La transformada z convierte las ecuaciones de diferencias en expresiones algebraicas que permiten encontrar soluciones en el dominio z. A partir de las soluciones en el dominio z, se aplica la transformada inversa z que lleva a la solución en el dominio del tiempo
Ejercicio1
Referencia
Resolver
y[n+2] – 5 y[n+1] + 6 y[n] = 3 x[n+1] + 5 x[n]
con las condiciones iniciales y[-1]=11/16, y[-2]=37/36,-n μ[n]
Desarrollo analítico
Usando la propiedad de desplazamiento de 2 unidades a la derecha.
y[n] – 5 y[n-1] +6 y[n-2] = 3 x[n-1] + 5 x[n-2]
se aplica la transformada z, teniendo en cuenta que y[n-k] significa y[n-k]μ[n], pues consideramos solamente la situación de n≥0, y[n] esta presente incluso antes de n=0.
Teniendo así que,
y [ n ] μ [ n ] ⇔ Y [ z ] y[n] μ[n] \Leftrightarrow Y[z] y [ n ] μ [ n ] ⇔ Y [ z ] y [ n − 1 ] μ [ n ] ⇔ 1 z Y [ z ] + y [ − 1 ] = 1 z Y [ z ] + 1 1 6 y[n-1] μ[n] \Leftrightarrow \frac{1}{z} Y[z] + y[-1] = \frac{1}{z} Y[z] + \frac{11}{6} y [ n − 1 ] μ [ n ] ⇔ z 1 Y [ z ] + y [ − 1 ] = z 1 Y [ z ] + 6 1 1 y [ n − 1 ] μ [ n ] ⇔ 1 z Y [ z ] + 1 1 6 y[n-1] μ[n] \Leftrightarrow \frac{1}{z} Y[z] + \frac{11}{6} y [ n − 1 ] μ [ n ] ⇔ z 1 Y [ z ] + 6 1 1 y [ n − 2 ] μ [ n ] ⇔ 1 z 2 Y [ z ] + 1 z y [ − 1 ] + y [ − 2 ] y[n-2] μ[n] \Leftrightarrow \frac{1}{z^2} Y[z] + \frac{1}{z}y[-1] + y[-2] y [ n − 2 ] μ [ n ] ⇔ z 2 1 Y [ z ] + z 1 y [ − 1 ] + y [ − 2 ] y [ n − 2 ] μ [ n ] ⇔ 1 z 2 Y [ z ] + 1 z 1 1 6 + 3 7 3 6 y[n-2] \mu [n] \Leftrightarrow \frac{1}{z^2} Y[z] + \frac{1}{z}\frac{11}{6} +\frac{37}{36} y [ n − 2 ] μ [ n ] ⇔ z 2 1 Y [ z ] + z 1 6 1 1 + 3 6 3 7 Conociendo que para una entrada causal x[n]
x[-1] = x[-2] = … = x[-n] = 0
se tiene que:
x [ n ] = ( 2 ) − n μ [ n ] = ( 2 − 1 ) n μ [ n ] = ( 0 . 5 ) n μ [ n ] ⇔ z z − 0 . 5 x[n] = (2)^{-n} \mu [n] = (2^{-1})^n \mu [n] = (0.5)^n \mu [n] \Leftrightarrow \frac{z}{z-0.5} x [ n ] = ( 2 ) − n μ [ n ] = ( 2 − 1 ) n μ [ n ] = ( 0 . 5 ) n μ [ n ] ⇔ z − 0 . 5 z x [ n − 1 ] μ [ n ] ⇔ 1 z X [ z ] + x [ − 1 ] = 1 z z z − 0 . 5 + 0 = 1 z − 0 . 5 x[n-1] \mu [n] \Leftrightarrow \frac{1}{z}X[z] +x[-1] = \frac{1}{z}\frac{z}{z-0.5} +0= \frac{1}{z-0.5} x [ n − 1 ] μ [ n ] ⇔ z 1 X [ z ] + x [ − 1 ] = z 1 z − 0 . 5 z + 0 = z − 0 . 5 1 x [ n − 2 ] μ [ n ] ⇔ 1 z 2 X [ z ] + 1 z x [ − 1 ] + x [ − 2 ] = x[n-2] \mu [n] \Leftrightarrow \frac{1}{z^2}X[z] + \frac{1}{z}x[-1] + x[-2] = x [ n − 2 ] μ [ n ] ⇔ z 2 1 X [ z ] + z 1 x [ − 1 ] + x [ − 2 ] = = 1 z 2 z z − 0 . 5 + ( 0 ) + ( 0 ) = 1 z ( z − 0 . 5 ) = \frac{1}{z^2} \frac{z}{z-0.5} + (0) + (0) = \frac{1}{z(z-0.5)} = z 2 1 z − 0 . 5 z + ( 0 ) + ( 0 ) = z ( z − 0 . 5 ) 1 en general, para una entrada causal
x [ n − r ] μ [ n ] ⇔ 1 z r X [ z ] x[n-r] \mu [n] \Leftrightarrow \frac{1}{z^r}X[z] x [ n − r ] μ [ n ] ⇔ z r 1 X [ z ] tomando los resultados anteriores y reemplazado en la ecuacion inicial, de tiene
Y [ z ] − 5 [ 1 z Y [ z ] + 1 1 6 ] + 6 [ 1 z 2 Y [ z ] + 1 z 1 1 6 + 3 7 3 6 ] = Y[z] - 5 \Bigg[ \frac{1}{z} Y[z] + \frac{11}{6}\Bigg] + 6 \Bigg[\frac{1}{z^2} Y[z] + \frac{1}{z}\frac{11}{6} +\frac{37}{36} \Bigg] = Y [ z ] − 5 [ z 1 Y [ z ] + 6 1 1 ] + 6 [ z 2 1 Y [ z ] + z 1 6 1 1 + 3 6 3 7 ] = = 3 1 z − 0 . 5 + 5 1 z ( z − 0 . 5 ) = 3\frac{1}{z-0.5}+5\frac{1}{z(z-0.5)} = 3 z − 0 . 5 1 + 5 z ( z − 0 . 5 ) 1 reagrupando términos Y[z] y reordenando,
( 1 − 5 1 z + 6 1 z 2 ) Y [ z ] + ( − 5 1 1 6 + 1 z 1 1 6 6 + 6 3 7 3 6 ) = \Bigg(1 - 5 \frac{1}{z} + 6 \frac{1}{z^2}\Bigg) Y[z] +\Bigg(-5\frac{11}{6}+ \frac{1}{z}\frac{11}{6}6 +6\frac{37}{36} \Bigg) = ( 1 − 5 z 1 + 6 z 2 1 ) Y [ z ] + ( − 5 6 1 1 + z 1 6 1 1 6 + 6 3 6 3 7 ) = = 3 1 z − 0 . 5 + 5 1 z ( z − 0 . 5 ) = 3\frac{1}{z-0.5}+5\frac{1}{z(z-0.5)} = 3 z − 0 . 5 1 + 5 z ( z − 0 . 5 ) 1 ( 1 − 5 1 z + 6 1 z 2 ) Y [ z ] + ( − 3 + 1 1 z ) = 3 1 z − 0 . 5 + 5 1 z ( z − 0 . 5 ) \Bigg(1 - 5 \frac{1}{z} + 6 \frac{1}{z^2}\Bigg) Y[z] + \Bigg(-3 + \frac{11}{z} \Bigg) = 3\frac{1}{z-0.5}+5\frac{1}{z(z-0.5)} ( 1 − 5 z 1 + 6 z 2 1 ) Y [ z ] + ( − 3 + z 1 1 ) = 3 z − 0 . 5 1 + 5 z ( z − 0 . 5 ) 1 ( 1 − 5 1 z + 6 1 z 2 ) Y [ z ] = − ( − 3 + 1 1 z ) + 3 1 z − 0 . 5 + 5 1 z ( z − 0 . 5 ) \Bigg(1 - 5 \frac{1}{z} + 6 \frac{1}{z^2}\Bigg) Y[z] = -\Bigg(-3 + \frac{11}{z} \Bigg) + 3\frac{1}{z-0.5}+5\frac{1}{z(z-0.5)} ( 1 − 5 z 1 + 6 z 2 1 ) Y [ z ] = − ( − 3 + z 1 1 ) + 3 z − 0 . 5 1 + 5 z ( z − 0 . 5 ) 1 En el lado derecho se muestran términos generados por una respuesta natural y una respuesta forzada. Dicho de otra forma, se muestran términos generados por las condiciones iniciales y por la señal x[n].
reagrupando el lado derecho en forma de numerador y denominador
( 1 − 5 1 z + 6 1 z 2 ) Y [ z ] = 3 z 2 − 9 . 5 z + 1 0 . 5 z ( z − 0 . 5 ) \Bigg(1 - 5 \frac{1}{z} + 6 \frac{1}{z^2}\Bigg) Y[z] = \frac{3z^2 -9.5z +10.5}{z(z-0.5)} ( 1 − 5 z 1 + 6 z 2 1 ) Y [ z ] = z ( z − 0 . 5 ) 3 z 2 − 9 . 5 z + 1 0 . 5 se puede reescribir, multiplicando cada lado por z2
z 2 ( 1 − 5 1 z + 6 1 z 2 ) Y [ z ] = z 2 [ 3 z 2 − 9 . 5 z + 1 0 . 5 z ( z − 0 . 5 ) ] z^2\Bigg(1 - 5 \frac{1}{z} + 6 \frac{1}{z^2}\Bigg) Y[z] = z^2 \Bigg[\frac{3z^2 -9.5z +10.5}{z(z-0.5)} \Bigg] z 2 ( 1 − 5 z 1 + 6 z 2 1 ) Y [ z ] = z 2 [ z ( z − 0 . 5 ) 3 z 2 − 9 . 5 z + 1 0 . 5 ] ( z 2 − 5 z + 6 ) Y [ z ] = z ( 3 z 2 − 9 . 5 z + 1 0 . 5 ) ( z − 0 . 5 ) (z^2 - 5 z + 6) Y[z] = \frac{z(3z^2 -9.5z +10.5)}{(z-0.5)} ( z 2 − 5 z + 6 ) Y [ z ] = ( z − 0 . 5 ) z ( 3 z 2 − 9 . 5 z + 1 0 . 5 ) Y [ z ] = z ( 3 z 2 − 9 . 5 z + 1 0 . 5 ) ( z − 0 . 5 ) ( z 2 − 5 z + 6 ) Y[z] = \frac{z(3z^2 -9.5z +10.5)}{(z-0.5)(z^2 - 5 z + 6)} Y [ z ] = ( z − 0 . 5 ) ( z 2 − 5 z + 6 ) z ( 3 z 2 − 9 . 5 z + 1 0 . 5 ) se aplica fracciones parciales, usando el algoritmo de la sección Transformada z-fracciones parciales
Y [ z ] = 2 6 1 5 z z − 0 . 5 − 7 3 z z − 2 + 1 8 5 z z − 3 Y[z] = \frac{26}{15}\frac{z}{z-0.5} - \frac{7}{3}\frac{z}{z-2} + \frac{18}{5}\frac{z}{z-3} Y [ z ] = 1 5 2 6 z − 0 . 5 z − 3 7 z − 2 z + 5 1 8 z − 3 z usando la tabla de transformadas z , se obtiene como respuesta en el tiempo discreto
y [ n ] = [ 2 6 1 5 ( 0 . 5 ) n − 7 3 ( 2 ) n + 1 8 5 ( 3 ) n ] μ [ n ] y[n] = \Bigg[ \frac{26}{15}(0.5)^n - \frac{7}{3}(2)^n + \frac{18}{5}(3)^n \Bigg] \mu [n] y [ n ] = [ 1 5 2 6 ( 0 . 5 ) n − 3 7 ( 2 ) n + 5 1 8 ( 3 ) n ] μ [ n ]
