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1Eva2010TII_T3 LTI CT H(s) de bloques en paralelo y retraso

1ra Evaluación II Término 2010-2011. 9/Diciembre/2010. TELG1001

Tema 3. (25 puntos) Considere la existencia de un sistema, cuyo esquema del diagrama de bloques en el dominio de la frecuencia compleja, que relaciona la entrada-salida es el siguiente:

Determinar,

a. La función de transferencia H(s) del mencionado sistema y esquematizar en el plano complejo los polos y ceros. Comente sobre la estabilidad de este sistema, justificando su respuesta.

b. La respuesta impulso h(t) de dicho sistema, y la obtención de su valor inicial y final a partir de la aplicación del TVI y TVF.

c. La representación del mencionado sistema (en el dominio de tiempo contínuo) mediante diagrama de bloques.

d. La respuesta escalón s(t)

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1Eva2010TII_T2 LTI CT bloques integradores en serie

1ra Evaluación II Término 2010-2011. 9/Diciembre/2010. TELG1001

Tema 2. (25 puntos) Un sistema LTI-CT está integrado por la conexión en cascada de dos subsistema integradores, tal como se muestra en la figura.

Conociendo que la excitación de dicho sitema es x(t) se requiere:

a. Determinar, esquematizar y etiquetar la respuesta impulso h(t)

b. Obtener la función de transferencia del mencionado sistema

c. La respuesta y(t) frente a dicha excitación

d. Determinar la respuesta escalón s(t)

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1Eva2010TII_T1 LTI CT Determinar h(t) con entrada x(t) y salida y(t)

1ra Evaluación II Término 2010-2011. 9/Diciembre/2010. TELG1001

Tema 1. (25 puntos) Para el Sistema LTI-CT qe se muestra en la siguiente figura, se obtiene la respuesta

y(t)=(4e−2t+6e−3t)μ(t) y(t) = \Big( 4 e^{-2t} + 6 e^{-3t} \Big) \mu (t)

cuando la señal de entrada está dada por

x(t)=2e−2tμ(t) x(t) = 2 e^{-2t} \mu (t)

Si la respuesta impulso de dicho sistema es de la forma:

h(t)=aδ(t)+be−ctμ(t) h(t) = a \delta (t) + b e^{-ct} \mu (t)

a. Determinar los coeficientes a,b,c que permiten cumplir la condición entrada-salida del mencionado sistema.

b. Encontrar la ecuación diferencial de coeficientes constantes que representa a dicho sistema (dominio del tiempo contínuo)

c. Esquematice, en un diagrama de bloques, la relación entrada-salida (dominio de tiempo contínuo) del referido sistema.

d. Comente sobre a que tipo de estabilidad interna pertenece, e indique justificadamente, si el sistema es BIBO estable o no.

e. Obtener la respuesta, si la señal de entrada es δδtx(t)\frac{\delta}{\delta t}x(t)

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1Eva2010TI_T4 LTI DT bloques y respuesta impulso

1ra Evaluación I Término 2010-2011. 8/Julio/2010. TELG1001

Tema 4. (25 puntos) Un estudiante de Sistemas Lineales ha encontrado que un determinado sitema LTI-DT causal, en el dominio del tiempo, tiene la siguiente representación:

Determinar:

a. La respuesta impulso h[n]

b. La respuesta y[n] frente a la siguiente excitación:

x[n]=e−0.25nμ[n]−e−0.50nμ[n] x[n] = e^{-0.25 n} \mu [n] - e^{-0.50 n} \mu [n]

c. ¿Es el sistema BIBO estable?, justifique su respuesta.

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1Eva2010TI_T3 LTI DT subsistemas serie y respuesta impulso

1ra Evaluación I Término 2010-2011. 8/Julio/2010. TELG1001

Tema 3. (25 puntos) El sistema que se muestra en la siguiente figura es el resultante de la combinación de dos subsistemas conectados en cascada.

Determinar:

a. las respuestas impulso de cada subsistema y del sistema completo, es decir h1[n], h2[n], h[n].

h1[n]
h2[n]
h[n]

b. su respuesta y[n], en forma de mínima expresión, frente a la siguiente excitación:

x[n]=e−0.5nμ[n] x[n] = e^{-0.5n} \mu [n]
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1Eva2010TI_T2 LTI CT diagrama de bloques para H(s)

1ra Evaluación I Término 2010-2011. 8/Julio/2010. TELG1001

Tema 2. (25 puntos) Considere la existencia de un sistema, cuyo esquema del diagrama de bloques en el dominio de la frecuencia compleja, que relaciona la entrada-salida del mismo, es el siguiente:

Determinar:

a. La función de transferencia H(s) del mencionado sistema y esquematizar en el plano complejo los polos y ceros. Comente sobre la estabilidad de este sistema, justificando su respuesta.

b. La respuesta impulso h(t) de dicho sistema, y la obtención de su valor inicial y final a partir de la aplicación del TVI y TVF.

c. La ecuación diferencial de coeficientes constantes que representa al referido sistema.

d. La respusta que se obtendría si la exitación es:

x(t)=e−3tμ(t) x(t) = e^{-3t} \mu(t)
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1Eva2010TI_T1 LTI CT respuesta estado cero desde dx(t)/dt

1ra Evaluación I Término 2010-2011. 8/Julio/2010. TELG1001

Tema 1. (25 puntos) Un estudiante de la materia Sistemas Lineales, ha determinado que la representación esquemática de la respuesta impulso h(t), de un sistema LTI-CT es aquella que se muestra en la siguiente figura.

Si se conoce la derivada de la entrada de dicho sistema, esto es dx(t)/dt, determine y esquematice su respuesta de estado cero, es decir:

y(t) = x(t)⊗h(t)

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s1Eva2010TII_T3 LTI CT H(s) de bloques en paralelo y retraso

Referencia: 1Eva2010TII_T3 LTI CT H(s) de bloques en paralelo y retraso

El diagrama de bloques del sistema consta de dos sistema de primer orden en paralelo y el resultado en serie con un bloque retraso en tiempo.

La ecuación de respuesta a impulso H(s), siguiendo el diagrama se presenta como:

H(s)=[1s+2+1s+3]e−2s H(s) =\Big[ \frac{1}{s+2}+\frac{1}{s+3} \Big] e^{-2s}

literal a

Para el desarrollo analítico se simplifica el problema, separando el bloque de atraso para el final, dado que el sistema es LTI los desplazamietos en el tiempo de la entrada tendrán semejante respuesta en la salida.

La función de transferencia H(s) o respuesta al impulso será:

H(s)=[H1(s)]e−2sH(s) =\Big[ H_1(s)\Big] e^{-2s} H1(s)=1s+2+1s+3H_1(s) = \frac{1}{s+2}+\frac{1}{s+3}

Los componentes por ser de primer orden y estar en paralelo, no se requiere aplicar fracciones parciales.

Los polos del sistema se encuentran en el lado izquierdo del plano, por lo que sus componentes en el tiempo son decrecientes.

{polos,veces}:  {-2: 1, -3: 1}
 polos reales:  2  complejos:  0
 sobre lado derecho RHP: 0
 sobre Eje Imaginario, repetidos:  0  unicos: 0
 asintoticamente:  estable

NO existen polos en el lado derecho del plano, por lo que el sistema es asintoticamente estable, en consecuencia BIBO estable.

s1Eva2010TII_T3_polos H(s)literal b

Para la transformada inversa de Laplace, se recuerda que se tiene un componente de retraso en cascada, por lo que se ajusta H(s)*retraso en fracciones parciales, se presentan dos componentes:

 h(t) :
 4 - 2*t                     6 - 3*t                 
e       *Heaviside(t - 2) + e       *Heaviside(t - 2)

que tienen la forma decreciente de la función, Para la gráfica sympy usa como θ(t)=μ(t)=Heaviside(t)

s1Eva2010TII_T3 x(t)h(t)=y(t)

literal c

A partir del diagrama de bloques se tiene:

H(s)=Y(s)X(s)=[2s+5s2+5s+6]e−2sH(s) =\frac{Y(s)}{X(s)}= \Big[ \frac{2s+5}{s^2+5s+6} \Big] e^{-2s} (s2+5s+6)Y(s)=(2s+5)e−2sX(s) (s^2+5s+6)Y(s)=(2s+5)e^{-2s} X(s) s2Y(s)+5sY(s)+6Y(s)=(2sX(s)+5X(s))e−2s s^2Y(s)+5sY(s)+6Y(s)=(2sX(s)+5X(s))e^{-2s}

que al convertir al dominio del tiempo se escribe como:

δ2δt2y(t)+5δδty(t)+6y(t)=2δδtx(t−2)+5x(t−2) \frac{\delta^2}{\delta t^2}y(t)+5\frac{\delta}{\delta t}y(t)+6y(t)=2\frac{\delta}{\delta t}x(t-2)+5x(t-2)

literal d

la respuesta ante la entrada escalon requiere que x(t) = μ(t), no se especifican condiciones iniciales del problema, por lo que se asumen iguales a cero. De la tabla de transformadas se obtiene X(s) = 1/s

H(s)=[1s+2+1s+3]e−2s H(s) =\Big[ \frac{1}{s+2}+\frac{1}{s+3} \Big] e^{-2s} Y(s)=H(s)X(s)=[1s+2+1s+3]e−2s1s Y(s) = H(s)X(s) =\Big[ \frac{1}{s+2}+\frac{1}{s+3} \Big] e^{-2s} \frac{1}{s}

que separando en fracciones parciales se convierte en:

Y(s)=[5/6s−1/3s+3−1/2s+2]e−2s Y(s) =\Big[\frac{5/6}{s} -\frac{1/3}{s+3}-\frac{1/2}{s+2} \Big] e^{-2s} y(t)=[56−13e−3(t−2)−12e−2(t−2)]μ(t−2) y(t) =\Big[\frac{5}{6} -\frac{1}{3}e^{-3(t-2)}-\frac{1}{2}e^{-2(t-2)}\Big] \mu (t-2)

el resultado usando algoritmos es:

 H(s) = P(s)/Q(s):
/  1       1  \  -2*s
|----- + -----|*e    
\s + 3   s + 2/      
 H(s) en factores:
           -2*s
(2*s + 5)*e    
---------------
(s + 2)*(s + 3)

 h(t) :
/ 4  -2*t    6  -3*t\                 
\e *e     + e *e    /*Heaviside(t - 2)

polosceros:
exp(-2*s) : {'Q_polos': {-2: 1, -3: 1}, 'P_ceros': {-5/2: 1}, 'Hs_k': (2*s + 5)/((s + 2)*(s + 3))}
Q_polos : {-2: 1, -3: 1}
P_ceros : {-5/2: 1}

Estabilidad de H(s):
 n_polos_real : 2
 n_polos_imag : 0
 enRHP : 0
 unicos : 0
 repetidos : 0
 asintota : estable

 X(s): 
1
-
s

Respuesta entrada cero ZIR H(s) y condiciones iniciales
term_cero : 0
ZIR :
0
yt_ZIR :
0

 ZSR respuesta estado cero:
ZSR :
/      1           1        5 \  -2*s
|- --------- - --------- + ---|*e    
\  3*(s + 3)   2*(s + 2)   6*s/      
yt_ZSR :
/     4  -2*t    6  -3*t\                 
|5   e *e       e *e    |                 
|- - -------- - --------|*Heaviside(t - 2)
\6      2          3    /                 

 Y(s)_total = ZIR + ZSR:
/      1           1        5 \  -2*s
|- --------- - --------- + ---|*e    
\  3*(s + 3)   2*(s + 2)   6*s/      

 y(t)_total = ZIR + ZSR:
/     4  -2*t    6  -3*t\                 
|5   e *e       e *e    |                 
|- - -------- - --------|*Heaviside(t - 2)
\6      2          3    /                 
>>>

Instrucciones en Python

Usando los bloques desarrollados en la Unidad 4 Sistemas LTI – Laplace  y las funciones resumidas como telg1001.py que pueden ser usados en cada pregunta.

# Y(s) Respuesta total con entada cero y estado cero
# Qs Y(s) = Ps X(s) ; H(s)=Ps/Qs
# https://blog.espol.edu.ec/telg1001/
import sympy as sym
import matplotlib.pyplot as plt
import telg1001 as fcnm

# INGRESO
s = sym.Symbol('s')
t = sym.Symbol('t', real=True)
d = sym.DiracDelta(t)
u = sym.Heaviside(t)

# H(s) y estabilidad
Hs = (1/(s+2)+1/(s+3))*sym.exp(-2*s)
#Hs = 1+0*s cuando es constante

# X(s) Señal de entrada
xt = u

# condiciones iniciales, [y'(0),y(0)] orden descendente
t0 = 0
cond_inicio = [0, 0] # estado cero no se usan

# Grafica, intervalo tiempo [t_a,t_b]
t_a = -1 ; t_b = 5
muestras = 101  # 51 resolucion grafica

# PROCEDIMIENTO
Hs = fcnm.apart_s(Hs) # fracciones parciales
Hs_fc = fcnm.factor_exp(Hs) # en factores
Hs_Qs2 = fcnm.Q_cuad_s_parametros(Hs_fc)

polosceros = fcnm.busca_polosceros(Hs)
Q_polos = polosceros['Q_polos']
P_ceros = polosceros['P_ceros']

estable = fcnm.estabilidad_asintotica_s(Q_polos)

# H(t) respuesta al impulso
ht = 0*s
term_suma = sym.Add.make_args(Hs)
for term_k in term_suma:
    ht_k = sym.inverse_laplace_transform(term_k,s,t)
    # simplifica log(exp()) ej: e**(-2s)/(s**2)
    if ht_k.has(sym.log):
        ht_k = sym.simplify(ht_k,inverse=True)
    ht  = ht + ht_k
lista_escalon = ht.atoms(sym.Heaviside)
ht = sym.expand(ht,t) # terminos suma
ht = sym.collect(ht,lista_escalon)

# PROCEDIMIENTO Respuesta ZIR, ZSR
Xs = fcnm.laplace_transform_suma(xt)

# ZIR_s respuesta entrada cero de s
sol_ZIR = fcnm.respuesta_ZIR_s(Hs,cond_inicio)
ZIR = sol_ZIR['ZIR']
yt_ZIR = sol_ZIR['yt_ZIR']

# ZSR respuesta estado cero, Y(s) a entrada X(s)
sol_ZSR = fcnm.respuesta_ZSR_s(Hs,Xs)
ZSR = sol_ZSR['ZSR']
yt_ZSR = sol_ZSR['yt_ZSR']

# Respuesta total Y(s) y y(t)
Ys = ZIR + ZSR
Ys = fcnm.apart_s(Ys)
yt = yt_ZIR + yt_ZSR
lista_escalon = yt.atoms(sym.Heaviside)
yt = sym.collect(yt,lista_escalon)

# SALIDA
print(' H(s) = P(s)/Q(s):')
sym.pprint(Hs)
print(' H(s) en factores:')
sym.pprint(Hs_fc)
if len(Hs_Qs2)>0:
    print('\nH(s) parámetros cuadraticos:')
    fcnm.print_resultado_dict(Hs_Qs2)

print('\n h(t) :')
sym.pprint(ht)

print('\npolosceros:')
fcnm.print_resultado_dict(polosceros)

print('\nEstabilidad de H(s):')
for k in estable:
    print('',k,':',estable[k])

print('\n X(s): ')
sym.pprint(Xs)
print('\nRespuesta entrada cero ZIR H(s) y condiciones iniciales')

if not(sol_ZIR == sym.nan): # existe resultado
    fcnm.print_resultado_dict(sol_ZIR)
else:
    print(' insuficientes condiciones iniciales')
    print(' revisar los valores de cond_inicio[]')

print('\n ZSR respuesta estado cero:')
fcnm.print_resultado_dict(sol_ZSR)

print('\n Y(s)_total = ZIR + ZSR:')
sym.pprint(Ys)
print('\n y(t)_total = ZIR + ZSR:')
sym.pprint(yt)

# Graficas polos, H(s), con polos h(t) --------
muestras_H = 201
figura_s  = fcnm.graficar_Fs(Hs_fc,Q_polos,P_ceros,f_nombre='H',solopolos=True)
figura_Hs = fcnm.graficar_Fs(Hs_fc,Q_polos,P_ceros,muestras=muestras_H,f_nombre='H')
figura_ht = fcnm.graficar_ft(ht,t_a,t_b,muestras,f_nombre='h')
# GRAFICAS y(t),x(t),h(t) ---------------------
figura_ft = fcnm.graficar_xh_y(xt,ht,yt,t_a,t_b,muestras)
plt.show()
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s1Eva2010TII_T1 LTI CT Determinar h(t) con entrada x(t) y salida y(t)

Ejercicio: 1Eva2010TII_T1 LTI CT Determinar h(t) con entrada x(t) y salida y(t)

Dadas las señales de entrada y salida del sistema:

y(t)=(4e−2t+6e−3t)μ(t) y(t) = \Big( 4 e^{-2t} + 6 e^{-3t} \Big) \mu (t) x(t)=2e−2tμ(t) x(t) = 2 e^{-2t} \mu (t)

literal a. h(t)

Se usan las transformadas de Laplace para plantear la respuesta al impulso como  H(s) = Y(s)/X(s)

Y(s)=41s+2+61s+3=4(s+3)+6(s+2)(s+2)(s+3) Y(s) = 4 \frac{1}{s+2} + 6 \frac{1}{s+3} = \frac{4(s+3)+6(s+2)}{(s+2)(s+3)} Y(s)=4s+12+6s+12(s+2)(s+3)=10s+24(s+2)(s+3) Y(s) = \frac{4s+12+6s+12}{(s+2)(s+3)} =\frac{10s+24}{(s+2)(s+3)} X(s)=21s+2 X(s) = 2 \frac{1}{s+2}

se obtiene la expresión para H(s),

H(s)=Y(s)H(s)=10s+24(s+2)(s+3)21s+2=2(5s+12)(s+2)2(s+2)(s+3) H(s) = \frac{Y(s)}{H(s)} = \frac{\frac{10s+24}{(s+2)(s+3)}}{2 \frac{1}{s+2}} = \frac{2(5s+12)(s+2)}{2(s+2)(s+3)} H(s)=5s+12s+3 H(s) = \frac{5s+12}{s+3}

aplicando fracciones parciales, conociendo que el grado M del polinomio P es igual al grado N del polinomio Q, existe un término constante mas terminos cero(k)/(s+polo(k)). El término constante es el coeficiente de s de mayor grado del numerador.

H(s)=5−3s+3 H(s) = 5-\frac{3}{s+3}

Aplicando la Transformada Inversa de Laplace, se tiene:

h(t)=5δ(t)−3e−3tμ(t) h(t) = 5\delta(t)-3e^{-3t} \mu (t)

con lo que comparando el resultado con la ecuación sugerida, a= 5, b=-3, c =3.

literal b. ecuación diferencial de h(t)

tomando la forma:

H(s)=5s+12s+3 H(s) = \frac{5s+12}{s+3} Y(s)X(s)=5s+12s+3 \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{5s+12}{s+3} (s+3)Y(s)=(5s+12)X(s) (s+3)Y(s) = (5s+12)X(s) sY(s)+3Y(s)=5sX(s)+12X(s) sY(s)+3Y(s) = 5sX(s)+12X(s) δδty(t)+3y(t)=5δδtx(t)+12x(t) \frac{\delta}{\delta t}y(t)+3y(t) = 5\frac{\delta}{\delta t}x(t)+12x(t)

Literal c. Diagrama de bloques

Literal d. polos

El sistema tiene un polo en -3 , que se encuentra en el lado izquierdo del plano s, lo que indica que tiene términos decrecientes y es asintóticamente estable. Lo mismo aplica para el caso de BIBO estable.

Tarea. literal e.

Para la señal indicada, considere revisar la propiedad de diferenciación en la tabla de propiedades transformada de Laplace.

δδtx(t)→sX(s)−x(0–) \frac{\delta}{\delta t} x(t) \rightarrow sX(s) -x(0\text{–})

Resultados con Python

 y(t)
/   -2*t      -3*t\             
\4*e     + 6*e    /*Heaviside(t)
Y(s)
  6       4  
----- + -----
s + 3   s + 2

 x(t)
   -2*t             
2*e    *Heaviside(t)
X(s)
  2  
-----
s + 2

H(s) = P(s)/Q(s):
      3  
5 - -----
    s + 3

H(s) en factores:
5*s + 12
--------
 s + 3  

 h(t) :
                     -3*t             
5*DiracDelta(t) - 3*e    *Heaviside(t)

polosceros:
Q_polos : {-3: 1}
P_ceros : {-12/5: 1}

Estabilidad de H(s):
 n_polos_real : 1
 n_polos_imag : 0
 enRHP : 0
 unicos : 0
 repetidos : 0
 asintota : estable

gráfica de H(s) con polos

s1Eva2010TII_T1_polos H(s)

gráfica de x(t),y(t), h(t)

s1Eva2010TII_T1_xh_y

Instrucciones en Python

# 1Eva2010TII_T1 LTI CT Determinar h(t) con entrada x(t) y salida y(t)
# Transformadas de Laplace, funciones
# https://blog.espol.edu.ec/telg1001/
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sym
import telg1001 as fcnm

# INGRESO
s = sym.Symbol('s')
t = sym.Symbol('t', real=True)
d = sym.DiracDelta(t)
u = sym.Heaviside(t)

yt = (4*sym.exp(-2*t)+6*sym.exp(-3*t))*u

xt = 2*sym.exp(-2*t)*u

# Grafica, intervalo tiempo [t_a,t_b]
t_a = 0 ; t_b = 5
muestras = 101  # 51 resolucion grafica

# PROCEDIMIENTO
Ys = fcnm.laplace_transform_suma(yt)
Xs = fcnm.laplace_transform_suma(xt)

# H(s) respuesta a estado cero
Hs = Ys/Xs
Hs = fcnm.apart_s(Hs)
Hs_fc = fcnm.factor_exp(Hs) # en factores
Hs_Qs2 = fcnm.Q_cuad_s_parametros(Hs_fc)

polosceros  = fcnm.busca_polosceros(Hs)
Q_polos = polosceros['Q_polos']
P_ceros = polosceros['P_ceros']

estable = fcnm.estabilidad_asintotica_s(Q_polos)

ht = 0*s
term_suma = sym.Add.make_args(Hs)
for term_k in term_suma:
    ht_k = sym.inverse_laplace_transform(term_k,s,t)
    # simplifica log(exp()) ej: e**(-2s)/(s**2)
    if ht_k.has(sym.log):
        ht_k = sym.simplify(ht_k,inverse=True)
    ht  = ht + ht_k
lista_escalon = ht.atoms(sym.Heaviside)
ht = sym.expand(ht,t) # terminos suma
ht = sym.collect(ht,lista_escalon)

# SALIDA
print(' y(t)')
sym.pprint(yt)
print('Y(s)')
sym.pprint(Ys)
print('\n x(t)')
sym.pprint(xt)
print('X(s)')
sym.pprint(Xs)
print('\nH(s) = P(s)/Q(s):')
sym.pprint(Hs)
print('\nH(s) en factores:')
sym.pprint(Hs_fc)
if len(Hs_Qs2)>0:
    print('\nH(s) parámetros cuadraticos:')
    fcnm.print_resultado_dict(Hs_Qs2)

print('\n h(t) :')
sym.pprint(ht)

print('\npolosceros:')
fcnm.print_resultado_dict(polosceros)

print('\nEstabilidad de H(s):')
for k in estable:
    print('',k,':',estable[k])

# Graficas polos, H(s), con polos h(t) --------
muestras_H = 101
figura_s  = fcnm.graficar_Fs(Hs_fc,Q_polos,P_ceros,f_nombre='H',solopolos=True)
figura_Hs = fcnm.graficar_Fs(Hs_fc,Q_polos,P_ceros,muestras=muestras_H,f_nombre='H')
figura_ht = fcnm.graficar_ft(ht,t_a,t_b,muestras,f_nombre='h')
# GRAFICAS y(t),x(t),h(t) ---------------------
figura_ft = fcnm.graficar_xh_y(xt,ht,yt,t_a,t_b,muestras)
plt.show()
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1Eva2009TII_T3 LTI CT y(t) desde h(t) y x(t) con términos escalón desplazados

1ra Evaluación II Término 2009-2010. 3/Diciembre/2009. TELG1001

Tema 3. (20 puntos) Suponga que la entrada x(t) y la respuesta impulso de un sistema LTI-CT están dadas por:

x(t) = 2 μ(t-1) – 2 μ(t-3)

h(t) = μ(t+1) – 2 μ(t-1) + μ(t-3)

a. Determine y esquematice la salida de dicho sistema, y encuentre la energía total de y(t)

b. ¿El sistema es BIBO estable? justifique su respuesta