1.4 Polinomio de Taylor – Ejemplos con Sympy-Python

Ejemplo: [ 1. cos(x) con Taylor ] [ 2. raíz() con Taylor ]
..

Ejemplo 1. Polinomio de Taylor para cos(x)

Referencia: Burden 7Ed Capítulo 1.1 ejemplo 3 p11, 10Ed ejemplo 3 p8. Chapra, 4.1 p80. Taylor Series (Wikipedia)

Para la siguiente función trigonométrica f(x), alrededor de x₀=0, encontrar :

f(x) = \cos (x)

a) el segundo polinomio de Taylor (n=2),
b) el tercer polinomio de Taylor (n=3), para aproximar cos(0.01)
c) con el resultado anterior y su término residuo aproximar

\int_{0}^{0.1} \cos(x) dx

1.1 Desarrollo analítico

Para el polinomio de Taylor se tiene que:

P_{n}(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k

P_{n}(x) = f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!} (x-x_0) +

+ \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +

+ \frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 + \text{...}

Para la expresión completa, se desarrollan las derivadas y se se evalua cada expresión en x₀ = 0, como se muestra a continuación

f(x) = cos(x)	f(0) = 1
f'(x) = -sen(x)	f'(0) = 0
f”(x) = -cos(x)	f”(0) = -1
f’”(x) = sen(x)	f’”(0) = 0
f⁴(x) = cos(x)	f⁴(0) = 1

En el literal a) para n=2 y x₀=0:

\cos (x) = 1 + \frac{0}{1} (x-0) + \frac{-1}{2}(x-0)^2 +

+\frac{\sin(\xi(x))}{6}(x-0)^3

A la expresión se añade un término más para estimar el error, como residuo o error de truncamiento, evaluado en ξ(x).

\cos (x) = 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{\sin(\xi(x))}{6}x^3

con lo que si x=0.01

\cos (0.01) = 1 - \frac{1}{2}(0.01)^2 + \frac{1}{6}(0.01)^3 \sin(\xi(x))

= 0.99995 + 0.16 \text{x} 10^{-6} \sin(\xi(x))

El término del error es es del orden 10^-6, la aproximación coincide por lo menos con los cinco primeros dígitos.

El residuo o error de truncamiento ξ(x) está entre 0 y x,

0<ξ(x) <0.01

Observe que los términos impares evaluados en x₀=0 se anulan, por lo que el polinomio solo cambia con términos pares.

Tarea: revisar y continuar con los siguientes literales.

1.2 Desarrollo Algorítmico con Sympy-Python

Una forma de obtener los polinomios de Taylor es crear una función que resuelva el polinomio. Para el algoritmo, usar la forma simbólica es una opción para crear la expresión.

Por facilidad se usan funciones matemáticas expresadas de forma simbólica con Sympy, con lo que se obtiene las derivadas y se crea el polinomio para el grado requerido.

De ser necesario, revisar los conceptos para Sympy en:

Sympy – Fórmulas y funciones simbólicas

Algoritmo para construir el polinomio de Taylor de grado n

El algoritmo usa la forma simbólica de la expresión para crear el polinomio.

El procedimiento consiste en crear cada término k-ésimo y añadirlo a la expresión del polinomio. Al final se presenta solo la expresión del polinomio

# Aproximación Polinomio de Taylor alrededor de x0
# f(x) en forma simbólica con sympy
# Burden 7Ed Capítulo 1.1 Ejemplo 3.p11,pdf21;9Ed p11.

import numpy as np
import sympy as sym

# INGRESO
x  = sym.Symbol('x')
fx = sym.cos(x) 
muestras = 51
x0 = 0
grado = 2       # grado>0
n  = grado + 1  # Términos de polinomio

# PROCEDIMIENTO

k = 0 # contador de términos
polinomio = 0
while (k < n):
    derivada   = fx.diff(x,k)
    derivadax0 = derivada.subs(x,x0)
    divisor   = np.math.factorial(k)
    terminok  = (derivadax0/divisor)*(x-x0)**k
    polinomio = polinomio + terminok
    k = k + 1

# SALIDA
print(polinomio)

un ejemplo de ejecución del algoritmo con n=3:

1 - x**2/2

Para una interpretación gráfica del resultado, luego el polinomio se evalúa en el intervalo [a, b] que incluya x₀.

Ejemplo: [ 1. cos(x) con Taylor ] [ 2. raíz() con Taylor ]
..

Ejemplo 2. Polinomio de Taylor y el error de aproximación

Referencia: Burden 7Ed cap 1.1 Ejercicio 8. Burden 10Ed p8

Obtenga el tercer polinomio de Taylor P₃(x) para la función f(x), alrededor de x₀=0.

f(x) = \sqrt{x+1}

Aproxime el resultado para x=0.5, 0.75, 1.25 y 1.75 usando P₃(x) y calcule los errores reales.

2.1 Desarrollo analítico

Las instrucciones piden calcular los errores reales como la diferencia entre f(x) y el polinomio de Taylor p(x).

Usando los pasos del ejemplo01, se determina el polinomio de Taylor con n=3. Verifique su respuesta con el polinomio mostrado y calcula los valores de la tabla:

P_3(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8} x^2 +\frac{1}{16} x^3

x	P₃(x)	$\sqrt{x+1}$	\|diferencia ó error\|
0.5	1.22656250000000	1.22474487139159	0.00181762860841106
0.75
1.25
1.5

Realice las observaciones a los resultados obtenidos.

Al graficar los valores de la tabla, se puede observar que al alejarse x del punto de referencia x₀, el error aumenta. El error se marca en amarillo entre las curvas f(x) y el polinomio p(x).

2.2 Desarrollo algorítmico como función, instrucciones en Python

Puede reutilizar la función del polinomio de Taylor con la fórmula simbólica usada en el Ejemplo01

A partir del algoritmo básico, se convierte el procedimiento a una función def-return. Con la función politaylor() se crea el polinomio y se evalúa para calcular el error respecto al valor real de la expresión.

# Aproximación Polinomio de Taylor alrededor de x0
# función en forma simbólica con sympy

import numpy as np
import sympy as sym

# Calcula n términos del polinomio de Taylor
# funcionx es simbólica
def politaylor(fx,x0,n):
    k = 0
    polinomio = 0
    while (k <= n):
        derivada   = fx.diff(x,k)
        derivadax0 = derivada.subs(x,x0)
        divisor   = np.math.factorial(k)
        terminok  = (derivadax0/divisor)*(x-x0)**k
        polinomio = polinomio + terminok
        k = k + 1
    return(polinomio)


# PROGRAMA  -------------
# Capitulo 1.1 Ejecicio 8, Burden p15, pdf 25
# Calcule el error con polinomio Taylor grado 3

# INGRESO
# variable x es simbólica
x = sym.Symbol('x')
fx = sym.sqrt(x+1)

x0 = 0 
xi = 0.5 # donde se evalua el polinomio
n  = 3

# PROCEDIMIENTO

# Referencia, f(xi) real
fxi = fx.subs(x,xi)

# Aproximado con Taylor
polinomio = politaylor(fx,x0,n)
pxi = polinomio.subs(x,xi)

error_real = fxi - pxi

# SALIDA
print(' Taylor:     ', polinomio)
print(' xi:         ', xi)
print(' estimado  : ', pxi)
print(' real:       ', fxi)
print(' error real: ', error_real)

cuyo resultado para xi=0.5 es:

 Taylor:      x**3/16 - x**2/8 + x/2 + 1
 xi:          0.5
 estimado  :  1.22656250000000
 real:        1.22474487139159
 error real:  -0.00181762860841106

complete la tabla usando también el algoritmo en Python

2.3 Gráfica del Error entre f(x) y p(x)

Esta es una sección complementaria para realizar la gráfica mostrada en el ejemplo. Requiere el uso de la librería matplotlib. Puede revisar la sección de Recursos/Resumen Python/Gráficas 2D de línea para más detalles.

Para evaluar en el intervalo se requiere convertir las expresiones simbólicas a la forma numérica lambda: fxn, pxn
Para la gráfica, se usa el intervalo [a,b] con las muestras necesarias para una buena resolución de imagen. Se obtiene el vector xin
Se evalúa fxn y pxn en el intervalo, obteniendo los valores en los vectores: fxni y pxni.
Se realiza la gráfica entre xin vs fxni y pxni
Para destacar el error de truncamiento, se rellena el espacio en color amarillo entre fxni y pxni, usando plt.fill_between() .
Para resaltar x0, se traza una línea vertical.

# cambia a forma lambda
fxn = sym.lambdify(x,fx,'numpy')
pxn = sym.lambdify(x,polinomio,'numpy')

# intervalo usando xi como referencia
a = x0        # izquierda
b = x0 + 3*xi # derecha
muestras = 51

# evaluar en intervalo
xin = np.linspace(a,b,muestras)
fxni = fxn(xin)
pxni = pxn(xin)

# Gráfica
plt.plot(xin,fxni,label='f(x)')
plt.plot(xin,pxni,label='p(x)')

plt.fill_between(xin,pxni,fxni,color='yellow')
plt.axvline(x0,color='green')

plt.title('Polinomio Taylor: f(x) vs p(x)')
plt.legend()
plt.xlabel('xi')
plt.show()

Ejemplo: [ 1. cos(x) con Taylor ] [ 2. raíz() con Taylor ]