Tema 6

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 6

Considere el siguiente teorema:

Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{K}$ y sea $D$ un subconjunto de $V$ linealmente independiente. Si $v_0 \in V$ es un elemento tal que $v_0 \notin gen(D)$ , entonces el conjunto $D\cup \{ v_0 \}$ es un conjunto linealmente independiente.

A continuación, se presenta un conjunto de pasos que ordenados pertinentemente representan la demostración de este teorema. En cada círculo en blanco indique el orden que corresponda al paso adjunto para que la demostración sea expresada de manera correcta.

$\bigcirc$	En consecuencia $D\cup \{ v_0\}$ es un conjunto linealmente independiente.
$\bigcirc$	Lo cual contradice la elección de $v_0$ .
$\bigcirc$	$\alpha_0$ debe ser distinto de cero, de otro modo $D$ sería linealmente independiente, lo cual sería una contradicción.
$\bigcirc$	Entonces existen elementos $v_1,v_2,...,v_n \in D$ y escalares $\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ no todos iguales a cero, tales que $\alpha_0 v_0+\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+...+\alpha_n v_n=0_V$ .
$\bigcirc$	Así $v_0=\frac{\alpha_1}{\alpha_0}v_1+\frac{\alpha_2}{\alpha_0}v_2+...+\frac{\alpha_n}{\alpha_0}v_n$ .
$\bigcirc$	Suponga que el conjunto $D\cup \{ v_0 \}$ es linealmente dependiente.

Publicado por

Fernando Tenesaca