Curso con Python – MATG1052/MATG1013-FCNM-ESPOL
Método de interpolación con polinomios
Tema 1. Un paracaidista con masa de 75 Kg salta de un globo aerostático fijo.
La velocidad del paracaidista se registra como se indica en la tabla.
a) Construya un polinomio P2(t) para 0 ≤ t ≤ 8
b) Mediante integración encuentre la distancia recorrida en el tiempo de 0 a 8 segundos.
| t | [s] | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| v(t) | [m/s] | 0.0 | 16.40 | 27.77 | 35.64 | 41.10 |
t = [0.0, 2, 4, 6, 8] v = [0.0, 16.40, 27.77, 35.64, 41.10]
Tema 2. (40 puntos) Un estanque se drena a través de un tubo como se observa en la figura.
Con suposiciones simplificadoras, la ecuación diferencial siguiente describe cómo cambia la profundidad con el tiempo:
\frac{dh}{dt} = -\frac{\pi d^2}{4A(h)}\sqrt{2g(h+e)}
Donde:
h = profundidad (m),
t = tiempo (s),
d = diámetro del tubo (m),
A(h) = área de la superficie del estanque como función de la profundidad (m2),
g = constante gravitacional (9,81 m/s2) y
e es la profundidad de salida del tubo por debajo del fondo del estanque (m).
Con base en la tabla siguiente de área-profundidad, resuelva esta ecuación diferencial para determinar cuánto tiempo tomaría que el estanque se vacie, dado que h(0) = 6 m, d = 0.25 m, e = 0.3 m.
| h | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A(h) | 1.17 | 0.97 | 0.67 | 0.45 | 0.32 | 0.18 | 0.02 |
a) Con las profundidades 0, 2, 4, 6, encuentre un modelo de trazador cúbico natural para modelar el área A(h) y calcule el error en h = 5 m
b) Use el método de Taylor de segundo orden con dt=1 s para aproximar el tiempo en que la profundidad es 3 m.
Rúbrica: literal a (20 puntos), literal b (20 puntos)
hi = np.array([6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]) Ai = np.array([1.17, 0.97, 0.67, 0.45, 0.32, 0.18, 0.02])
Referencia: Chapra Ejercicio 28.24 p849, pdf873
Video: La ambiciosa Represa Hoover – INEXPLICABLE. History Latinoamérica.
1ra Evaluación I Término 2018-2019. 26/Junio/2018. MATG1013
Tema 4. “El gol que desafió a la física”. El 3 de junio de 1997, durante el partido de Brasil vs Francia, el brasileño Roberto Carlos ubicó la pelota a 35 metros del arco del Francés Fabien Barthez para rematar un tiro libre. Retrocedió 18 pasos, y luego sacó un zurdazo brutal, mágico, irreal, de ficción, para vencer en un segundo y fracción el arco del portero que al año siguiente se coronaría campeón del mundo.
Se obtuvieron los siguientes datos de videos y fotografías del suceso.
| t | 0.00 | 0.15 | 0.30 | 0.45 | 0.60 | 0.75 | 0.90 | 1.05 | 1.20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x(t) | 0.00 | 0.50 | 1.00 | 1.50 | 1.80 | 2.00 | 1.90 | 1.10 | 0.30 |
| y(t) | 0.00 | 4.44 | 8.88 | 13.31 | 17.75 | 22.19 | 26.63 | 31.06 | 35.50 |
| z(t) | 0.00 | 0.81 | 1.40 | 1.77 | 1.91 | 1.84 | 1.55 | 1.03 | 0.30 |
Para el estudio de la trayectoria del balón se requieren las funciones que la describen en los ejes cartesianos.
a) Use interpolación con t = 0, 0.3, 0.6, 0.9 aproximar la trayectoria z(t) y encuentre t donde la altura es máxima.
b) Determine la altura ‘z’ del balón cuando cruzó la barrera. La barrera se ubica a y = 9 m de la posición inicial del balón.
c) Determine la desviación máxima (dx/dt=0) que hace que el gol sea considerado como “un desafío a la física”.
Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (7 puntos), literal c (8 puntos)
Referencias: La ciencia del Gol (1’49» a 2’50») video de Discovery Channel, .
El gol ‘imposible’ de Roberto Carlos a Francia cumple 20 años. El Comercio, Perú. 03.06.2017.
Científicos explican gol de tiro libre de Roberto Carlos. ElUniverso.com 3 de septiembre, 2010.
ti = [0.00, 0.15, 0.30, 0.45, 0.60, 0.75, 0.90, 1.05, 1.20] xi = [0.00, 0.50, 1.00, 1.50, 1.80, 2.00, 1.90, 1.10, 0.30] yi = [0.00, 4.44, 8.88,13.31,17.75,22.19,26.63,31.06,35.50] zi = [0.00, 0.81, 1.40, 1.77, 1.91, 1.84, 1.55, 1.03, 0.30]
Tema 2. El caballo llamado Thunder Gulch ganó el derby de Kentucky de 1995, con un tiempo de 2 min 1 \frac{1}{5} s en la carrera de 1 \frac{1}{4} millas. 
Los tiempos en los postes que marcan el cuarto de milla, la mitad de la milla y la milla fueron respectivamente 22 \frac{2}{5} s, 45 \frac{4}{5} s, 1 min con 1 \frac{1}{5} s.
a) Use los valores anteriores junto con el tiempo de arranque y construya un trazador cúbico natural.
b) Use el trazador para predecir el tiempo en el poste de tres cuartos de milla y compare el resultado con el tiempo real de 1 min con 10 \frac{1}{5} s.
c) Usando el trazador y las fórmulas de diferencias finitas, aproxime la velocidad y la aceleración del caballo en todos los postes.
Nota: Obseve que las medidas se encuentran en fracciones de unidad.
Tema 1. La razón de crecimiento específico g de una levadura que produce un antibiótico es una función de la concentración del alimento c,
g = \frac{2c}{4+0.8c + c^2 +0.2 c^3}
Como se ilustra en la figura, el crecimiento parte de cero a muy bajas concentraciones debido a la limitación de alimento.
También parte de cero en altas concentraciones debido a los efectos de toxicidad.
a) Encuentre el valor de c para el cual el crecimiento es un máximo.
b) Evalúe la función g del problema 1 para c=0,1,2,3, y encuentre el trazador cúbico natural para aproximar el máximo de g, encuentre el error.
Tema 2. Un sistema de compensación para un estudiante que hace una maestría o Doctorado en el extranjero utiliza un trazador cúbico natural para establecer el factor f(x) de ayuda de acuerdo con la siguiente tabla:
| x | 1.0 | 1.3 | 1.7 | 2.0 |
| f(x) | 2.0 | 2.3 | 3.3 | 3.5 |
x, nivel de vida del país; f(x), factor de ayuda
a. Encuentre el trazador cúbico natural (S»(1) = 0, S»(2) = 0).
b. Aproxime la integral de f(x) desde x=1, hasta x=2, empleando el resultado obtenido en el literal a.
xi = [ 1.0, 1.3, 1.7, 2.0] fi = [ 2.0, 2.3, 3.3, 3.5]
Tema 2. (30 puntos) Utilice los datos del tema anterior para encontrar el valor aproximado de la altura del cable teleférico cuando x = 0.4. Use el polinomio de diferencias finitas de grado 3 y estime el error en la interpolación.
Tema 1. (35 puntos) Dados los datos
(x, f(x)): (1,3), (2,5), (3,4), (4,1)
que pertenecen a la ecuación:
ax3 + bx2 + cx + d = f(x)
a. Sustituya cada dato en la ecuación y resuelva el sistema con el método de eliminación de Gauss
b. Suponga que el valor de x del primer punto se modifica a : (1.1, 3). Resuelva nuevamente el sistema con el método de eliminación de Gauss.
c. Contruya un vector con el valor absoluto de las diferencias entre los valores de X del literales a, b y otro vector con la diferencia entre los coeficientes a, b, c, d obtenidos los literales a y b respectivamente.
Calcule la norma de ambos vectores y comente acerca del sistema y de la eficiencia de usar este método para obtener el polinomio de interpolación comparado con otros métodos.
Tema 2. (35 puntos) La importación de combustible por año en un país de Centroamérica en el 2004 (año 0) fue de 15527 de miles de barriles de 42 galones. 
El crecimiento anual de las importaciones de combustible en % se indica en la tabla
| Año | % Incremento anual |
| 1 (1 ene. 2005 – 31 dic 2005) | -2.0 |
| 2 (1 ene. 2006 – 31 dic 2006) | 9.7 |
| 3 (1 ene. 2007 – 31 dic 2007) | 16.4 |
| 4 (1 ene. 2008 – 31 dic 2008) | 9.9 |
a. Encuentre el polinomio de interpolación para estimar el crecimiento anual al final del tercer mes del año 2. Use el polinomio de Lagrange o el polinomio de Newton. Muestre el desarrollo.
b. Aproxime la primera y segunda derivada al final de los años 2 y Use fórmulas de segundo orden.
c. Explique lo que significa el valor de la primera derivada y segunda derivada del crecimiento anual de las importaciones de combustible al final de los años 2 y 3.
datos = [[1, -2.0],
[2, 9.7],
[3, 16.4],
[4, 9.9]]
Tema 1. Determinar el trazador cúbico correspondiente, con los siguientes datos:
f(1) = 1
f(1.5) = 1.625
f(2) = 2.5
f'(1) = 1
f'(2) = 2
Luego aproximar la función en los puntos: f(1.25) y f(1.75) .
datos = [[1 , 1 ],
[1.5, 1.625],
[2 , 2.5 ]]