Curso con Python – MATG1052-FCNM-ESPOL
Tema 4 (10 puntos) Para la expresión mostrada, realice la integración por el método de cuadratura de Gauss de dos puntos. Use al menos dos tramos en el intervalo mostrado.
a. Planteamiento del ejercicio usando dos tramos
b. Expresiones y valores completos
c. Resultados de la expresión
Rúbrica: literal a (2 puntos), literal b (5 puntos), literal c (3 puntos)
Referencia: en Tema 1. Revisar imagen en tema 2
Tema 3 (30 puntos) El efecto Allee es un proceso biológico identificado en la década de 1930 que describe por una correspondencia entre la densidad o el tamaño de la población y la aptitud física individual media.
Se cree que es muy común y se produce en regiones escasamente pobladas. Poblaciones muy pequeñas pueden tener dificultades para defenderse de los depredadores, encontrar pareja o localizar comida.
Donde r = 0.7 es la tasa intrínseca de crecimiento, A=50 es la capacidad de alojamiento del medio, y K=10 es una constante que representa el valor mínimo de la población por debajo del cual se extingue.
a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden.
b. Desarrolle tres iteraciones para x(t) con tamaño de paso h=0.2, con expresiones completas y valores usados.
c. Realice una observación sobre el crecimiento de población x(t), a lo largo del tiempo usando los resultados del literal c.
d. Opcional Adjunte los resultado.txt y gráfica.png realizadas con el algoritmo.py
Rúbrica: literal a (8 puntos), literal b (15 puntos), literal c (7 puntos), literal d (5 puntos).
Referencia: [1] Ecuaciones diferenciales y dinámica de poblaciones. Dpto de Análisis matemático- Universidad de Granada. página3. Revisado en enero 2025. https://www.ugr.es/~fjperez/textos/Tema_6_EEDD_y_Dinamica_de_Poblaciones.pdf
[2] Allee Effect. Wikipedia. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Allee_effect
[3] How the Allee Effect hurts endangered populations | Mongabay Explains. Mongabay. 10 abril 2020.
Tema 2 (25 puntos) 
En vuelo nocturno, un helicóptero debe pasar por los puntos de referencia (xi,yi) mostrados.
El vuelo se realiza de forma semejante a lo descrito en el tema anterior con altura zi constante y bajo el control del piloto.
xi = [0. , 2.50, 3.75, 5.00, 6.25, 7.5 ] yi = [3.7 , 3.25, 4.05, 4.33, 2.95, 3.22]
a. Plantee y desarrolle un polinomio P3(x) de grado 3, que describa la trayectoria para y(x) en todo intervalo. Las expresiones y tablas para el desarrollo deben ser completas mostrando los valores usados.
b. Verifique que P(x) pase por los puntos seleccionados de la muestra.
c. Calcule el error sobre el o los datos que no se usaron en el intervalo.
d. Escriba sus conclusiones y recomendaciones sobre los resultados obtenidos.
e. Encuentre el valor del error usando la expresión para y(x) dada en el tema 1 y P(5),
f. Opcional: Adjunte los archivos en aula virtual para: gráfica.png de P(x), resultados.txt con el algoritmo.py
Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (4 puntos), literal c (5 puntos), literal d (6 puntos), literal f (5 puntos) por considerar en calificación total.
Referencia: en Tema 1
Tema 1 (35 puntos)
Durante el procedimiento automático de aterrizaje nocturno de un avión comercial, un helicóptero se desplazaba en vuelo bajo cerca de las riberas del río en los límites del aeropuerto.
Lamentablemente se produjo una colisión entre las aeronaves.
Para un análisis del accidente de dispone de las trayectorias de las aeronaves descritas según las ecuaciones siguientes:
| Avión | Helicóptero |
| Ax(t) = 5.1 | Hx(t) = 0.5t |
| Ay(t) = 0.4t | Hy(t) = sin(0.1t)cos(0.7t)+3.7 |
| Hz(t) = 0.36 |
a. Plantear el ejercicio para encontrar el tiempo t cuando la distancia entre aeronaves es mínima.
b. Muestre y verifique el intervalo de tiempo para la búsqueda [a,b].
c. Desarrolle al menos tres iteraciones usando uno de los métodos para encontrar raíces de ecuaciones. En cada iteración, las expresiones deben ser completas, con los valores correspondientes.
d. Indique y describa la tolerancia usada y el error en cada iteración.
e. Justifique la convergencia del método. ¿Qué puede interpretar sobre los valores de distancia mínima?
f. Opcional: Encuentre las coordenadas de choque entre las dos aeronaves, muestre la gráfica de y(t), los resultados.txt con el algoritmo. Adjunte los archivos en aula virtual.
Nota: Un avión comercial mide aproximadamente 70 m de longitud, 65 m de envergadura, altura de 19 m. Un helicóptero semejante al del caso tiene longitud de 11 metros y diámetro de rotor principal 13 metros, altura de 4 m.
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (15 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos), literal f, considerar en calificación total.
Referencia: [1] ¿Por qué chocaron el avión y el helicóptero en Washington? Esto dicen las investigaciones hasta ahora. CNN. https://cnnespanol.cnn.com/2025/01/31/eeuu/choque-avion-helicoptero-investigaciones-trax
[2] How the Washington DC plane crash unfolded. Guardian News. 31 Enero 2025. https://www.youtube.com/watch?v=ZEKwbyo61W8
[3] Examining the Minutes Before the D.C. Air Disaster | Visual Investigation. The New York Times. 5 Febrero 2025.
[4] Plane Crash with Black Hawk Helicopter Explained. AiTelly. 30 Enero 2025.
Tema 3. (35 puntos) Para el salto del Bungee y la tabla del ejercicio del tema 2, realice el sistema de ecuaciones para el polinomio de interpolación usando los tiempos en el vector ts = [0, 0.75,1.375, 2.55]
| ti | vi |
|---|---|
| 0 | 0.0000 |
| 0.25 | 2.4479 |
| 0.5 | 4.8849 |
| 0.75 | 7.3001 |
| 1 | 9.6832 |
| 1.375 | 13.1763 |
| 1.75 | 16.5451 |
| 2.125 | 19.7641 |
| 2.4 | 22.0193 |
| 2.55 | 23.2075 |
Rúbrica: Planteamiento (5 puntos), Matriz aumentada y pivoteada (5 puntos), iteraciones(15 puntos), error por iteración (5 puntos), literal d (5 puntos)
Tema 2. (30 puntos) 
Para el salto del Bungee del ejercicio del tema anterior se toman lecturas con un sensor de velocidad sujetado a la persona.
De la tabla de datos obtenida, se observa que los tamaños de paso en tiempo no siempre son equidistantes.
Se requiere encontrar un polinomio interpolación de al menos grado 3.
| ti | vi |
|---|---|
| 0 | 0.0000 |
| 0.25 | 2.4479 |
| 0.5 | 4.8849 |
| 0.75 | 7.3001 |
| 1 | 9.6832 |
| 1.375 | 13.1763 |
| 1.75 | 16.5451 |
| 2.125 | 19.7641 |
| 2.4 | 22.0193 |
| 2.55 | 23.2075 |
a. Describa el planteamiento del ejercicio, selección de puntos, expresiones usando el método de Lagrange.
b. Resuelva el sistema usando los algoritmos correspondientes.
c. Presente el polinomio obtenido, simplificado y grafique verificando que P(x) pase por los puntos de muestra.
d. Use el resultado P(x) para estimar el error con los valores de vi que no fueron usados para la interpolación.
e. Adjunte los archivos para algoritmo.py, resultados.txt y grafica.png
Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (5 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)
Referencia: Chapra. capítulo 28. Ejercicio 28.41 p852.
Tema 1. (35 puntos) 
La ecuación diferencial para la velocidad de alguien que practica el salto del bungee es diferente según si el saltador ha caído una distancia en la que la cuerda está extendida por completo y comienza a estirarse o encogerse.
Si la distancia recorrida es menor que la longitud de la cuerda, el saltador sólo está sujeto a las fuerzas gravitacional y de arrastre de la cuerda.
Suponga que las condiciones iniciales son:
y(0) =0
Una vez que la cuerda comienza a estirarse, también deben incluirse las fuerzas del resorte y del amortiguamiento de la cuerda.
| dy/dt | m/s | velocidad (v) |
| t | s | tiempo |
| g | 9.8 m/s2 | gravedad |
| cd | 0.25 kg/m | coeficiente de arrastre |
| m | 68.1 Kg | masa |
| L | 30 m | Longitud de la cuerda |
| k | 40 N/m | constante de resorte de la cuerda |
| γ | 8 N s/m | coeficiente de amortiguamiento de la cuerda |
| signo(v) | función que devuelve –1, 0 y 1, para v negativa, cero y positiva, respectivamente | |
En conocimiento que la primera ecuación es válida solo hasta tc=2.55, L=30mts, v= 23.20752.
Encuentre el tiempo td cuando se alcanza la longitud MÁXIMA de la cuerda extendida y estirada por completo, es decir y>L, con velocidad = 0. (solo 2da ecuación)
a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden
b. Desarrolle tres iteraciones para y(t) con tamaño de paso h=0.5
c. Usando el algoritmo, aproxime la solución para y en el intervalo entre [0,tc], adjunte sus resultados.txt
d. Indique el valor de td, muestre cómo mejorar la precisión y realice sus observaciones sobre los resultados.
Observación: dy/dt = v, función signo(v) en Numpy:np.sign(v)
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c resultados.txt y grafica.png (10 puntos), literal d (5 puntos),
Referencia: [1] Chapra. capítulo 28. Ejercicio 28.41 p852.
[2] Extreme Bungy Jumping with Cliff Jump Shenanigans! Play On in New Zealand! 4K! – devinsupertramp. 23 mar 2015.
Tema 3 (40 puntos) Los sólidos de revolución se generan al girar una región plana alrededor de un eje.
El volumen generado al girar la región de una función f(x) en el intervalo [a,b], se puede calcular como el volumen del disco de radio f(x) y anchura dx.
Calcule el volumen de revolución generado por la región sombreada y limitada los puntos de la tabla del tema anterior y la gráfica 2D mostrada. 
Realice el ejercicio usando para los integrales el método de integración por Cuadratura de Gauss para al menos lo tres primeros intervalos.
xi=[ 0, 3, 5. , 9.985 , 14.97 , 17.97, 40.04, 43.29, 51.6449, 60] yi=[15,15,13.25,14.1552, 9.6768, 9.67, 4.64, 4.64, 8.9768, 0.]
Para el desarrollo de cada intervalo:
a. Realice el planteamiento de las formulas de volumen de sólido de revolución.
b. Desarrolle las expresiones completas con valores numéricos que permitan revisar sus operaciones.
c. Indique el resultado obtenido para cada integral.
d. Determine el volumen de revolución generado por la región sombreada presentada en la gráfica usando el algoritmo en Python.
e. Adjunte sus resultados.txt y algoritmos.py
Rúbrica: literal a (12 puntos), literal b (12 puntos), literal c (6 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)
Referencia: [1] Volúmenes de sólidos de revolución. Moisés Villena Muñoz. Capítulo 4 p78. https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/4800/4/7417.pdf
[2]Curso Torno Madera. Práctica de realización de peón de ajedrez. Taller Escuela Pinocho. 21 octubre 2021
Tema 2 (30 puntos) Las medidas del perfil de un objeto se describen por medio de los siguientes puntos:
| xi | 0 | 3 | 5 | 9.985 | 14.97 | 17.97 | 40.04 | 43.29 | 51.64560 | 60 |
| yi | 15 | 15 | 13.25 | 14.155 | 9.676 | 9.676 | 4.64 | 4.64 | 8.976 | 0 |
a. Plantee el o los polinomios de interpolación P(x) que describan el perfil del objeto en el intervalo
[0, 14.97] . Justifique la selección del método de interpolación polinómica.
b. Desarrolle los polinomios planteados de forma analítica.
c. Estime el mayor error sobre el o los datos en el intervalo [5, 9.985]. Use como referencia la ecuación del círculo del tema anterior.
d. Escriba sus conclusiones y recomendaciones sobre los resultados obtenidos. Adjunte los archivos realizados como algoritmos.py, resultados.txt y gráficas.png
Rúbrica: literal a (9 puntos), literal b (12 puntos), literal c (6 puntos), literal d (3 puntos)
xi=[ 0, 3, 5. , 9.985 , 14.97 , 17.97, 40.04, 43.29, 51.6449, 60] yi=[15,15,13.25,14.1552, 9.6768, 9.67, 4.64, 4.64, 8.9768, 0.]
Tema 1 (30 puntos) Encuentre las raíces de las ecuaciones simultaneas siguientes:
a. Use el enfoque gráfico para obtener los valores iniciales. Presente la gráfica realizada con Python.
b. Encuentre un intervalo apropiado para aproximar este valor mediante el método de Newton-Raphson
c. Realice al menos 3 iteraciones de forma analítica, usando tolerancia de 10-4
d. Realice el análisis de la convergencia del método.
Adjunte los archivos realizados como algoritmos.py, resultados.txt y gráficas.png
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), iteraciones(9 puntos), errores entre iteraciones (6 puntos), análisis de convergencia (5 puntos).