6.4 LTI DT – Respuesta estado cero – Concepto

Referencia: Lathi 3.8 p280

Es la respuesta de un sistema cuando el estado es cero. se incia con que la entrada x[n] es la suma de componentes δ[n]

$x[n] = x[0] \delta[n] + x[1] \delta[n-1] + x[2] \delta[n-2] + \text{...}$ $+ x[-1] \delta[n+1] + x[-2] \delta[n+2] + \text{...}$ $x[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m] \delta[n-m]$

En un sistema lineal, conociendo su respuesta impulso, responde a cualquier entrada como la suma de sus componentes.

$y[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m] h[n-m] = x[n] \circledast h[n]$

Propiedades de la sumatoria de convolución

Conmutativa

$x_1[n] \circledast x_2[n] = x_2[n] \circledast x_1[n]$

Distributiva

$x_1[n] \circledast (x_2[n]+x_3[n])= (x_1[n] \circledast x_2[n]) + (x_1[n] \circledast x_3[n])$

Asociativa

$x_1[n] \circledast (x_2[n] \circledast x_3[n]) = (x_1[n] \circledast x_2[n]) \circledast x_3[n]$

Desplazamiento

Si

$x_1[n] \circledast x_2[n] = c[n]$

entonces

$x_1[n-m] \circledast x_2[n-p] = c[n-m-p]$

Convolución de un impulso

$x[n] \circledast \delta[n] = x[n]$

Ancho o intervalo

Si x1[n] y x2[n] tienen anchos finitos W1 y W2, el ancho de la convolución entre ellos es W1+W2.