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EDO Runge-Kutta 4to Orden de Primera derivada dy/dx

Referencia: Chapra 25.3.3 p746, Rodríguez 9.1.8 p358

Para una ecuación diferencial de primera derivada (primer orden) con una condición de inicio:

\frac{\delta y}{\delta x} + etc =0

y'(x) = f(x_i,y_i)

y(x_0) = y_0

La fórmula de Runge-Kutta de 4to orden realiza una corrección con 4 valores de K:

y_{i+1} = y_i + \frac{K_1 + 2K_2 + 2K_3 + 1K_4}{6}

debe ser equivalente a la serie de Taylor de 5 términos:

y_{i+1} = y_i + h f(x_i,y_i) +

+ \frac{h^2}{2!} f'(x_i,y_i) + \frac{h^3}{3!} f''(x_i,y_i) +

+\frac{h^4}{4!} f'''(x_i,y_i) + O(h^5)

x_{i+1} = x_i + h

Runge-Kutta 4do Orden tiene error de truncamiento O(h⁵)

Ejercicio

Para el desarrollo analítico se tienen las siguientes expresiones para el ejercicio usado en Runge-Kutta de orden 2, que ahora será con orden 4:

f(x,y) = y' = y -x^2 +x +1

Se usa las expresiones de Runge-Kutta en orden, K1 corresponde a una corrección de EDO con Taylor de dos términos (método de Euler). K2 considera el cálculo a medio tamaño de paso más adelante.

iteración:

K_1 = h f(x_i,y_i) = 0.1 (y_i -x_i^2 +x_i +1)

K_2 = h f\Big(x_i+\frac{h}{2}, y_i + \frac{K_1}{2} \Big)

K_2 = 0.1 \Big(\big(y_i+\frac{K_1}{2}\big) -\big(x_i+\frac{h}{2}\big)^2 +\big(x_i+\frac{h}{2}\big) +1 \Big)

K_3 = h f\Big(x_i+\frac{h}{2}, y_i + \frac{K_2}{2} \Big)

K_3 = 0.1 \Big(\big(y_i+\frac{K_2}{2}\big) -\big(x_i+\frac{h}{2}\big)^2 +\big(x_i+\frac{h}{2}\big) +1 \Big)

K_4 = h f(x_i+h, y_i + K_3 )

K_4 = 0.1 \Big((y_i+K_3) -(x_i+h)^2 +(x_i+h) +1 \Big)

y_{i+1} = y_i + \frac{K_1+2K_2+2K_3+K_4}{6}

x_{i+1} = x_i + h

Las iteraciones se dejan como tarea

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Algoritmo en Python como Función

def rungekutta4(d1y,x0,y0,h,muestras, vertabla=False, precision=6):
    ''' solucion a EDO con Runge-Kutta 4do Orden primera derivada,
        x0,y0 son valores iniciales, tamaño de paso h.
        muestras es la cantidad de puntos a calcular.
    '''
    # Runge Kutta de 4do orden
    tamano = muestras + 1
    tabla = np.zeros(shape=(tamano,2+4),dtype=float)
    
    # incluye el punto [x0,y0,K1,K2,K3,K4]
    tabla[0] = [x0,y0,0,0,0,0]
    xi = x0
    yi = y0
    for i in range(1,tamano,1):
        K1 = h * d1y(xi,yi)
        K2 = h * d1y(xi+h/2, yi + K1/2)
        K3 = h * d1y(xi+h/2, yi + K2/2)
        K4 = h * d1y(xi+h, yi + K3)

        yi = yi + (1/6)*(K1+2*K2+2*K3 +K4)
        xi = xi + h
        
        tabla[i] = [xi,yi,K1,K2,K3,K4]
        
    if vertabla==True:
        np.set_printoptions(precision)
        titulo = ' [xi,     yi,     K1,    K2,     K3,     K4 ]'
        print(' EDO con Runge-Kutta 4do Orden primera derivada')
        print(titulo)
        print(tabla)
    return(tabla)

Note que el método de Runge-Kutta de 4to orden es similar a la regla de Simpson 1/3. La ecuación representa un promedio ponderado para establecer la mejor pendiente.

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