Ejercicio : 2Eva2009TII_T2 LTI DT Dado h[n], y[n] determine X[n]
literal a. Expresión de x[n]
Con los datos de h[n] y y[n], se obtienen las transformadas H[z] y Y[z],
h [ n ] = 2 ( 1 3 ) n μ [ n − 1 ] = 2 ( 1 3 ) 1 ( 1 3 ) − 1 ( 1 3 ) n μ [ n − 1 ] h[n] = 2 \Big( \frac{1}{3} \Big)^n \mu [n-1] = 2 \Big( \frac{1}{3} \Big)^1\Big( \frac{1}{3} \Big)^{-1}\Big( \frac{1}{3} \Big)^n \mu [n-1] h [ n ] = 2 ( 3 1 ) n μ [ n − 1 ] = 2 ( 3 1 ) 1 ( 3 1 ) − 1 ( 3 1 ) n μ [ n − 1 ] h [ n ] = 2 3 ( 1 3 ) n − 1 μ [ n − 1 ] h[n] = \frac{2}{3} \Big( \frac{1}{3} \Big)^{n-1} \mu [n-1] h [ n ] = 3 2 ( 3 1 ) n − 1 μ [ n − 1 ] la transformada z es:
H [ z ] = 2 3 1 z − 1 3 H[z] = \frac{2}{3} \frac{1}{z-\frac{1}{3}} H [ z ] = 3 2 z − 3 1 1 Para la señal de salida Yc[z] conocida :
y c [ n ] = ( − 2 ) n μ [ n − 1 ] = ( − 2 ) 1 ( − 2 ) n − 1 μ [ n − 1 ] y_c[n] = (-2)^{n} \mu [n-1] = (-2)^1(-2)^{n-1} \mu [n-1] y c [ n ] = ( − 2 ) n μ [ n − 1 ] = ( − 2 ) 1 ( − 2 ) n − 1 μ [ n − 1 ] y c [ n ] = − 2 ( − 2 ) n − 1 μ [ n − 1 ] y_c[n] = -2 (-2)^{n-1} \mu [n-1] y c [ n ] = − 2 ( − 2 ) n − 1 μ [ n − 1 ] la transformada z es:
Y c [ z ] = − 2 1 z + 2 Y_c[z] = -2\frac{1}{z+2} Y c [ z ] = − 2 z + 2 1 La señal de entrada x[n]
x [ n ] = a δ [ n ] + b ( c ) n − 1 μ [ n − 1 ] x[n] = a\delta [n] + b (c)^{n-1} \mu [n-1] x [ n ] = a δ [ n ] + b ( c ) n − 1 μ [ n − 1 ] X [ z ] = a + b 1 z − c X[z] = a + b \frac{1}{z-c} X [ z ] = a + b z − c 1 La señal de salida Y[z] esperada en dominio z se obtiene como Y[z] = H[z]X[z], la expresión se escribe como:
y e [ z ] = [ 2 3 1 z − 1 3 ] [ a + b 1 z − c ] y_e [z] = \Bigg[\frac{2}{3} \frac{1}{z-\frac{1}{3}}\Bigg] \Bigg[a + b \frac{1}{z-c}\Bigg] y e [ z ] = [ 3 2 z − 3 1 1 ] [ a + b z − c 1 ] = 2 3 [ a z − 1 3 + b ( z − c ) ( z − 1 3 ) ] = \frac{2}{3} \Bigg[\frac{a}{z-\frac{1}{3}} + \frac{b}{(z-c)(z-\frac{1}{3})}\Bigg] = 3 2 [ z − 3 1 a + ( z − c ) ( z − 3 1 ) b ] = 2 3 [ a ( z − c ) + b ( z − c ) ( z − 1 3 ) ] = \frac{2}{3} \Bigg[\frac{a(z-c) + b}{(z-c)(z-\frac{1}{3})}\Bigg] = 3 2 [ ( z − c ) ( z − 3 1 ) a ( z − c ) + b ] y e [ z ] = 2 3 [ a ( z − c ) + b ( z − c ) ( z − 1 3 ) ] = 2 3 [ a z − a c + b ( z − c ) ( z − 1 3 ) ] y_e [z] = \frac{2}{3} \Bigg[\frac{a(z-c) + b}{(z-c)(z-\frac{1}{3})}\Bigg] = \frac{2}{3} \Bigg[\frac{az - ac + b}{(z-c)(z-\frac{1}{3})}\Bigg] y e [ z ] = 3 2 [ ( z − c ) ( z − 3 1 ) a ( z − c ) + b ] = 3 2 [ ( z − c ) ( z − 3 1 ) a z − a c + b ] igualando las expresiones con Y[z] conocida con Y[z] esperada :
Y c [ z ] = Y e [ z ] Y_c[z] = Y_e[z] Y c [ z ] = Y e [ z ] − 2 1 z + 2 = 2 3 [ a z − a c + b ( z − c ) ( z − 1 3 ) ] -2\frac{1}{z+2} = \frac{2}{3} \Bigg[ \frac{az - ac + b}{(z-c)(z-\frac{1}{3})} \Bigg] − 2 z + 2 1 = 3 2 [ ( z − c ) ( z − 3 1 ) a z − a c + b ] − 3 1 z + 2 = a z − a c + b ( z − c ) ( z − 1 3 ) -3\frac{1}{z+2} = \frac{az - ac + b}{(z-c)(z-\frac{1}{3})} − 3 z + 2 1 = ( z − c ) ( z − 3 1 ) a z − a c + b para que el denominador quede (z+2), se iguala el término con (z-c), con lo que c=-2
− 3 1 z + 2 = a z − a ( − 2 ) + b ( z + 2 ) ( z − 1 3 ) -3\frac{1}{z+2} = \frac{az-a(-2) + b}{(z+2)(z-\frac{1}{3})} − 3 z + 2 1 = ( z + 2 ) ( z − 3 1 ) a z − a ( − 2 ) + b − 3 = a z + 2 a + b ( z − 1 3 ) -3 = \frac{az+2a + b}{(z-\frac{1}{3})} − 3 = ( z − 3 1 ) a z + 2 a + b − 3 ( z − 1 3 ) = a z + 2 a + b -3 (z-\frac{1}{3}) = az +2a + b − 3 ( z − 3 1 ) = a z + 2 a + b − 3 z + 1 = a z + 2 a + b -3 z + 1 = az + 2a + b − 3 z + 1 = a z + 2 a + b comparando el término z, se tiene que a=-3, quedando solo la parte constante para determinar el valor de b
2 a + b = 1 2a + b = 1 2 a + b = 1 2 ( − 3 ) + b = 1 2(-3) + b = 1 2 ( − 3 ) + b = 1 se tiene que b= 7
teniendo la expresión de la entrada como:
x [ n ] = − 3 δ [ n ] + 7 ( − 2 ) n − 1 μ [ n − 1 ] x[n] = -3\delta [n] + 7 (-2)^{n-1} \mu [n-1] x [ n ] = − 3 δ [ n ] + 7 ( − 2 ) n − 1 μ [ n − 1 ] literal b. Ecuacion de diferencias H[z]
Se inicia con los datos de H[z]
H [ z ] = X [ z ] Y [ z ] = 2 3 1 z − 1 3 H[z] = \frac{X[z]}{Y[z]} = \frac{2}{3} \frac{1}{z-\frac{1}{3}} H [ z ] = Y [ z ] X [ z ] = 3 2 z − 3 1 1 ( z − 1 3 ) Y [ z ] = 2 3 X [ z ] \Big(z-\frac{1}{3} \Big) Y[z] = \frac{2}{3}X[z] ( z − 3 1 ) Y [ z ] = 3 2 X [ z ] z Y [ z ] − 1 3 Y [ z ] = 2 3 X [ z ] zY[z]-\frac{1}{3} Y[z] = \frac{2}{3}X[z] z Y [ z ] − 3 1 Y [ z ] = 3 2 X [ z ] y [ n + 1 ] − 1 3 y [ n ] = 2 3 x [ n ] y[n+1]-\frac{1}{3} y[n] = \frac{2}{3}x[n] y [ n + 1 ] − 3 1 y [ n ] = 3 2 x [ n ] literal c. Diagrama de bloques
Para el diagrama de bloques se desplaza para despejar y[n]
y [ n ] − 1 3 y [ n − 1 ] = 2 3 x [ n − 1 ] y[n]-\frac{1}{3} y[n-1] = \frac{2}{3}x[n-1] y [ n ] − 3 1 y [ n − 1 ] = 3 2 x [ n − 1 ] y [ n ] = 1 3 y [ n − 1 ] + 2 3 x [ n − 1 ] y[n]= \frac{1}{3} y[n-1] + \frac{2}{3}x[n-1] y [ n ] = 3 1 y [ n − 1 ] + 3 2 x [ n − 1 ]
H [ z ] = X [ z ] Y [ z ] = 2 3 1 z − 1 3 H[z] = \frac{X[z]}{Y[z]} = \frac{2}{3} \frac{1}{z-\frac{1}{3}} H [ z ] = Y [ z ] X [ z ] = 3 2 z − 3 1 1 Observaciones:
Las raíces características o frecuencias naturales del sistema H[z] se encuentran dentro del círculo de radio unitario. El sistema es asintóticamente estable, que implica que es BIBO estable.
