El álgebra lineal es una rama esencial de las matemáticas que desempeña un papel fundamental en diversas disciplinas, desde la física hasta la ingeniería y la inteligencia artificial. Dentro de este vasto campo, los sistemas de ecuaciones lineales de 2×2 son una piedra angular, proporcionando una introducción fundamental a conceptos clave.
En este artículo, nos sumergiremos en el fascinante mundo de los sistemas de ecuaciones 2×2, explorando su relevancia y resolviendo ejercicios paso a paso. A través de la resolución de estos problemas, no solo consolidaremos nuestra comprensión de álgebra lineal, sino que también apreciaremos la aplicabilidad práctica de estos conceptos en situaciones del mundo real.
Acompáñennos en este viaje educativo mientras desglosamos, analizamos y resolvemos ejercicios prácticos, allanando el camino para una comprensión sólida de los sistemas de ecuaciones 2×2 y su papel vital en el álgebra lineal. ¡Vamos a sumergirnos en el mundo fascinante de las ecuaciones lineales y descubrir cómo estas herramientas matemáticas pueden modelar y resolver una variedad de desafíos!
Problemas resueltos de sistemas de ecuaciones 2×2
Ejercicio N° 1
Juan tiene cierta cantidad de billetes de $10 y $5. Si el número total de billetes es 20 y la suma del valor de todos los billetes es $150, ¿cuántos billetes tiene de cada denominación?
Solución:
Definición de variables:
Denotemos el número de billetes de $10 como x y el número de billetes de $5 como y.
Formamos el sistema de ecuaciones:
Según la información proporcionada, tenemos dos ecuaciones:
– Ecuación 1: El número total de billetes es 20.
x + y = 20
– Ecuación 2: La suma del valor de todos los billetes es $150.
10x + 5y = 150
Resolvemos el sistema de ecuaciones:
Podemos resolver el sistema de ecuaciones lineales utilizando diferentes métodos, como sustitución, igualación o el método de reducción o eliminación. A continuación, utilizaremos el método de sustitución:
- De la Ecuación 1, expresamos y en términos de x, es decir, despejamos «y»:
y = 20 – x
- Sustituimos esta expresión en la Ecuación 2:
10x + 5(20 – x) = 150
- Resolvemos la ecuación resultante para encontrar el valor de x.
10x + 100 – 5x = 150
10x – 5x = 150 – 100
5x = 50
x = 50/5
x = 10
- Sustitución de x en la Ecuación 1:
Una vez que conocemos el valor de x, lo sustituimos en la Ecuación 1 para encontrar y, así tenemos:
y = 20 – x
y = 20 – 10
y = 10
- Verificación:
Verificamos que nuestras soluciones cumplan con todas las condiciones dadas en el problema, efectivamente si Juan tiene 10 billetes de $10 (x) y 10 billetes de $5 (y), tiene en total 20 billetes que suman $150, por lo tanto, esta es la solución al problema.
Ejercicio N° 2
Una tienda vende dos tipos de productos: libros y bolígrafos. El precio de un libro es de $15 y el precio de un bolígrafo es de $5. Un cliente compra un total de 10 artículos y gasta en total $120. ¿Cuántos libros y bolígrafos compró el cliente?
Solución
Definición de variables:
Denotemos el número de libros comprados como x y el número de bolígrafos comprados como y.
Formamos el sistema de ecuaciones:
Según la información proporcionada, tenemos dos ecuaciones:
-Ecuación 1: El cliente compra un total de 10 artículos.
x + y = 10
– Ecuación 2: El cliente gasta en total $120.
15x + 5y = 120
Resolvemos el sistema de ecuaciones:
Utilizaremos el método de sustitución nuevamente:
- De la Ecuación 1, expresamos y en términos de x:
y = 12 – x
- Sustituimos esta expresión en la Ecuación 2:
15x + 5(10 – x) = 120
- Resolvemos la ecuación resultante para encontrar el valor de x.
15x + 50 – 5x = 120
15x – 5x = 120 – 50
10x = 70
x = 70/10
x = 7
- Sustituimos el valor de x en la Ecuación 1 y encontramos el valor de y:
y = 10 – x
y = 10 – 7
y = 3
- Verificación:
Verificamos que nuestras soluciones cumplan con todas las condiciones dadas en el problema, efectivamente si el cliente compra 7 libros (x) a un precio de $15 y 3 bolígrafos (y) a un precio de $5, gastará un total de $120 y estará comprtando un total de 10 artículos, por lo tanto, esta es la solución al problema.
Ejercicio N°3
En una granja, hay gallinas y conejos. Si cuentas las patas, hay 50 en total. Además, si cuentas las cabezas, hay 22 en total. ¿Cuántas gallinas y conejos hay en la granja?
Solución paso a paso
Definimos las incógmitas:
Denotemos el número de gallinas como g y el número de conejos como c.
Establecemos el sistema de ecuaciones:
Según la información suministrada, tenemos dos ecuaciones:
– Ecuación 1: El número total de patas es 50.
2g + 4c = 50
Porque ya sabemos que las gallinas tienen 2 patas y los conejos 4 😉
– Ecuación 2: El número total de cabezas es 22.
g + c = 22
Porque cada animal tiene una sola cabeza
Resolvemos el sistema de ecuaciones:
Esta vez utilizaremos el método de igualación, para variar en el método, aunque también se puede resolver usando cualquiera de los demás métodos.
- De ambas ecuaciones, despejamos g en términos de c:
g = (50-4c)/2 => Ecuación 1
g = 22 – c => Ecuación 2
- Igualamos ambas ecuaciones:
(50-4c)/2 = 22 – c
- Resolvemos la ecuación resultante para encontrar el valor de c.
(50-4c)/2 = 22 – c
50-4c = (22 – c)*2
50-4c = 44 – 2c
50-44 = – 2c +4c
6 = 2c
6/2 = c
3 = c
- Sustituimos el valor de c en cualquiera de las 2 ecuaciones, yo lo haré en la ecuación 2, así tenemos:
g = 22 – c
g = 22 – 3
g = 19
- Verificación del resultado:
Según la solución encontrada, tenemos 19 gallinas y 3 conejos, lo que nos da un total de 38 patas de gallinas y 12 de conejos (50 en total) y 22 cabezas, lo que cumple con las condiciones dadas en el problema y por lo que podemos afirmar que en la granja hay 19 gallinas y 3 conejos.