s1Eva_IT2017_T4 Componentes eléctricos

Ejercicio: 1Eva_IT2017_T4 Componentes eléctricos

Desarrollo Analítico

Solo puede usar las cantidades disponibles de material indicadas, por lo que las cantidades desconocidas de producción por componente se convierten en las incógnitas x₀, x₁, x₂. Se usa el índice cero por compatibilidad con las instrucciones Python.

	Material 1	Material 2	Material 3
Componente 1	5 x0	9 x0	3 x0
Componente 2	7 x1	7 x1	16 x1
Componente 3	9 x2	3 x2	4 x2
Total	945	987	1049

Se plantean las fórmulas a resolver:

5 x0 +  7 x1 + 9 x2 = 945
9 x0 +  7 x1 + 3 x2 = 987
3 x0 + 16 x1 + 4 x2 = 1049

Se reescriben en la forma matricial AX=B

\begin{bmatrix} 5 & 7 & 9\\ 9 & 7 & 3 \\ 3& 16 & 4\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 945 \\ 987 \\ 1049 \end{bmatrix}

Se reordena, pivoteando por filas para tener la matriz diagonalmente dominante:

\begin{bmatrix} 9 & 7 & 3\\ 3 & 16 & 4 \\ 5& 7 & 9\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 987 \\ 1049 \\ 945 \end{bmatrix}

Se determina el número de condición de la matriz, por facilidad con Python:

numero de condicion: 4.396316324708121

Obtenido con:

# 1Eva_IT2017_T4 Componentes eléctricos
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
A = np.array([[9., 7.,3.],
              [3.,16.,4.],
              [5., 7.,9.]])

B = np.array([987.,1049.,945.])
# PROCEDIMIENTO

# numero de condicion
ncond = np.linalg.cond(A)

# SALIDA
print('numero de condicion:', ncond)

Recordando que la matriz debe ser tipo real, se añade un punto a los dígitos.

El número de condición es cercano a 1, por lo que el sistema si debería converger a la solución.

Desarrollo con Python

La forma AX=B permite usar los algoritmos desarrollados, obteniendo la solución. Se verifica el resultado al realizar la multiplicación de A con el vector respuesta, debe ser el vector B con un error menor al tolerado.

respuesta con Jacobi
[[62.99996585]
 [44.99998037]
 [34.9999594 ]]
verificando:
[[ 986.99943346]
 [1048.99942111]
 [ 944.99932646]]

Si interpreta el resultado, se debe obtener solo la parte entera [63,45,35] pues las unidades producidas son números enteros.

instrucciones:

# 1Eva_IT2017_T4 Componentes eléctricos
import numpy as np

def jacobi(A,B,tolera,X0,iteramax=100, vertabla=False):
    ''' Método de Jacobi, tolerancia, vector inicial X0
        para mostrar iteraciones: tabla=1
    '''
    tamano = np.shape(A)
    n = tamano[0]
    m = tamano[1]
    diferencia = np.ones(n, dtype=float)
    errado = np.max(diferencia)
    X = np.copy(X0)
    xnuevo = np.copy(X0)

    itera = 0
    if vertabla==True:
        print('itera,[X0],errado')
        print(itera, xnuevo, errado)
    while not(errado<=tolera or itera>iteramax):
        
        for i in range(0,n,1):
            nuevo = B[i]
            for j in range(0,m,1):
                if (i!=j): # excepto diagonal de A
                    nuevo = nuevo-A[i,j]*X[j]
            nuevo = nuevo/A[i,i]
            xnuevo[i] = nuevo
        diferencia = np.abs(xnuevo-X)
        errado = np.max(diferencia)
        X = np.copy(xnuevo)
        itera = itera + 1
        if vertabla==True:
            print(itera, xnuevo, errado)
    # Vector en columna
    X = np.transpose([X])
    # No converge
    if (itera>iteramax):
        X=itera
        print('iteramax superado, No converge')
    return(X)


# INGRESO
A = np.array([[9., 7.,3.],
              [3.,16.,4.],
              [5., 7.,9.]],dtype=float)

B = np.array([987.,1049.,945.],dtype=float)
tolera = 1e-4
X0 = [0.,0.,0.]

# PROCEDIMIENTO

# numero de condicion
ncond = np.linalg.cond(A)

respuesta = jacobi(A,B,tolera,X0,vertabla=True)

verifica = np.dot(A,respuesta)
verificaErrado = np.max(np.abs(B-np.transpose(verifica)))

# SALIDA
print('numero de condicion:', ncond)
print('respuesta con Jacobi')
print(respuesta)
print('verificar A.X:')
print(verifica)
print('max|A.X - B|')
print(verificaErrado)

al ejecutar el algoritmo se determina que se requieren 83 iteraciones para cumplir con con el valor de error tolerado.