PAM a PSK media cuadrática derivable

Y(t) = a \cos \big( 2\pi t + \frac{\pi}{2}X(t) \big) R_y(t_1,t_2) = E[Y(t_1)Y(t_2)] = a^2 \sin (2\pi t_1) \sin(2\pi t_2)

f) ¿Y(t) tiene media cruadrática derivable? Si lo es, encuentre las funciones para media y autocorrelacón.

Y(t) es diferenciable entodos los puntos

\frac{\delta y}{\delta t}Y(t) = \frac{\delta y}{\delta t} \big[ a \cos \big( 2\pi t + \frac{\pi}{2}X(t) \big)\big] = a(-2\pi) \sin \big( 2\pi t + \frac{\pi}{2}X \big) \big]

media o valor esperado:

E \big[ \frac{\delta y}{\delta t}Y(t) \big] = \frac{\delta y}{\delta t} E[Y(t)] = 0

autocorrelación:

R_{Y'}(t_1, t_2) = \frac{\delta ^2}{\delta t_1 \delta t_2} R_Y((t_1, t_2) = \frac{\delta ^2}{\delta t_1 \delta t_2} \big[a^2 \sin (2\pi t_1) \sin(2\pi t_2)\big] = a^2(2\pi ) \cos(2\pi t_1) \frac{\delta }{ \delta t_2} \big[\sin(2\pi t_2)\big] = a^2 (2\pi) \cos (2\pi t_1)(2\pi) \sin (2\pi t_2) = 4 \pi^2 a^2 \cos(2\pi t_1) \sin(2\pi t_2)

para nT ≤ t1 , t2 < (n+1)T

0 para otro caso

 

PAM a PSK media cuadrática contínua

R_y(t_1,t_2) = E[Y(t_1)Y(t_2)] = a^2 \sin (2\pi t_1) \sin(2\pi t_2)

e) ¿El proceso Y(t) tiene media cuadrática contínua?

Sí, por las condiciones siguientes:

Referencia: León-García 9.7.1 p.531

Si RX(t1,t2) es contínua en t1 y t2 en el punto (t0,t0), entonces X(t) tiene media cuadrática continua en t0.

Si X(t) tiene media cuadrática contínua en t0 , entonces la función media mX(t) debe ser contínua en t0.

Si RX(τ) es contínua en τ=0 entondes el proceso estocástico estacionario en el sentido amplio WSS para X(t) es contino en la media cuadtática en todos los  puntos t0.

PAM a PSK determinar estacionario

Los resultados son:

E[Y(t)] = 0 R_y(t_1,t_2) = E[Y(t_1)Y(t_2)] = a^2 \sin (2\pi t_1) \sin(2\pi t_2) C_{Y} (t_1,t_2) = E[Y(t_1)Y(t_2)] + E[Y(t_1)]E[Y(t_2)] = a^2 \sin (2\pi t_1) \sin(2\pi t_2) + 0 = a^2 \sin (2\pi t_1) \sin(2\pi t_2)

siendo la media una constante = 0, entonces:

C_Y[t_1, t_2] = R_y(t_1,t_2) C_Y[t_1, t_2] = a^2 \sin (2\pi t_1) \sin(2\pi t_2)

Existe un valor T tal que:

C_Y[t_1, t_2] = C_Y[t_1 + mT, t_2 + mT]

El proceso es clasificado como ciclo-estacionario

para:

para nT ≤ t1 , t2 < (n+1)T

0 para otro caso

PAM a PSK autocorrelación

Y(t) = a \cos \big( 2\pi t + \frac{\pi}{2}X(t) \big)

c) Encuentre la media y autocorrelacion de Y(t)

E[Y(t_1) Y(t_2)] = E\big[a \cos \big( 2\pi t_1 + \frac{\pi}{2}X \big) . a \cos \big( 2\pi t_2 + \frac{\pi}{2}X\big)\big] g(x) = a \cos \big( 2\pi t_1 + \frac{\pi}{2}X \big) . a \cos \big( 2\pi t_2 + \frac{\pi}{2}X\big)

Referencia: Valor esperado de funciones de variable aleatoria (León-García 3.3.1 p. 107
Si z =g(x)
E[g(x)] = \sum_k g(x_k)p_x(X_k)
tomando la pmd mostrada en el cálculo del valor esperado, se tiene entonces que:
= \big[ a \cos \big( 2\pi t_1 + \frac{\pi}{2}(-1)\big) . a \cos \big( 2\pi t_2 + \frac{\pi}{2}(-1)\big)\big] \frac{1}{2} +
+ \big[ a \cos \big( 2\pi t_1 + \frac{\pi}{2}(1)\big) . a \cos \big( 2\pi t_2 + \frac{\pi}{2}(1)\big)\big] \frac{1}{2}
= \frac{a^2}{2} \cos \big( 2\pi t_1 - \frac{\pi}{2}\big) \cos \big( 2\pi t_2 - \frac{\pi}{2}\big) +
+ \frac{a^2}{2}\cos \big( 2\pi t_1 + \frac{\pi}{2}\big) \cos \big( 2\pi t_2 + \frac{\pi}{2}\big)
= \frac{a^2}{2} \sin (2\pi t_1) \sin (2\pi t_2) +
+ \frac{a^2}{2}[-\sin(2\pi t_1)][-\sin (2\pi t_2)]
= \frac{a^2}{2} 2 \sin (2\pi t_1) \sin( 2\pi t_2)
= a^2 \sin ( 2\pi t_1) \sin(2\pi t_2)
= \frac{a^2}{2}\big[ \cos(2\pi t_1 - 2\pi t_2) - \cos(2\pi t_1 + 2\pi t_2) \big]
E[Y(t_1)Y(t_2)] = \frac{a^2}{2}\big[ \cos(2\pi t_1 - 2\pi t_2) - \cos(2\pi t_1 + 2\pi t_2) \big]

valor esperado – PAM a PSK

Y(t) = a \cos \big( 2\pi t + \frac{\pi}{2}X(t) \big)

La pmf de x(t) es 0.5 para cada valor de [-1,1]

c) Encuentre la media y autocorrelacion de Y(t)

E[Y(t)] = E\big[ a \cos \big( 2\pi t + \frac{\pi}{2}X \big)\big]

Referencia:  León-García 3.3.1 p. 107. Valor esperado de funciones de variable aleatoria

Si z =g(x)

E[g(x)] = \sum_k g(x_k)p_x(X_k)

se tiene entonces que:

= \big[a \cos \big( 2\pi t + \frac{\pi}{2}(-1) \big)\big]\frac{1}{2} + \big[a \cos \big( 2\pi t + \frac{\pi}{2}(1) \big)\big] \frac{1}{2} = \frac{a}{2}\cos \big( 2\pi t - \frac{\pi}{2} \big) + \frac{a}{2}\cos \big( 2\pi t + \frac{\pi}{2} \big) = \frac{a}{2} \sin \big( 2\pi t \big) - \frac{a}{2} \sin \big( 2\pi t \big) = 0 E[Y(t)] = 0

PAM a PSK Gráfica

Referencia: Problema 9.133 Leon-García p.574

Un proceso de modulación por fase se define como:

Y(t) = a \cos \big( 2\pi t + \frac{\pi}{2}X(t) \big)

Sea X(t) un proceso de modulación de amplitud de pulsos con valores de +1 y -1 que representan a los bits 1 y 0 como se muestra en la tabla.

dato en binario (bit) símbolo
1 +1
0 -1

Suponga que T=1, que es la duración de cada símbolo X(t).


 

Algunos datos:

De los experimentos realizados con BPSK y Delta-Sigma para entrontrar la pmf de [+1,-1], se encontró que la media del proceso era igual a 0.


a) Dibuje una muestra de la función Y(t) correspondiente a la secuencia binaria 0010110

# Problema 9.133 Leon-Garcia p.574
# PAM - Pulse Amplitude Modulation
# PSK - Phase Shift Keying
# literal a)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
# secuencia = input('secuencia binaria: ')
secuencia = '0010110'

# PROCEDIMIENTO
n = len(secuencia)
# texto a símbolos PAM
senalbit = np.zeros(n,dtype=int)
for i in range(0,n,1):
    senalbit[i] = int(secuencia[i])
    if (senalbit[i]==0):
        senalbit[i] = -1
# Señal en PAM
anchobit = 100 # muestras dentro de cada bit
senalpam = np.repeat(senalbit, anchobit)
m = len(senalpam)

# Eje de tiempo:
ti = np.arange(0,m,dtype=float)
ti = ti/anchobit

# Señal PSK
f = 1
senalpsk = np.zeros(m,dtype=float)
for i in range(0,m,1):
    fase = (np.pi/2)*senalpam[i]
    senalpsk[i] = np.cos(2*np.pi*f*ti[i] + fase)

# SALIDA Gráfica
# Señal PAM
plt.subplot(211)
plt.plot(ti,senalpam, color='g')
for k  in range(0,n,1):
    plt.vlines(k,1,-1, color= 'm', linestyles='dotted')
plt.ylabel('Señal PAM')
# Señal PSK
plt.subplot(212)
plt.plot(ti,senalpsk, color='b')
for k  in range(0,n,1):
    plt.vlines(k,1,-1, color= 'm', linestyles='dotted')
plt.ylabel('señal PSK')
plt.suptitle('Secuencia binaria PAM a PSK')
plt.show()

continua…