s1Eva_2022PAOI_T1 Impacto en trayectoria del drone

Ejercicio: 1Eva_2022PAOI_T1 Impacto en trayectoria del drone

Desarrollo analítico

a) Realice el planteamiento del problema usando inicialmente las trayectorias en el eje x, donde para el intervalo de operación del misil antidrone, se observa más de un impacto.

x₁(t) = x₂(t)

f(t) = cos(t) –  sin(0.75 t) =0

y₁(t) = y₂(t)

sin(2 t) =kt

k = \frac{sin(2 t)}{t}

b) Usando el método de Newton-Raphson encuentre el valor de t en el cual se pretende realizar el impacto al drone. Realice al menos 3 iteraciones de forma analítica, use tolerancia de 10^-4,

f(t) = cos(t) - sin(0.75 t) f'(t) = - sin(t) - 0.75 cos(0.75 t)

Como punto inicial para encontrar la raíz de f(t) podría ser t₀=4 para el punto marcado en rojo. Para el método de Newton-Raphson se tiene que

t_{i+1} = t_i - \frac{f(t_i)}{f'(t_i)} error = |t_{i+1} - t_i|

iteración 1 t₀=4

t_1 = 4 - \frac{cos(4) - sin(0.75*4)}{- sin(4) - 0.75 cos(0.75*4)} t_1 = 4 - \frac{-0.7947}{1.4992} = 4.5300 tramo = |4.5300-4| = 0.53

iteración 2 t₁=4.53

t_{2} = 4.53 - \frac{cos(4.53) - sin(0.75*4.53)}{- sin(4.53) - 0.75 cos(0.75*4.53)} t_2 = 4.53 - \frac{-0.0717}{1.7089} = 4.4880 tramo= |4.4880-4.53| = 0.042

iteración 3 t₂=4.4880

t_{3} = 4.4880 - \frac{cos(4.4880) - sin(0.75*4.4880)}{ - sin(4.4880) - 0.75 cos(0.75*4.4880)} t_3 = 4.4880 - \frac{-0.0000179}{1.7061} = 4.4879 tramo= |4.4879-4.4880| = 0.0001

c) Realice el análisis de la convergencia del método.

El error disminuye, el método converge. La raiz se encuentra en t=4.487989505154422

d) Con el resultado de t anterior, determine el valor de la constante k para la expresión de y₂(t) que asegura el impacto contra el drone.

y_1(t) = y_2(t) sin(2 t) =kt k = \frac{sin(2 t)}{t} = \frac{sin(2*4.487989505154422)}{4.487989505154422} = 0.096714

Desarrollo con Algoritmo

Resultados

['xi', 'xnuevo', 'tramo']
[[4.0000e+00 4.5301e+00 5.3009e-01]
 [4.5301e+00 4.4880e+00 4.2071e-02]
 [4.4880e+00 4.4880e+00 3.0277e-05]]
raiz en:  4.487989505154422
con error de:  3.0276981949128867e-05

Algoritmo en Python

# Método de Newton-Raphson
import numpy as np

# INGRESO
fx  = lambda t: np.cos(1*t) - np.sin(0.75*t)
dfx = lambda t: -np.sin(t) - np.cos(0.75*t)*0.75

x0 = 4
tolera = 0.0001

# PROCEDIMIENTO
tabla = []
tramo = abs(2*tolera)
xi = x0
while (tramo>=tolera):
    xnuevo = xi - fx(xi)/dfx(xi)
    tramo  = abs(xnuevo-xi)
    tabla.append([xi,xnuevo,tramo])
    xi = xnuevo

# convierte la lista a un arreglo.
tabla = np.array(tabla)
n = len(tabla)

# SALIDA
print(['xi', 'xnuevo', 'tramo'])
np.set_printoptions(precision = 4)
print(tabla)
print('raiz en: ', xi)
print('con error de: ',tramo)