[ Newton-Raphson ] [ Ejercicio ] [ Analítico ] [ Algoritmo ] [gráf] [función]
..
1. Ejercicio
Referencia: Burden 2.1 ejemplo 1 p38
La ecuación mostrada tiene una raíz en [1,2], ya que f(1)=-5 y f(2)=14.
Muestre los resultados parciales del algoritmo de Newton-Raphson con una tolerancia de 0.0001
[ Newton-Raphson ] [ Ejercicio ] [ Analítico ] [ Algoritmo ] [gráf] [función]
..
2. Desarrollo Analítico
El método requiere obtener la derivada f'(x) de la ecuación para el factor del denominador.
f(x) = x^3 + 4x^2 -10 f'(x) = 3x^2 + 8x x_{i+1} = x_i -\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}Para el desarrollo se inicia la búsqueda desde un punto en el intervalo [1,2], por ejemplo el extremo derecho, x1=2.
iteración 1
f(2) = (2)^3 + 4(2)^2 -10 = 14 f'(2) = 3(2)^2 + 8(2) = 28 x_{2} = 2 -\frac{14}{28} = 1.5 tramo = |2 -1.5| = 0.5iteración 2
f(1.5) = (1.5)^3 + 4(1.5)^2 -10 = 2.375 f'(1.5) = 3(1.5)^2 + 8(1.5) = 18.75 x_{3} = 1.5 -\frac{2.375}{18.75} = 1.3733 tramo = |1.5 -1.3733| = 0.1267iteración 3
f(1.3733) = (1.3733)^3 + 4(1.3733)^2 -10 = 0.1337 f'(1.3733) = 3(1.3733)^2 + 8(1.3733) = 16.6442 x_{4} = 1.3733 -\frac{0.1337}{16.6442} =1.3652 tramo = |1.3733 -1.3652| = 0.0081La tabla resume los valores de las iteraciones
| iteración | xi | xnuevo | tramo |
| 1 | 2 | 1.5 | 0.5 |
| 2 | 1.5 | 1.3733 | 0.1267 |
| 3 | 1.3733 | 1.3653 | 0.0081 |
| 4 | ... |
Observe que el error representado por el tramo se va reduciendo entre cada iteración. Se debe repetir las iteraciones hasta que el error sea menor al valor tolerado.
Las demás iteraciones se dejan como tarea
[ Newton-Raphson ] [ Ejercicio ] [ Analítico ] [ Algoritmo ] [gráf] [función]
..
3. Algoritmo con Python
El método de Newton-Raphson se implementa como algoritmo básico en Python
https://youtu.be/GjgzoafJKpU
Se muestra el resultado del algoritmo luego de que el tramo alcance un valor menor que tolera.
raiz en: 1.3652300139161466 con error de: 3.200095847999407e-05
A lo expuesto en el video, se añade el control de iteraciones "iteramax" por si se da el caso que el algoritmo no es convergente.
# Método de Newton-Raphson import numpy as np # INGRESO fx = lambda x: x**3 + 4*(x**2) - 10 dfx = lambda x: 3*(x**2) + 8*x x0 = 2 tolera = 0.001 iteramax = 100 # PROCEDIMIENTO itera = 0 tramo = abs(2*tolera) xi = x0 while (tramo>=tolera and itera<iteramax): fi = fx(xi) dfi = dfx(xi) xnuevo = xi - fi/dfi tramo = abs(xnuevo-xi) xi = xnuevo itera = itera + 1 if itera>=iteramax: xi = np.nan # SALIDA print('raiz en: ', xi) print('con error de: ',tramo)
[ Newton-Raphson ] [ Ejercicio ] [ Analítico ] [ Algoritmo ] [gráf] [función]
..
4. Gráfica en Python
La gráfica presentada para revisar f(x) se realiza con las instrucciones:
# GRAFICA import matplotlib.pyplot as plt a = 1 b = 2 muestras = 21 xj = np.linspace(a,b,muestras) fj = fx(xj) plt.plot(xj,fj, label='f(x)') plt.plot(xi,0, 'o') plt.axhline(0) plt.xlabel('x') plt.ylabel('f(x)') plt.grid() plt.legend() plt.show()
[ Newton-Raphson ] [ Ejercicio ] [ Analítico ] [ Algoritmo ] [gráf] [función]
..
5. Algoritmo en Python como Función
Se convierte el algoritmo a una función, con partes para ver la tabla, y se obtienen los siguientes resultados:
i ['xi', 'fi', 'dfi', 'xnuevo', 'tramo'] 0 [ 2. 14. 28. 1.5 0.5] 1 [ 1.5 2.375 18.75 1.3733 0.1267] 2 [1.3733e+00 1.3435e-01 1.6645e+01 1.3653e+00 8.0713e-03] 3 [1.3653e+00 5.2846e-04 1.6514e+01 1.3652e+00 3.2001e-05] raíz en: 1.3652300139161466
Instrucciones en Python
# Ejemplo 1 (Burden ejemplo 1 p.51/pdf.61) import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def newton_raphson(fx,dfx,xi, tolera, iteramax=100, vertabla=False, precision=4): '''fx y dfx en forma numérica lambda xi es el punto inicial de búsqueda ''' itera=0 tramo = abs(2*tolera) if vertabla==True: print('método de Newton-Raphson') print('i', ['xi','fi','dfi', 'xnuevo', 'tramo']) np.set_printoptions(precision) while (tramo>=tolera): fi = fx(xi) dfi = dfx(xi) xnuevo = xi - fi/dfi tramo = abs(xnuevo-xi) if vertabla==True: print(itera,np.array([xi,fi,dfi,xnuevo,tramo])) xi = xnuevo itera = itera + 1 if itera>=iteramax: xi = np.nan print('itera: ',itera, 'No converge,se alcanzó el máximo de iteraciones') return(xi) # INGRESO fx = lambda x: x**3 + 4*(x**2) - 10 dfx = lambda x: 3*(x**2) + 8*x x0 = 2 tolera = 0.001 # PROCEDIMIENTO respuesta = newton_raphson(fx,dfx,x0, tolera, vertabla=True) # SALIDA print('raíz en: ', respuesta)
La gráfica se la puede añadir usando las instrucciones dadas en el algoritmo básico realizado al inicio par ala comprensión del método.
[ Newton-Raphson ] [ Ejercicio ] [ Analítico ] [ Algoritmo ] [gráf] [función]
6. Función en librería scipy.optimize.newton
El método de Newton-Raphson se encuentra implementado en la librería Scipy, que también puede ser usado de la forma:
>>> import scipy as sp >>> sp.optimize.newton(fx,x0, fprime=dfx, tol = tolera) 1.3652300139161466 >>>
https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.optimize.newton.html
Tarea
Calcule la raíz de f(x) = e-x - x, empleando como valor inicial x0 = 0
- Revisar las modificaciones si se quiere usar la forma simbólica de la función y obtener la derivada con Sympy.
[ Newton-Raphson ] [ Ejercicio ] [ Analítico ] [ Algoritmo ] [gráf] [función]
