6.6 LTI DT – Respuesta Total

Referencia:  Lathi 3.8-3 p297

La respuesta total de un sistema LTID se puede expresar como la suma respuesta a entrada cero y respuesta a estado cero.

$\text{respuesta total} = \sum_{j=1}^{N} c_j \gamma_j^{n} + x[n] \circledast h[n]$

respuesta total = componente entrada cero + componente estado cero

Es el concepto aplicado al modelo de sistemas contínuos, cambiando a x[n], h[n] y y[n]

---

Para el sistema LTID desarrollado en las secciones anteriores y descrito por la ecuación,

$y[n+2] - 0.6 y[n+1] - 0.16 y[n] = 5x[n+2]$

dadas las condiciones iniciales y[-1]=0, y[-2]=25/4, ante una entrada
x[n]=4^-nμ[n], se han determinado los dos componentes, ambos para n≥0:

$\text{respuesta total} = y [n] = \frac{1}{5} (-0.2)^n + \frac{4}{5} (0.8)^n +$ $+ \Big[-1.26 (0.25)^{n} + 0.444 (-0.2)^{n} +5.81(0.8)^{n}\Big]$

al simplificar las expresiones se tiene la respuesta expresada como

$y [n] = \Big(\frac{1}{5}+ 0.444 \Big) (-0.2)^n + \Big(\frac{4}{5} +5.81 \Big) (0.8)^n -1.26 (0.25)^{n}$ $y [n] = 0.644 (-0.2)^n + 6.61 (0.8)^n -1.26 (0.25)^{n} ; n \geq 0$

Para el resultado se ha asumido que es un sistema invariante en el tiempo LTI, entonces la respuesta a δ[n-m] se puede expresar como h[n-m].

---

Solución clásica a ecuaciones lineales de diferencias

considera la respuesta total como la suma de una respuesta natural y una respuesta a componente forzados o de entrada.

$\text{respuesta total} = y_c[n] +y_0[n]$

se expresa como,

$Q[E](y_c[n] + y_{\phi}[n]) = P[E] x[n]$

dado que yc[n] es el resultado de los modos característicos,

$Q[E]y_c[n] = 0$ $Q[E] y_{\phi}[n] = P[E] x[n]$

La respuesta natural es una combinación lineal de los modos característicos. Las constantes arbitraras se determinan de las condiciones auxiliares dadas como y[0], y[1], … y[n-1], o por condiciones iniciales y[-1], y[-2],…, y[-N].

Las respuesta forzadas y_Φ[n] satisface la ecuación anterior y por definición contiene solamente los términos que «nomodos»