Etiqueta: interpolación polinómica

1ra Evaluación I Término 2019-2020. 2/Julio/2019. MATG1013

Tema 1. (40 puntos) La concentración de oxígeno disuelto a nivel del mar en agua dulce es función de la temperatura o(T)

T (℃)	0	8	16	24	32	40
o (mg/L)	14.6	11.5	9.9	8.4	7.3	6.4

a) Con los siguientes datos, encuentre un modelo polinómico de grado 3 y estime la concentración para la temperatura de 15 grados y estime el error.

b) Usando el polinomio del literal a, aproxime la derivada de la concentración de oxígeno en función de la temperatura en T = 16 grados.

c) Usando el polinomio del literal a y el método de la bisección encuentre T cuando o=9 mg/L, con una tolerancia de 10^-3

Rúbrica: literal a, plantear polinomio (15 puntos), interpolar (5 puntos), literal b obtener derivada (5puntos), evaluar derivada (5 puntos) literal c, selección de rángo de búsqueda (3 puntos) desarrollo de al menos tres iteraciones (7 puntos)

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Nota: Todos los temas deben mostrar evidencia del desarrollo del método numérico planteado.

tm = [0.,8,16,24,32,40]
ox = [14.6,11.5,9.9,8.4,7.3,6.4]

Referencia: Chapra 5ed, problema 19.15 p576, pdf600.  1Eva_IIT2014_T3 Oxigeno y temperatura en mar,
http://blog.espol.edu.ec/analisisnumerico/1eva_iit2014_t3-oxigeno-y-temperatura-en-mar/.

La «gigantesca» reserva de agua dulce hallada bajo el océano Atlántico (y qué esperanzas brinda para las zonas áridas del planeta). eluniverso.com 25/junio/2019.
https://www.eluniverso.com/noticias/2019/06/25/nota/7394484/gigantesca-reserva-agua-dulce-hallada-bajo-oceano-atlantico-que

 

 

1ra Evaluación II Término 2018-2019. 10/Noviembre/2018. MATG1013

Tema 3. Encuentre el polinomio:

$p_2(x) = b_0 + b_1x + b_2 x^2$

tal que se ajuste a tres puntos de y(x) para x = 1.0, 1.5 y 2.1 de la tabla presentada.

x	1.0	1.1	1.3	1.5	1.9	2.1
y(x)	1.84	1.90	2.10	2.28	2.91	3.28

Resuelva planteando el sistema de ecuaciones para generar el polinomio de interpolación.

a) Plantee el sistema Ax=B resultante con las variables b₀, b₁, b₂

b) Calcule ||T_j||_∞  y comente

c) Encuentre el número de condición K(A) =||A||_∞||A^-1||_∞  y comente

d) Resuelva el sistema de ecuaciones con el método de eliminación de Gauss

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xi = [1.0,  1.1,  1.3,  1.5,  1.9,  2.1 ]
yi = [1.84, 1.90, 2.10, 2.28, 2.91, 3.28]
cuales = [0, 3, 5]

1ra Evaluación II Término 2018-2019. 10/Noviembre/2018. MATG1013

Tema 1. Un paracaidista con masa de 75 Kg salta de un globo aerostático fijo.

La velocidad del paracaidista se registra como se indica en la tabla.

a) Construya un polinomio P₂(t) para 0 ≤ t ≤ 8

b) Mediante integración encuentre la distancia recorrida en el tiempo de 0 a 8 segundos.

t	[s]	0	2	4	6	8
v(t)	[m/s]	0.0	16.40	27.77	35.64	41.10

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t = [0.0, 2, 4, 6, 8]
v = [0.0, 16.40, 27.77, 35.64, 41.10]

3ra Evaluación I Término 2018-2019. 11/Septiembre/2018. MATG1013

Tema 2. (40 puntos) Un estanque se drena a través de un tubo como se observa en la figura.

Con suposiciones simplificadoras, la ecuación diferencial siguiente describe cómo cambia la profundidad con el tiempo:

$\frac{dh}{dt} = -\frac{\pi d^2}{4A(h)}\sqrt{2g(h+e)}$

 
Donde:
h = profundidad (m),
t = tiempo (s),
d = diámetro del tubo (m),
A(h) = área de la superficie del estanque como función de la profundidad (m²),
g = constante gravitacional (9,81 m/s²) y
e es la profundidad de salida del tubo por debajo del fondo del estanque (m).

Con base en la tabla siguiente de área-profundidad, resuelva esta ecuación diferencial para determinar cuánto tiempo tomaría que el estanque se vacie, dado que h(0) = 6 m, d = 0.25 m, e = 0.3 m.

h	6	5	4	3	2	1	0
A(h)	1.17	0.97	0.67	0.45	0.32	0.18	0.02

a) Con las profundidades 0, 2, 4, 6, encuentre un modelo de trazador cúbico natural para modelar el área A(h) y calcule el error en h = 5 m

b) Use el método de Taylor de segundo orden con dt=1 s para aproximar el tiempo en que la profundidad es 3 m.

Rúbrica: literal a (20 puntos), literal b (20 puntos)

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hi = np.array([6, 5, 4, 3, 2, 1, 0])
Ai = np.array([1.17, 0.97, 0.67, 0.45, 0.32, 0.18, 0.02])

Referencia: Chapra Ejercicio 28.24 p849, pdf873

Video: La ambiciosa Represa Hoover – INEXPLICABLE. History Latinoamérica.

1ra Evaluación I Término 2018-2019. 26/Junio/2018. MATG1013

Tema 4. “El gol que desafió a la física”. El 3 de junio de 1997, durante el partido de Brasil vs Francia, el brasileño Roberto Carlos ubicó la pelota a 35 metros del arco del Francés Fabien Barthez para rematar un tiro libre. Retrocedió 18 pasos, y luego sacó un zurdazo brutal, mágico, irreal, de ficción, para vencer en un segundo y fracción el arco del portero que al año siguiente se coronaría campeón del mundo.

Se obtuvieron los siguientes datos de videos y fotografías del suceso.

t	0.00	0.15	0.30	0.45	0.60	0.75	0.90	1.05	1.20
x(t)	0.00	0.50	1.00	1.50	1.80	2.00	1.90	1.10	0.30
y(t)	0.00	4.44	8.88	13.31	17.75	22.19	26.63	31.06	35.50
z(t)	0.00	0.81	1.40	1.77	1.91	1.84	1.55	1.03	0.30

Para el estudio de la trayectoria del balón se requieren las funciones que la describen en los ejes cartesianos.

a) Use interpolación con t = 0, 0.3, 0.6, 0.9 aproximar la trayectoria z(t) y encuentre t donde la altura es máxima.

b) Determine la altura ‘z’ del balón cuando cruzó la barrera. La barrera se ubica a y = 9 m de la posición inicial del balón.

c) Determine la desviación máxima (dx/dt=0) que hace que el gol sea considerado como “un desafío a la física”.

Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (7 puntos), literal c (8 puntos)

Referencias: La ciencia del Gol (1’49» a 2’50») video de Discovery Channel, .
El gol ‘imposible’ de Roberto Carlos a Francia cumple 20 años. El Comercio, Perú. 03.06.2017.
Científicos explican gol de tiro libre de Roberto Carlos. ElUniverso.com 3 de septiembre, 2010.

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ti = [0.00, 0.15, 0.30, 0.45, 0.60, 0.75, 0.90, 1.05, 1.20]
xi = [0.00, 0.50, 1.00, 1.50, 1.80, 2.00, 1.90, 1.10, 0.30]
yi = [0.00, 4.44, 8.88,13.31,17.75,22.19,26.63,31.06,35.50]
zi = [0.00, 0.81, 1.40, 1.77, 1.91, 1.84, 1.55, 1.03, 0.30]

3ra Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 20, 2018. MATG1013

Tema 2. El caballo llamado Thunder Gulch ganó el derby de Kentucky de 1995, con un tiempo de 2 min $1 \frac{1}{5}$ s en la carrera de $1 \frac{1}{4}$ millas.

Los tiempos en los postes que marcan el cuarto de milla, la mitad de la milla y la milla fueron respectivamente $22 \frac{2}{5}$s, $45 \frac{4}{5}$s, 1 min con $1 \frac{1}{5}$s.

a) Use los valores anteriores junto con el tiempo de arranque y construya un trazador cúbico natural.

b) Use el trazador para predecir el tiempo en el poste de tres cuartos de milla y compare el resultado con el tiempo real de 1 min con $10 \frac{1}{5}$ s.

c) Usando el trazador y las fórmulas de diferencias finitas, aproxime la velocidad y la aceleración del caballo en todos los postes.

Nota: Obseve que las medidas se encuentran en fracciones de unidad.

3ra Evaluación I Término 2017-2018. 11/Septiembre/2017. MATG1013

Tema 1. La razón de crecimiento específico g de una levadura que produce un antibiótico es una función de la concentración del alimento c,

$g = \frac{2c}{4+0.8c + c^2 +0.2 c^3}$

Como se ilustra en la figura, el crecimiento parte de cero a muy bajas concentraciones debido a la limitación de alimento.

También parte de cero en altas concentraciones debido a los efectos de toxicidad.

a) Encuentre el valor de c para el cual el crecimiento es un máximo.

b) Evalúe la función g del problema 1 para c=0,1,2,3, y encuentre el trazador cúbico natural para aproximar el máximo de g, encuentre el error.

3ra Evaluación I Término 2012-2013. 11/Septiembre/2012. ICM00158

Tema 2. Un sistema de compensación para un estudiante que hace una maestría o Doctorado en el extranjero utiliza un trazador cúbico natural para establecer el factor f(x) de ayuda de acuerdo con la siguiente tabla:

x	1.0	1.3	1.7	2.0
f(x)	2.0	2.3	3.3	3.5

x, nivel de vida del país; f(x), factor de ayuda

a. Encuentre el trazador cúbico natural (S»(1) = 0, S»(2) = 0).

b. Aproxime la integral de f(x) desde x=1, hasta x=2, empleando el resultado obtenido en el literal a.

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xi = [ 1.0, 1.3, 1.7, 2.0]
fi = [ 2.0, 2.3, 3.3, 3.5]

3ra Evaluación II Término 2011-2012. 14/Febrero/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 1. (35 puntos) Dados los datos
(x, f(x)): (1,3), (2,5), (3,4), (4,1)
que pertenecen a la ecuación:

ax³ + bx² + cx + d = f(x)

a. Sustituya cada dato en la ecuación y resuelva el sistema con el método de eliminación de Gauss

b. Suponga que el valor de x del primer punto se modifica a : (1.1, 3). Resuelva nuevamente el sistema con el método de eliminación de Gauss.

c. Contruya un vector con el valor absoluto de las diferencias entre los valores de X del literales a, b y otro vector con  la diferencia entre los coeficientes a, b, c, d obtenidos los literales a y b respectivamente.
Calcule la norma de ambos vectores y comente acerca del sistema y de la eficiencia de usar este método para obtener el polinomio de interpolación comparado con otros métodos.