para cos(x)

Referencia: Burden 7Ed Capítulo 1.1 ejemplo 3  p11, 10Ed ejemplo 3 p8. Chapra, 4.1 p80.   Taylor Series (Wikipedia)

Para la siguiente función trigonométrica f(x), alrededor de x₀=0, encontrar :

f(x) = \cos (x)

a) el segundo polinomio de Taylor (n=2),
b) el tercer polinomio de Taylor (n=3), para aproximar cos(0.01)
c) con el resultado anterior y su término residuo aproximar

\int_{0}^{0.1} \cos(x) dx

Taylor:  [ Ejemplo cos(x) ] [ analítico ] [ algoritmo ] [ función ] [ gráfica ]
[Ejemplo 2  raíz() ]
..

---

3. Desarrollo analítico

La expresión para los primeros términos del polinomio de Taylor de f(x) requiere determinar primera, segunda y tercera derivada:

P_{n}(x) = f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!} (x-x_0) + + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 + \text{...}

Se desarrollan las derivadas y se se evalúa cada expresión en x₀ = 0:

f(x) = cos(x)	f(0) = 1
f'(x) = -sen(x)	f'(0) = 0
f”(x) = -cos(x)	f”(0) = -1
f'”(x) = sen(x)	f’”(0) = 0
f4(x) = cos(x)	f4(0) = 1

Según el literal a del ejercicio, para n=2 y x₀=0:

\cos (x) = 1 + \frac{0}{1} (x-0) + \frac{-1}{2}(x-0)^2 + +\frac{\sin(\xi(x))}{6}(x-0)^3

A la expresión se añade un término más para estimar el error, como residuo o error de truncamiento, evaluado en ξ(x).

\cos (x) = 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{\sin(\xi(x))}{6}x^3

con lo que si x=0.01

\cos (0.01) = 1 - \frac{1}{2}(0.01)^2 + \frac{1}{6}(0.01)^3 \sin(\xi(x)) = 0.99995 + 0.16 \text{x} 10^{-6} \sin(\xi(x))

El término del error es es del orden 10^-6, la aproximación coincide por lo menos con los cinco primeros dígitos.

El residuo o error de truncamiento ξ(x) está entre 0 y x,

0<ξ(x) <0.01

Observe que los términos impares evaluados en x₀=0 se anulan, por lo que el polinomio solo cambia con términos pares.

Tarea: revisar y continuar con los siguientes literales.

Taylor:  [ Ejemplo cos(x) ] [ analítico ] [ algoritmo ] [ función ] [ gráfica ]
[Ejemplo 2  raíz() ]
..

---

4. Desarrollo de Algoritmo con Sympy-Python

Una forma de obtener el polinomio de Taylor es crear una función que resuelva el polinomio. Por facilidad en el ejercicio, para obtener la expresión de las derivadas, se usan funciones matemáticas expresadas de forma simbólica con Sympy en Python.

De ser necesario, revise los conceptos sobre: Sympy – Fórmulas y funciones simbólicas

El algoritmo usa la forma simbólica de la expresión para crear el polinomio. La variable independiente x se establece como símbolo.

El procedimiento consiste en crear cada término k-ésimo y se añade a la expresión del polinomio. El  términok se construye por partes, primero se obtiene la derivada, que luego se evalúa en derivadax0 y se incluye en la expresión del término.  Se acumulan los términok y al final se presenta la expresión del polinomio

# Aproximación Polinomio de Taylor alrededor de x0
# f(x) en forma simbólica con Sympy
# Burden 7Ed Capítulo 1.1 Ejemplo 3.p11,pdf21;9Ed p11.

import numpy as np
import math
import sympy as sym

# INGRESO
x  = sym.Symbol('x') # variable independiente
fx = sym.cos(x)      # f(x) por aproximar
x0 = 0          # x0 de referencia o conocido
grado = 2       # grado>0
n  = grado + 1  # Términos de polinomio

# PROCEDIMIENTO

k = 0 # contador de términos
polinomio = 0
while (k < n):
    derivada   = fx.diff(x,k)
    derivadax0 = derivada.subs(x,x0)
    divisor   = math.factorial(k)
    terminok  = (derivadax0/divisor)*(x-x0)**k
    polinomio = polinomio + terminok
    k = k + 1

# SALIDA
print(polinomio)

Se usa un contador k de términos para el control de la construcción de la expresión final. Un ejemplo de ejecución del algoritmo con n=3:

1 - x**2/2

Se observa que el término 2do es cero. Para una interpretación gráfica del resultado, luego el polinomio se evalúa en el intervalo [a, b] que incluya x₀.

Taylor:  [ Ejemplo cos(x) ] [ analítico ] [ algoritmo ] [ función ] [ gráfica ]
[Ejemplo 2  raíz() ]
..

---

5. Algoritmo en Python como función

Puede reutilizar el algoritmo para el polinomio de Taylor presentado en el Ejemplo01 al convertirlo en una función de programación politaylor(). El procedimiento básico del algoritmo se agrega a una función def-return con el nombre politaylor() que entrega la expresión simbólica del polinomio p(x).

# Aproximación Polinomio de Taylor alrededor de x0
# f(x) en forma simbólica con Sympy

import numpy as np
import math
import sympy as sym

def politaylor(fx,x0,n):
    k = 0
    polinomio = 0
    while (k <= n):
        derivada   = fx.diff(x,k)
        derivadax0 = derivada.subs(x,x0)
        divisor   = math.factorial(k)
        terminok  = (derivadax0/divisor)*(x-x0)**k
        polinomio = polinomio + terminok
        k = k + 1
    return(polinomio)

# PROGRAMA  -------------
# Burden 7Ed Capítulo 1.1 Ejemplo 3.p11,pdf21;9Ed p11.

# INGRESO
x  = sym.Symbol('x') # variable independiente
fx = sym.cos(x)      # f(x) por aproximar
x0 = 0          # x0 de referencia o conocido
grado = 2       # grado>0
n  = grado + 1  # Términos de polinomio

# PROCEDIMIENTO
polinomio = politaylor(fx,x0,grado)

# SALIDA
print('grado:',grado)
print('polinomio:'+str(polinomio))

Taylor:  [ Ejemplo cos(x) ] [ analítico ] [ algoritmo ] [ función ] [ gráfica ]
[Ejemplo 2  raíz() ]
..

---

6. Gráfica de f(x) vs polinomio

Para comparar los resultados, se procede a realizar la gráfica de f(x) vs el polinomio.

Esta es una sección complementaria para realizar la gráfica mostrada en el ejemplo. Requiere el uso de la librería matplotlib. Para más detalles, puede revisar la sección de Recursos/Resumen Python/Gráficas 2D de línea .

• Para evaluar en el intervalo se requiere convertir las expresiones simbólicas a la forma numérica lambda: fxn, pxn
• Para la gráfica, se usa el intervalo [a,b] con las muestras necesarias para una buena resolución de imagen. Se obtiene el vector xi
• Se evalúa fxn y pxn en el intervalo, obteniendo los valores en los vectores: fi y pxi.
• Se realiza la gráfica entre xi vs fi y pxi

# GRAFICA --------------------
import matplotlib.pyplot as plt

# intervalo de gráfica usando xi como referencia
a = - np.pi # izquierda
b = np.pi   # derecha
muestras = 21   # para la gráfica
titulo = 'Polinomio de Taylor para f(x)'

# Expresiones matemáticas símbolicas a numérica
fxn = sym.lambdify(x,fx,'numpy')
pxn = sym.lambdify(x,polinomio,'numpy')

# muestras para la gráfica
xi = np.linspace(a,b,muestras)
fi = fxn(xi)
pxi= pxn(xi)

# lineas en gráfica
plt.plot(xi,fi,label='f(x)')
plt.plot(xi,pxi,label='p(x)')

# entorno de gráfica
plt.xlabel('x')
plt.xlabel('y')
plt.title(titulo)
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

..

---

7. Función de Sympy para polinomio de Taylor

Sympy dispone de la función sym.series(fx,x,x0,n) para generar el polinomio de Taylor.  La función tiene parámetros semejantes a los usados en los ejemplos anteriores y los algoritmos. Se muestra un ejemplo del uso de la función como referencia.

>>> import sympy as sym
>>> x = sym.Symbol('x')
>>> fx = sym.cos(x)
>>> polinomio = sym.series(fx,x,x0=0, n=3)
>>> polinomio
1 - x**2/2 + O(x**3)
>>> 

El curso de métodos numéricos tiene mayor atención en los pasos o algoritmos que implementan los conceptos. Los ejercicios desarrollan: primero, la parte la analítica/conceptual aplicadas a escribir con papel y lápiz, segundo, busca ejercitar habilidad de convertir los pasos usados en el papel a un algoritmo de computadora. Con ambas partes, se busca ampliar así la capacidad de análisis e interpretación de resultados, errores de aproximación, convergencia, usando gráficas semejantes a la descrita a continuación.

Taylor:  [ Ejemplo cos(x) ] [ analítico ] [ algoritmo ] [ función ] [ gráfica ]
[Ejemplo 2  raíz() ]
..

---

8. Ejemplo 2. Polinomio de Taylor y el error de aproximación

Referencia: Burden 7Ed cap 1.1 Ejercicio 8. Burden 10Ed p8

Obtenga el tercer polinomio de Taylor P₃(x) para la función f(x), alrededor de x₀=0.

f(x) = \sqrt{x+1}

Aproxime el resultado para x=0.5, 0.75, 1.25 y 1.75 usando P₃(x) y calcule los errores reales.

---

8.1 Desarrollo analítico

Las instrucciones requieren calcular los errores reales como la diferencia entre f(x) y el polinomio de Taylor p(x).

Usando los pasos del ejemplo01, se determina el polinomio de Taylor con n=3. Verifique su respuesta con el polinomio mostrado y calcula los valores de la tabla:

P_3(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8} x^2 +\frac{1}{16} x^3

x	P3(x)	\sqrt{x+1}	|diferencia ó error|
0.5	1.22656250000000	1.22474487139159	0.00181762860841106
0.75
1.25
1.5

Realice las observaciones a los resultados obtenidos.

Al realizar la gráfica con los valores de la tabla, se puede observar que al alejarse x del punto de referencia x₀, el error aumenta. El error se marca en amarillo entre las curvas f(x) y el polinomio p(x).

Taylor:  [ Ejemplo cos(x) ] [ analítico ] [ algoritmo ] [ función ] [ gráfica ]
[Ejemplo 2  raíz() ]

8.2 Algoritmo en Python para el ejemplo 2

Puede reutilizar el algoritmo para el polinomio de Taylor presentado en el Ejemplo01 al convertirlo en una función de programación politaylor(). El procedimiento basico del algoritmo se agrega a una función def-return con el nombre politaylor() que entrega la expresión simbólica del polinomio p(x).

El ejercicio continúa al evaluar p(x) en un nuevo punto xi, para calcular el error_real respecto al valor real de la expresión f(x).

# Aproximación Polinomio de Taylor alrededor de x0
# función en forma simbólica con sympy

import numpy as np
import math
import sympy as sym

def politaylor(fx,x0,n):
    # Calcula n términos del polinomio de Taylor
    # fx es simbólica, x0 es el punto de referencia.
    k = 0
    polinomio = 0
    while (k <= n):
        derivada   = fx.diff(x,k)
        derivadax0 = derivada.subs(x,x0)
        divisor   = math.factorial(k)
        terminok  = (derivadax0/divisor)*(x-x0)**k
        polinomio = polinomio + terminok
        k = k + 1
    return(polinomio)

# PROGRAMA  -------------
# Capitulo 1.1 Ejecicio 8, Burden p15, pdf 25
# Calcule el error con polinomio Taylor grado 3

# INGRESO
x = sym.Symbol('x') # variable independiente
fx = sym.sqrt(x+1)  # f(x) por aproximar

x0 = 0   # x0 de referencia o conocido
xi = 0.5 # donde se evalúa el polinomio para error
n  = 3   # Términos de polinomio

# PROCEDIMIENTO

# Referencia, f(xi) real
fxi = fx.subs(x,xi)

# Aproximado con Taylor
polinomio = politaylor(fx,x0,n)
pxi = polinomio.subs(x,xi)

error_real = fxi - pxi

# SALIDA
print(' Taylor:     ', polinomio)
print(' xi:         ', xi)
print(' estimado  : ', pxi)
print(' real:       ', fxi)
print(' error real: ', error_real)

cuyo resultado para xi=0.5 es:

 Taylor:      x**3/16 - x**2/8 + x/2 + 1
 xi:          0.5
 estimado  :  1.22656250000000
 real:        1.22474487139159
 error real:  -0.00181762860841106

complete la tabla usando también el algoritmo en Python

Taylor:  [ Ejemplo cos(x) ] [ analítico ] [ algoritmo ] [ función ] [ gráfica ]
[Ejemplo 2  raíz() ]

---

8.3 Gráfica del Error entre f(x) y p(x)

Esta es una sección complementaria para realizar la gráfica mostrada en el ejemplo. Requiere el uso de la librería matplotlib. Para más detalles, puede revisar la sección de Recursos/Resumen Python/Gráficas 2D de línea .

• Para evaluar en el intervalo se requiere convertir las expresiones simbólicas a la forma numérica lambda: fxn, pxn
• Para la gráfica, se usa el intervalo [a,b] con las muestras necesarias para una buena resolución de imagen. Se obtiene el vector xin
• Se evalúa fxn y pxn en el intervalo, obteniendo los valores en los vectores: fxni y pxni.
• Se realiza la gráfica entre xin vs fxni y pxni
• Para destacar el error de truncamiento, se rellena el espacio en color amarillo entre fxni y pxni, usando plt.fill_between() .
• Para resaltar x0, se traza una línea vertical.

El algoritmo del ejercicio se continúa añadiendo las siguientes instrucciones:

# intervalo de gráfica usando xi como referencia
a = x0        # izquierda
b = x0 + 3*xi # derecha
muestras = 51 # para la gráfica

# cambia a forma lambda, expresión numérica Numpy
fxn = sym.lambdify(x,fx,'numpy')
pxn = sym.lambdify(x,polinomio,'numpy')

# evaluar en intervalo
xin = np.linspace(a,b,muestras)
fxni = fxn(xin)
pxni = pxn(xin)

# Gráfica
plt.plot(xin,fxni,label='f(x)')
plt.plot(xin,pxni,label='p(x)')

plt.fill_between(xin,pxni,fxni,color='yellow')
plt.axvline(x0,color='green')

plt.title('Polinomio Taylor: f(x) vs p(x)')
plt.legend()
plt.xlabel('xi')
plt.show()

---

Taylor:  [ Ejemplo cos(x) ] [ analítico ] [ algoritmo ] [ función ] [ gráfica ]
[Ejemplo 2  raíz() ]

Ejemplo: [1. Raíces en intervalo ]  [ 2. Raíces en intervalo ]
..

---

Ejemplo 1 . Raíces en intervalo

Referencia:  Burden 7Ed Capítulo 1.1 Ejemplo 2 p11

Para la expresión mostrada encuentre una solución en el intervalo [0,1],

x^5 -2x^3 + 3x^2 -1 = 0

considere nombrar a la parte izquierda de la ecuación como f(x), para encontrar la solucion como f(x) = 0.

f(x) = x^5 -2x^3 + 3x^2 -1

dado que al evaluar en los extremos del intervalo [0,1]:

f(0) = (0)^5 -2(0)3 + 3(0)^2 -1 = -1 f(1) = 1^5 -2(1)^3 + 3(1)^2 -1 = 1

Los valores de la función en los extremos son -1 y 1, existe cambio de signo, y dado que f es contínua, por el teorema del valor intermedio existe un valor de x en el intervalo, tal que se satisface que el valor de la función es cero.

La gráfica de la ecuación muestra el punto o raíz a buscar:

Se pueden dividir en muchas muestras el intervalo x=[a,b] y buscar los puntos xi donde la función f(xi) cambia de signo.

Usando un algoritmo con muestras = 1001 se encuentra que existen dos puntos donde se encuentra la raíz.

raiz entre posiciones i: [ 479. 480.]
entre los valores: 
 [ xi, fi]
[[ 0.7185     -0.00162876]
 [ 0.72        0.00219576]]

Algoritmo en Python

En el intervalo [a,b] se crean nuevos puntos de muestras para realizar la gráfica. Las muestras se usan para buscar un nuevo intervalo entre x[i] y x[i+1] donde ocurre un cambio de signo en f(x[i]).

# Burden Capítulo 1.1 Ejemplo 2 p11, pdf 21
# raices del polinomio en [a,b]

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

funcionx = lambda x: x**5 - 2*(x**3) + 3*(x**2) -1

# INGRESO
a = 0
b = 1.5
muestras = 1001

# PROCEDIMIENTO
xi = np.linspace(a,b,muestras)
fi = funcionx(xi)

# Busca cambios de signo
donde=[] # donde[i,xi,fi]
for i in range(0,muestras-1,1):
    antes = fi[i]
    despues = fi[i+1]
    signo = (np.sign(antes))*(np.sign(despues))
    if (signo<0):
        donde.append([i,xi[i],antes])
        donde.append([i+1,xi[i+1],despues])
        
donde = np.array(donde)
  
# SALIDA
print('raiz entre posiciones i: ', donde[:,0])
print('entre los valores: ')
print(' [ xi, fi]')
print(donde[:,1:])
      
# GRAFICA
plt.plot(xi,fi)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('fx')
plt.axhline(y=0, color='g')
plt.show()

Al observar los resultados, realice sus comentarios y recomendaciones relacionadas con la respuesta obtenida para mejorar la respuesta

Usando Scipy.Optimize

Continuando con el uso de funciones de Scipy se obtiene una de las raíces, empezando la búsqueda desde 0.4.

raiz en :  [ 0.71913933]
>>>

para la otra raíz usar un nuevo punto de partida. Compare respuestas con el método anterior.

las instrucciones usadas son:

# Burden Capítulo 1.1 Ejemplo 2 p11, pdf 21
# raices del polinomio en [a,b]

import numpy as np
import scipy.optimize as opt

fx = lambda x: x**5 - 2*(x**3) + 3*(x**2) -1

# INGRESO
a  = 0
b  = 1.5
x0 = 0.4

# PROCEDIMIENTO
# fx pasa por cero, cerca de x0
donde = opt.fsolve(fx,x0)
  
# SALIDA
print('raiz en : ', donde)

Ejemplo: [1. Raíces en intervalo ]  [ 2. Raíces en intervalo ]
..

---

Ejemplo 2 . Raíces en intervalo

Referencia: Burden 7Ed cap1.1 Ejercicio 1

Demuestre que las siguientes ecuaciones tienen al menos una solución en los intervalos dados

x \cos (x) - 2 x^{2} + 3 x -1 = 0

en el intervalo [0.2, 0.3] y [1.2, 1.3]

2.1 Desarrollo analítico

Del "teorema del valor intermedio", si hay cambio de signo al evaluar la función en los puntos x=0.2 y x=0.3, debe existir un punto c donde se cumple la expresión.

f(x) = x \cos (x) - 2 x^{2} + 3 x -1 f(0.2) = 0.2 \cos (0.2) - 2 (0.2)^2 +3(0.2) -1 = -0.2839 f(0.3) = 0.2 \cos (0.3) - 2 (0.3)^2 +3(0.3) -1 = 0.00660094

Hay cambio de signo de la función en el intervalo, por lo que la ecuación debe pasar por cero, y se cumple la igualdad.

2.2 Desarrollo numérico con Python

Por simplicidad se usa la ventana iterativa. Se evalúa la función en los puntos extremos del intervalo y con los resultados se continúa de forma semejante a la sección de desarrollo analítico.

>>> import numpy as np
>>> fx = lambda x: x*np.cos(x) - 2*(x**2) + 3*x -1
>>> fx(0.2)
-0.28398668443175157
>>> fx(0.3)
0.0066009467376817454

es decir, por cambio de signo, debe haber un cruce por cero de la función en el intervalo.

2.3 Desarrollo con gráfica

Como existen varios intervalos, [0.2, 0.3] y [1.2, 1.3] se unifican los intervalos entre los extremos x=[0.2, 1.3].

Para la gráfica se crean 100 tramos (pasos o divisiones) en el intervalo que equivalen a 101 muestras en el intervalo

>>> muestras=101
>>> xi = np.linspace(0.2,1.3,muestras)
>>> fi = fx(xi)
>>> xi
array([ 0.2 , 0.211, 0.222, 0.233, 0.244, 0.255, 0.266, 0.277, ... 1.256, 1.267, 1.278, 1.289, 1.3 ])
>>> fi
array([-0.28398668, -0.24972157, -0.21601609, -0.18287411, -0.15029943, ...,  -0.13225152])

Una gráfica permite observar mejor la función en el intervalo.
Se necesita llamar a la librería matplotlib.pyplot que se resume como plt.

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> plt.plot(xi,fi)
[<matplotlib.lines.Line2D object at 0x0000020C67820E80>]
>>> plt.axhline(0,color='g')
<matplotlib.lines.Line2D object at 0x0000020C678204E0>
>>> plt.show()

plt.plot() crea la gráfica con los vectores xi y fi , añadiendo como referencia en este caso una linea horizontal que pasa por cero, usando plt.axhline(). Finalmente se muestra la gráfica con plt.show().

De la gráfica, fácilmente se puede observar que existen dos puntos "c" que cumplen con la igualdad y que se encuentran en los intervalos de evaluación, con lo que se comprueba que existe solución en los intervalos presentados en el problema.

Resumen de instrucciones Python

# Raices en intervalo - Ejemplo02
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fx = lambda x: x*np.cos(x) - 2*(x**2) + 3*x -1

# INGRESO
a = 0.2
b = 1.3
muestras = 101

# PROCEDIMIENTO
xi = np.linspace(a,b,muestras)
fi = fx(xi)

# SALIDA - GRAFICA
plt.plot(xi,fi)
plt.axhline(0,color='g')
plt.show()

Tarea: continúe con el ejercicio usando la función de scipy.optimize.fsolve() y compare resultados.
Ejemplo: [1. Raíces en intervalo ]  [ 2. Raíces en intervalo ]

---

3. Tarea

Continuar con el ejercicio observando que si el dominio es [-2,2] se tiene que:

gráfica obtenida con:

# Burden Capítulo 1.1 Ejemplo 2 p11, pdf 21
# raices del polinomio en [a,b]

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

funcionx = lambda x: x**5 - 2*(x**3) + 3*(x**2) -1

# INGRESO
a = -2
b = 2
muestras = 1001

# PROCEDIMIENTO
xi = np.linspace(a,b,muestras)
yi = funcionx(xi)

# SALIDA
plt.plot(xi,yi)
plt.axhline(0, color='green')
plt.axvline(0, color='green')
plt.show()

---

Ejemplo: [1. Raíces en intervalo ]  [ 2. Raíces en intervalo ]

Ejemplo: [ 1. Máximo en intervalo ]  [ 2. Máximo en intervalo ]
..

---

Ejemplo 1 . Máximo en intervalo

Referencia: Burden 7Ed capítulo 1.1-ejemplo 1 p6; Burden 10Ed  p5

Determine el valor máximo de |f(x)|  en los intervalos: [1, 2] y [0.5, 1]. Siendo la función:

f(x) = 5 \cos(2x) - 2x \sin(2x)

Se puede usar dos opciones para el desarrollo: la analítica y la numérica.

1.1 Solución analítica

Se determina la derivada de f(x) y se determina el valor de x cuando f'(x) toma el valor de cero.

f(x) = 5 \cos(2x) - 2x \sin(2x) f'(x) = 5 (- 2 \sin(2x)) - [2x (2 \cos(2x)) + 2 \sin(2x) ] f'(x) = - 12 \sin(2x) - 4x \cos(2x)

f'(x) en el rango [1,2] toma el valor de cero en:

0 = - 12 \sin(2x) - 4x \cos(2x)

Situación que requiere un poco de trabajo adicional para encontrar el punto buscado...

1.2 Solución numérica

Otra forma es determinar el valor usando un método numérico, cuya precisión dependerá de la cantidad de muestras discreta, o tamaño de paso, que se utilicen para la evaluación.

Una gráfica permite estimar las intersecciones con los ejes y extremos de las funciones.

el máximo se encuentra en: 1.358
con el valor f(x) de: 5.67530054527

El valor máximo de |fx| en magnitud se cumple cuando la derivada es cero en un punto del intervalo.

Algoritmo en Python

• Para observar la función, se realiza la gráfica en el rango [0.5, 2].
• El algoritmo base corresponde al usado para una gráfica 2D, si no dispones de información previa, consulte el enlace: Gráficas 2D de línea
• La función fx se escribe en formato lambda por simplicidad. Si no tiene  información previa sobre funciones numéricas en formato lambda revise el enlace: Funciones def-return vs lambda.
• La precisión a usar es de mil tramos, o mil uno muestras en el intervalo [a,b], que es (2-0.5)/1000 = 0.0015‬
• Se usa el algoritmo de búsqueda de posición del valor mayor en la función valor absoluto "fxabs".

Las instrucciones usadas en Python son:

# Burden capítulo 1.1-ejemplo 1 p6, pdf16
# Determine el maximo entre [a,b] para fx
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
fx = lambda x: 5*np.cos(2*x)-2*x*np.sin(2*x)
a = 0.5
b = 2
muestras = 1001

# PROCEDIMIENTO
xi = np.linspace(a,b,muestras)
fi = fx(xi)

fiabs = np.abs(fi)
donde = np.argmax(fiabs)

# SALIDA
print('el máximo se encuentra en: ', xi[donde])
print('con el valor f(x): ', fiabs[donde])

# GRAFICA
plt.plot(xi,fi, label='f(x)')
plt.plot(xi,fiabs, label='|f(x)|')
plt.axhline(y=0, color='g')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('fx')
plt.legend()
plt.title('f(x) y |f(x)|')
plt.show()

1.3 Usando Scipy.Optimize

La librería Scipy dispone de varios algoritmos de optimización que se desarrollarán durante el curso.

La comprensión de cada uno de ellos permite una aplicación efectiva de los algoritmos para obtener el resultado buscado.

Por ejemplo, usando la derivada de la función y un punto de partida x₀ donde se supone, intuye o cercano donde se pretende obtener, se busca cuándo su valor es mínimo con la instrucción fsolve() se obtiene:

[ 1.35822987]
>>>

 

las instrucciones del algoritmo son:

# Burden capítulo 1.1-ejemplo 1 p6, pdf16
# Determine el maximo entre [a,b] para fx
# Encontrar el máximo cuando f'(x) pasa por cero

import numpy as np
import scipy.optimize as opt

# INGRESO
fx = lambda x: 5*np.cos(2*x)-2*x*np.sin(2*x)
dfx = lambda x: -12*np.sin(2*x)-4*x*np.cos(2*x)
a = 0.5
b = 2
muestras = 1001
x0 = 1 # punto inicial de búsqueda

# PROCEDIMIENTO
dondemax  = opt.fsolve(dfx,x0)

# SALIDA
print(dondemax)

compare con los resultados anteriores.

Ejemplo: [ 1. Máximo en intervalo ]  [ 2. Máximo en intervalo ]
..

---

Ejemplo 2. Máximo en un intervalo

Referencia: Burden 7Ed Capítulo 1.1 Ejercicio 3a p15, Burden 10Ed p6

Demuestre que f'(x) se anula al menos una vez en el  intervalo [0,1].

f(x) = 1 - e^{x} + (e-1)sen \Big( \frac{\pi}{2}x \Big)

2.1 Desarrollo analítico

Se usa el "teorema de Rolle", si los extremos del intervalo son iguales, existe un punto intermedio c en el que la derivada es cero, en donde la función tiene un máximo.

f(0) = 1 - e^{0} + (e-1)sen(\frac{\pi}{2}0) = = 1 - 1 + (e-1)(0) = 0 f(1) = 1 - e^{1} + (e-1)sen(\frac{\pi}{2}1) = = 1 - e + (e-1)(1) = 0 f(0) = f(1)

por el teorema, debe existir un máximo, o existe un c tal que f'(c) = 0.

2.2 Desarrollo numérico y gráfico

Para encontrar el máximo, se evalúa en los extremos, se aplica Rolle y como comprobación se muestra la gráfica.

Puntos en extremos de intervalo
(xi,fi)
0 0.0
1 0.0

Algoritmo en Python

Semejante al ejercicio anterior, el punto de partida es el algoritmo para gráficas 2D.

Se plantea la función en formato lambda, usando el intervalo con 50 tramos o

# Burden Capítulo 1.1 Ejercicio 3a p15, pdf 25
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
fx = lambda x: 1-np.exp(x)+(np.exp(1)-1)*np.sin((np.pi/2)*x)
a = 0
b = 1
muestras = 51

# PROCEDIMIENTO
fa = fx(a)
fb = fx(b)

xi = np.linspace(a,b,muestras)
fi = fx(xi)

# SALIDA
print('Puntos en extremos de intervalo')
print('[xi,fi]')
print(a,fa)
print(b,fb)

# GRAFICA
plt.plot(xi,fi)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.axhline(0,color='g')
plt.show()

añada las instrucciones para encontrar el punto donde f'(x) pasa por cero, que es donde existe el máximo. use como referencia el ejemplo 1.

---

Ejemplo: [ 1. Máximo en intervalo ]  [ 2. Máximo en intervalo ]