Se conoce que el volumen del cilindro es 1000 cm3
que se calcula como:
Volumen = area_{base} . altura = \pi r^2 h \pi r^2 h = 1000 h = \frac{1000}{\pi r^2}
con lo que la altura queda en función del radio, pues el volumen es una constante.
Para conocer el área de la hoja de material para el envase se conoce que las tapas cilíndricas deben ser 0.25 mas que el radio para sellar el recipiente
Area de una tapa circular:
Area_{tapa} = \pi (r+ 0.25)^2
para la hoja lateral:
Area_{lateral} = base * altura = (2 \pi r + 0.25) h
que en función del radio, usando la fórmula para h(r) se convierte en:
Area_{lateral} = (2 \pi r + 0.25) \frac{1000}{\pi r^2}
por lo que el total de material de hoja a usar corresponde a dos tapas circulares y una hoja lateral.
Area total = 2 \pi (r+ 0.25)^2 + (2 \pi r + 0.25) \frac{1000}{\pi r^2}
la gráfica permite observar el comportamiento entre el área de la hoja necesaria para fabricar el envase y el radio de las tapas circulares.
El objetivo es encontrar el área mínima para consumir menos material. Con la fórmula mostrada se puede aplicar uno de los métodos para encontrar raíces a partir de la derivada de la fórmula.
Tarea: Encontrar el valor requerido para r con la tolerancia indicada para el examen.
Instrucciones para la gráfica:
# 3Eva_IT2010_T1 Envase cilíndricoimport numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# INGRESO
a = 0.5
b = 20
muestras = 51
Area = lambda r: (2*np.pi)*(r+0.25)**2 +(2*np.pi*r+0.25)*1000/(np.pi*(r**2))
# PROCEDIMIENTO
ri = np.linspace(a,b,muestras)
Areai = Area(ri)
# SALIDA
plt.plot(ri,Areai)
plt.xlabel('r (cm)')
plt.ylabel('Area (cm2)')
plt.title('Area hoja para material cilindro')
plt.show()
Dado que las fórmlas de error usadas tienen error del orden h: O(h), el error de las fórmulas es del orden de:
h= dia[1]-dia[0] = 2-1 = 1
literal c
Para el día dos se observa un decrecimiento en la producción, tal como lo refleja el valor negativo de la primera derivada.
Sin embargo para el día siguiente, la producción no mantiene la tasa de decrecimiento, se observa la segunda derivada positiva, Empieza a "acelerar".
Las instrucciones en Python para la tabla presentada son:
# 2Eva_IT2008_T1_MN Producción petroleoimport numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# INGRESO
dia = np.array( [1., 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])
produccion = [3345., 3245, 3211, 3309, 3351, 3412, 3230, 3135, 3132, 3129]
produccion = np.array(produccion, dtype = float)
# PROCEDIMIENTO
n = len(dia)
# primera derivada
dp = np.zeros(n,dtype=float)
for i inrange(0,n-1,1):
dp[i] = (produccion[i+1]-produccion[i])/(dia[i+1]-dia[i])
# segunda derivada
d2p = np.zeros(n,dtype=float)
h = dia[1]-dia[0]
for i inrange(0,n-2,1):
d2p[i] = (produccion[i]-2*produccion[i+1]+ produccion[i+2])/(h**2)
tabla = np.concatenate(([dia],[produccion],[dp],[d2p]),axis=0)
tabla = np.transpose(tabla)
# SALIDAprint(" [ dia, prod, dprod, d2prod]")
print(tabla)
# gráfica
plt.subplot(121)
plt.plot(dia,produccion)
plt.xlabel('dia')
plt.ylabel('producción')
plt.grid()
plt.subplot(122)
plt.plot(dia,dp,color='green',label='dp')
plt.xlabel('dia')
plt.plot(dia,d2p,color='orange',label='d2p')
plt.axhline(0)
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()
import numpy as np
A = np.array([[-2.5,1,0.25,0],
[1,-2.5,0,0.25],
[0.25,0,-2.5,1],
[0,0.25,1,-2.5]])
B = np.array([-0.1111,0.2222,-0.5555,-0.2222])
x = np.linalg.solve(A,B)
print(x)
Tomando como punto inicial de búsqueda el extremo izquierdo del intervalo, genera una división para cero. Por lo que se mueve un poco a la derecha, algo más cercano a la raiz, viendo la gráfica por ejemplo 0.1
