Ejercicio 1Eva2016TII_T3 LTI DT Sistema 1er orden con constante a
A partir del diagrama se tiene que:
literal a.1 ecuación que relaciona entrada-salida
El sistema es discreto de primer orden,
y [ n ] = x [ n ] + a y [ n − 1 ] y[n] = x[n] + a y[n-1] y [ n ] = x [ n ] + a y [ n − 1 ] y [ n ] − a y [ n − 1 ] = x [ n ] y[n] - a y[n-1] = x[n] y [ n ] − a y [ n − 1 ] = x [ n ] literal a.2 Respuesta al impulso
Para la respuesta de impulso se escribe la expresión en notación de operador E, con x[n]=δ[n]
y [ n + 1 ] − a y [ n ] = x [ n + 1 ] y[n+1] - a y[n] = x[n+1] y [ n + 1 ] − a y [ n ] = x [ n + 1 ] E y [ n ] − a y [ n ] = E x [ n ] Ey[n] - a y[n] = E x[n] E y [ n ] − a y [ n ] = E x [ n ] ( E − a ) y [ n ] = E x [ n ] (E -a) y[n] = E x[n] ( E − a ) y [ n ] = E x [ n ] para determinan las raíces del Q[E]
Q [ E ] = ( γ − a ) = 0 Q[E] = (\gamma-a) = 0 Q [ E ] = ( γ − a ) = 0 γ = a \gamma = a γ = a que establece la ecuación
y c [ n ] = c 1 a n y_c[n] = c_1 a^n y c [ n ] = c 1 a n Para encontrar el valor de la constante se evalua la expresión del sistema con n=0, teniendo en cuenta que la ecuación general de respuesta a impulso:
h [ n ] = b N a N δ ( n ) + y c [ n ] μ [ n ] h[n] = \frac{b_N}{a_N} \delta (n) + y_c[n] \mu [n] h [ n ] = a N b N δ ( n ) + y c [ n ] μ [ n ] h [ n ] = y c [ n ] μ [ n ] = c 1 a n μ [ n ] h[n] = y_c[n] \mu [n] = c_1 a^n \mu [n] h [ n ] = y c [ n ] μ [ n ] = c 1 a n μ [ n ] y [ n ] = x [ n ] + a y [ n − 1 ] y[n] = x[n] +a y[n-1] y [ n ] = x [ n ] + a y [ n − 1 ] h [ n ] = δ [ n ] + a h [ n − 1 ] h[n] = \delta [n] +a h[n-1] h [ n ] = δ [ n ] + a h [ n − 1 ] h [ 0 ] = δ [ 0 ] + a h [ 0 − 1 ] h[0] = \delta [0] +a h[0-1] h [ 0 ] = δ [ 0 ] + a h [ 0 − 1 ] El sistema es causal si para n<0 los valores son cero, h[-1] =0
h [ 0 ] = 1 + a ( 0 ) = 1 h[0] = 1 +a (0) = 1 h [ 0 ] = 1 + a ( 0 ) = 1 con lo que par encontrar la constante c1 ,
h [ 0 ] = 1 = c 1 a 0 μ [ 0 ] = c 1 ( 1 ) ( 1 ) = c 1 h[0] = 1 = c_1 a^0 \mu [0] =c_1 (1)(1) = c_1 h [ 0 ] = 1 = c 1 a 0 μ [ 0 ] = c 1 ( 1 ) ( 1 ) = c 1 la constante c1 =1, quedando com respuesta a impulso:
h [ n ] = a n μ [ n ] h[n] = a^n \mu [n] h [ n ] = a n μ [ n ] literal a.3 Respuesta de paso
s [ n ] = ∑ k = − ∞ n h [ k ] = ∑ k = − ∞ n a k μ [ k ] s[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} h[k] = \sum_{k=-\infty}^{n} a^k \mu [k] s [ n ] = k = − ∞ ∑ n h [ k ] = k = − ∞ ∑ n a k μ [ k ] Siendo:
∑ k = 0 n α k = 1 − α n + 1 1 − α μ [ n ] \sum_{k=0}^{n} \alpha^k = \frac{1-\alpha^{n+1}}{1-\alpha} \mu [n] k = 0 ∑ n α k = 1 − α 1 − α n + 1 μ [ n ] se tiene que:
s [ n ] = 1 − a n + 1 1 − a μ [ n ] s[n] = \frac{1-a^{n+1}}{1-a} \mu [n] s [ n ] = 1 − a 1 − a n + 1 μ [ n ] Solución alterna
s [ n ] = h [ n ] ⊛ μ [ n ] s[n] = h[n] \circledast \mu [n] s [ n ] = h [ n ] ⊛ μ [ n ] usando la tabla de convolucion discreta:
= ∑ k = − ∞ ∞ a k μ [ k ] μ [ n − k ] = ∑ k = 0 n a k = \sum_{k=- \infty}^{\infty} a^k \mu[k] \mu[n-k] = \sum_{k=0}^{n} a^k = k = − ∞ ∑ ∞ a k μ [ k ] μ [ n − k ] = k = 0 ∑ n a k s [ n ] = 1 − a n + 1 1 − a μ [ n ] s[n] = \frac{1-a^{n+1}}{1-a} \mu [n] s [ n ] = 1 − a 1 − a n + 1 μ [ n ] literal b.
dado que h[n] no es de la forma k δ[n], el sistema es con memoria.
Si las raíces características, valores característicos o frecuencias naturales de un sistema, se encuentran dentro del círculo de radio unitario, el sistema es asintóticamente estable e implica que es BIBO estable.
h[n] = an μ[n] el sistema es de tipo IIR.
literal c. Sistema inverso
h [ n ] ⊛ h i n v = δ [ n ] h[n] \circledast h_{inv} = \delta[n] h [ n ] ⊛ h i n v = δ [ n ] y [ n ] = x [ n ] + a y [ n − 1 ] y[n] = x[n] + a y[n-1] y [ n ] = x [ n ] + a y [ n − 1 ] h [ n ] = δ [ n ] + a h [ n − 1 ] h[n] = \delta[n] + a h[n-1] h [ n ] = δ [ n ] + a h [ n − 1 ] h [ n ] − a h [ n − 1 ] = δ [ n ] h[n] - a h[n-1] = \delta[n] h [ n ] − a h [ n − 1 ] = δ [ n ] h [ n ] ⊛ δ [ n ] − a h [ n ] ⊛ δ [ n − 1 ] = δ [ n ] h[n] \circledast \delta [n] - a h[n] \circledast \delta [n-1] = \delta[n] h [ n ] ⊛ δ [ n ] − a h [ n ] ⊛ δ [ n − 1 ] = δ [ n ] h [ n ] ⊛ ( δ [ n ] − a δ [ n − 1 ] ) = δ [ n ] h[n] \circledast (\delta [n] - a \delta [n-1]) = \delta[n] h [ n ] ⊛ ( δ [ n ] − a δ [ n − 1 ] ) = δ [ n ] h i n v [ n ] = ( δ [ n ] − a δ [ n − 1 ] ) = δ [ n ] h_{inv}[n] = (\delta [n] - a \delta [n-1]) = \delta[n] h i n v [ n ] = ( δ [ n ] − a δ [ n − 1 ] ) = δ [ n ] h[n] no es de la forma k δ[n], por lo que el sistema inverso es con memoria.
h[n]=0 para n<0, se entiende que el sistema inverso es Causal.
La respuesta impulso del sistema inverso es absolutamente sumable o convergente, por lo que el sistema es BIBO estable.
la forma de hinv [n] el sistema es de tipo FIR.
literal d. Diagrama de bloques del sistema inverso
El diagrama del sistema inverso sería:
