ESTG1003 – FCNM – ESPOL
3ra Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 20, 2018
Tema 5. (Extra 10 puntos) Se tiene un sistema descrito con las ecuaciones y diagrama de bloques mostrados:
Y(t) = h(t)*X(t)
Z(t) = X(t) –Y(t)
a) Encuentre Rz(τ)
b) Encuentre Sz(f) en términos de Sx(f)
Rúbrica: literal a (6 puntos), literal b (4 puntos)
3ra Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 20, 2018
Tema 4. (25 puntos) La señal de entrada X(t) de un sistema tipo “QAM” son procesos aleatorios A(t) y B(t) independientes con densidades espectrales de potencia mostradas.
X(t) = A(t) cos(2πfct + θ) + B(t) sin(2πfct + θ)
a) Encuentre la densidad espectral de potencia de la señal QAM, SX(f)
b) Grafique su respuesta
Rúbrica: literal a (15 puntos), literal b (10 puntos)
3ra Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 20, 2018
Tema 3 (25 puntos) Considere la combinación lineal de dos sinusoides.
X(t) = A_1 \cos (\omega _0 t + \theta _1) + A_2 \cos (\sqrt{2}\omega_0 t + \theta _2)Donde θ1 y θ2 son variables aleatorias independientes y uniformes en el intervalo (0, 2π).
A1, A2 son variables aleatorias conjuntas Gaussianas.
Asuma que las amplitudes son independientes de las variables aleatorias de la fase.
a) Encuentre la media para X(t)
b) Encuentre la función de auto-correlación para X(t)
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (20 puntos)
3ra Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 20, 2018
Tema 2. (25 puntos) Considere un sistema M/M/2/2 con un servidor que opera el doble de rápido al otro. 
a) ¿Cuál será la definición de “estado” para el sistema si se lo modela con una cadena de Markov continua en el tiempo?
Para cada caso, plantee el diagrama, las ecuaciones de balanceo y resuelva
b) Encuentre la pmf de estado estable para el sistema, si los clientes al llegar y encontrar los servidores libres, se los envía al servidor más rápido.
c) Encuentre la pmf de estado estable para el sistema si los clientes al llegar encuentran los servidores libres, se los envía a cualquiera con la misma probabilidad.
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal c y d (10 puntos cada uno)
3ra Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 20, 2018
Tema 1. (25 puntos) Un sistema de radio transmisión unidireccional con respaldo, semejante a maquinaria de doble uso, tiene dos partes A y B. 
El sistema se mantiene operando solo con una de las dos partes, la otra es de respaldo.
Cualquiera de las partes en operación falla cualquier día con probabilidad a.
Una parte dañada se repara el siguiente día con probabilidad b. 
Los eventos de falla y reparación son independientes.
Sea Xn el número de partes funcionando en el día n.
a) Desarrolle un modelo de cadena de Markov usando tres estados (diagrama).
b) Determine la matriz de transición P de un paso usando las variables a, b. Justifique las ecuaciones usadas
c) Usando P y con a=0.1 y b=0.7, encuentre la función de probabilidad de masa de estado estable. (desarrollar).
d) ¿Podría determinar la pmf de estado estable si tuviese n usos o partes? Esquema y explique.
Rúbrica: literal a, estados, diagrama (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c(6 puntos), literal d (4 puntos)
Tema 4 (25 puntos). Dada la siguiente función de auto-correlación RX(ζ) del proceso estocástico X(t) que es estacionario en el sentido amplio (WSS). 
a) Determine la varianza X(t)
b) Encuentre la densidad espectral de potencia
c) Calcule la potencia promedio de X(t)
Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b(10 puntos) literal c (5 puntos)
Tema 3 (20 puntos). La función densidad conjunta de X, Y es:
f(x,y) = \frac{1}{y} e ^{-(y + x/y)}
donde: 0<x<∞ , 0<y<∞ \
a) Verifique que es una función de densidad conjunta
b) Determine las funciones de densidad marginal
c) Encuentre la Covarianza(X, Y)
Rúbrica: literal a y b (7 puntos), literal c (6 puntos)
Tema 2 (25 puntos). Dado el proceso o señal diente de sierra, descrito en la gráfica, con periodo π/3. 
Suponga que X es una variable aleatoria uniforme, distribuida en el intervalo de (0, π].
a) Determine la función densidad de probabilidad para Y
b) Calcule la función de distribución acumulada para Y
c) Grafique su resultado
Rúbrica: literales a y b (10 puntos cada uno), literal c (5 puntos)
Tema 1 (30 puntos). En una ciudad existen 3 cadenas de supermercados (X, Y, Z) y se dispone de la movilidad de los clientes entre ellos. 
En septiembre de un total de 1 millón de clientes, la cuarta parte realiza las compras en el supermercado X, 1/3 va al supermercado Y, mientras que 5/12 adquiere productos en el supermercado Z.
En cada mes el supermercado X retiene el 90% de sus clientes y pierde el 10% que van al supermercado Y.
Se determinó que del supermercado Y solo retiene el 5% de sus clientes y el 85% se cambian a X y el resto va a Z.
El supermercado Z retiene solo el 40% de su clientela, el 50% va al supermercado X y el 10 % se cambia a Y.
a) Determine los estados del problema
b) Realice el diagrama de transición
c) Elabore la matriz de transición correspondiente
d) Clasifique los estados del problema
e) Determine el vector de probabilidad estable
f) ¿Cuál es la proporción de clientes para los supermercados al mes siguiente?
g) Suponga que observa un cliente del supermercado Y:
1. Determine la probabilidad que en el siguiente periodo sea cliente de Z.
2. Luego el cliente del numeral anterior al segundo periodo decida cambiarse a X
3. Para un cliente de Y, determine la probabilidad que luego de tres periodos no termine comprando en X.
Rúbrica: Literales a al f (4 puntos cada uno), literal g (6 puntos).