Raíces para ecuación de una variable
Tema 2. (25 puntos) Determine una raiz de las ecuaciones no lineales simultaneas siguientes:
y = - x2 + x + 0.75
y + 5xy = x2
a) Bosqueje una gráfica y seleccione X(0)
b) Use el método de Newton en dos variables y realice tres iteraciones.
Rúbrica: Bosquejar la gráfica hasta 5%, Plantear el método hasta 5%, Calcular el Jacobiano hasta 5% Hacer tres iteraciones, estimando el error hasta 10%.
Tema 3. (25 puntos) 3. El sistema no lineal
-x(x + 1) + 2y = 18
x - 1 + (y - 6)2 = 25
tiene dos soluciones.
a) Aproxime gráficamente las soluciones
b) Utilice el método de Newton Raphson en una variable para aproximar una solución, (realice tres iteraciones).
c) Utilice el método de Newton Raphson en dos variables para aproximar una solución, (realice tres iteraciones) y estime el error de la segunda iteración.
Rúbrica: Soluciones gráficas hasta 5 puntos, Método de Newton hasta 10 puntos, Método que involucra al jacobiano hasta 10 puntos.
Tema 2 (25 puntos). El volumen V del líquido contenido en un tanque esférico de radio r está relacionado con la profundidad h del líquido por la ecuación
Es posible desarrollar las siguientes dos fórmulas para él método de punto fijo:
h = \sqrt{\frac{h^{3}+(3V/\pi)}{3r}} h = \sqrt[3]{3(rh^{2}-V/\pi)}
Si r=1 m y V=0.75 m3, determine si las dos alternativas son estables (convergen), realice las iteraciones para aproximar h con un error menor o igual 0.01 m.
Rúbrica: Cálculo de las derivadas (10 puntos), determinación de la estabilidad (5 puntos), iteraciones con el error (10 puntos).
Referencia: Ejercicio 5.17. p143 Steven C. Chapra. Numerical Methods 7th Edition.
Tema 3. (25 puntos) Se adquiere a maquinaria o equipo para una empresa por $35000, sin pago inicial, con pagos de $5800 por año durante 8 años. 
¿Qué tasa de interés está usted pagando?
La fórmula que relaciona el valor presente P, las anualidades A, el número de años n y la tasa de interés i es:
A = P \frac{i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n} -1}a) Plantee la ecuación y encuentre un intervalo de existencia.
b) Encuentre un intervalo de convergencia
c) Realice cuatro iteraciones y estime el error
Rúbrica: Ecuación (5 puntos), intervalo existencia (2 puntos), Intervalo de convergencia (10 puntos), iteraciones (5 puntos), estimar error hasta (3 puntos)
Referencias:
La venta de tractores se mantiene. El comercio 24-Oct-2009. https://www.elcomercio.com/actualidad/venta-tractores-mantiene.html
La agricultura familiar campesina toma impulso en la provincia de Loja. Crónica.com.ec 31-ago-2018. https://www.cronica.com.ec/informacion-2/ciudad/item/22626-la-agricultura-familiar-campesina-toma-impulso-en-la-provincia-de-loja
Tema 1. (25 puntos) El balance de masa de un contaminante en un lago, bien mezclado, se expresa mediante la ecuación:
V\frac{dc}{dt} = W - Qc-kV(\sqrt[3]{c})Dados los valores de parámetros:
V=1x106 m3, Q=1x105 m3/año W=1x106 g/año k=0.25m0.5/g0.5/año
se quiere hallar la concentración c de estado estable (dc/dt= 0)
a) Utilizando el método de Newton, encuentre un modelo iterativo x=g(x) para aproximar c y un intervalo de existencia y convergencia.
b) Realice las iteraciones presentando el error en cada iteración.
Rúbrica:
a) Hallar g (5 puntos), intervalo de existencia (2 puntos), intervalo de convergencia (6 puntos)
b) Iteraciones hasta (8 puntos), estimación del error hasta (4 puntos)
Tema 1. (25 puntos)
a) Sea:
f ∈ C∞[a, b] , ∃p ∈ [a, b] , tal que f(p)=0 y f'(p) ≠ 0,
demuestre que existe un intervalo que contiene a p, tal que el método de Newton-Raphson converge para cualquier p0 que pertenece a dicho intervalo.
b) El precio de demanda de un producto está modelado mediante la ecuación:
y = 10 e^{-x} + 4y el precio de la oferta está modelado mediante la ecuación :
y = 10 x^{2} + 2utilizando el método de Newton, plantee la ecuación y encuentre un intervalo de convergencia.
c) Encuentre el precio y demanda donde las curvas se interceptan (equilibrio).
Rúbrica: literal a 7 puntos, literal b (8 puntos), literal c (10 puntos)
Tema 1. Usted tiene que diseñar un canal triangular abierto para transportar una corriente de deshechos desde una planta química hasta un depósito de estabilización de desechos. 
La velocidad media aumenta con el radio hidráulico,
R_h = \frac{A}{P},
donde A es el área y P es el perímetro mojado de la sección transversal.
El perímetro mojado es la longitud
de los lados y fondo del canal que están bajo el agua
Como la razón del flujo máximo corresponde a la velocidad máxima, el diseño óptimo corresponde a un valor θ que maximice Rh. Considere d=1 unidad.
a) Encuentre un modelo para calcular Rh en función de θ.
b) Obtenga la ecuación para encontrar el máximo.
c) Encuentre un intervalo de existencia y un intervalo de convergencia tal que el método de Newton, y
d) Aproxime θ con una precisión de 0.0001.
Nota: Si no logra encontrar el modelo en el literal a) utilice la siguiente ecuación
R_h= \frac{d \cos(\theta)}{2(1 + \cos (\theta))}
Referencia: Chapra Problemas 16.11 p442 pdf466.
Siendo c la hipotenusa de un triángulo del canal, la formula queda en función de la profundidad del canal d.
p = w + 2c \frac{w}{2} = c \cos (\theta) d = c \sin (\theta) c = \frac{d}{sin(\theta)} \frac{w}{2} = \frac{d}{sin(\theta)} \cos(\theta) w = 2d\frac{ \cos(\theta)}{sin(\theta)}perimetro p es entonces:
p = 2d\frac{ \cos(\theta)}{sin(\theta)} + 2\frac{d}{sin(\theta)} p = 2d\frac{ \cos(\theta)+1}{sin(\theta)}continue calculando el área y encuentre la fórmula para el problema ...
Tema 1. (30 puntos) Una empresa compra una máquina en P=20000 dólares pagando A=5000 dólares cada año durante los próximos n=5 años.
La siguiente fórmula relaciona los valores de P, A, n y el interés anual x que la empresa debe pagar:
A = P \frac{x(1+x)^n}{(1+x)^n -1}Determine la tasa de interés anual x que la empresa ha contratado.
a) Localice un intervalo que contenga a la raíz, para aplicar el método de la bisección
b) Calcule la raíz con una precisión de 0.01. Muestre los valores intermedios
Referencias:
La venta de tractores se mantiene. El comercio 24-Oct-2009. https://www.elcomercio.com/actualidad/venta-tractores-mantiene.html
Tema 1. (30 puntos). Determine de ser posible, los puntos de la curva
y=ln(x)para x>0, más cercanos al origen de coordenadas.
a) Plantee la ecuación que permita resolver matemáticamente el problema.
b) Determine de ser posible un intervalo de la solución a la ecuación planteada en el literal anterior.
c) Aproxime la solución numérica de la ecuación planteada, empleando el método de Newton-Raphson con tolerancia de 10−6. Mostrar la tabla de resultados respectiva.
d) Escriba las coordenadas del punto encontrado: (x,y)
Tema 1. Para que f(x) sea una función de probabilidad, se tiene que cumplir que su integral en el dominio de x debe tener un valor igual a 1.
Encuentre el valor de b para que la función
f(x) = 2 x^2+xsea una función de probabilidad en el dominio [0,b].
Use la fórmula de Newton-Raphson en la ecuación no lineal resultante. El error tolerado=0.0001