Autor: Fernando Tenesaca

Sean B=\{v_1,v_2\} y B^{'}=\{u_1,u_2\} dos bases de un espacio vectorial real V, tales que u_1=v_1 -2 v_2 y u_2=3v_1 + 4v_2. Hallar:

a. La matriz de cambio de base de B a B^{'}.

b. Las coordenadas del vector 5u_1-u_2 en la base B.

c. Las coordenadas del vector 7v_2 en la base B^{'}.

V=\left\{\left(\begin{array}{rr} a & b \\ c & 0 \end{array}\right):\ a\in \mathbb{R}^+\ \wedge\ b,c \in \mathbb{R} \right\} es un espacio vectorial sobre \mathbb{R}, con las siguientes operaciones:\begin{aligned}\begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\ c_1 & 0\end{pmatrix}\oplus \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & 0\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a_1a_2 & b_1+b_2+7 \\ c_1+c_2 & 0 \end{pmatrix} \\ \\ \alpha \odot \begin{pmatrix} a & b \\ c & 0\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a^{\alpha} & \alpha b+7\alpha-7 \\ \alpha c & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}Determine:

a. El vector nulo de V.

b. El vector opuesto de un elemento \left(\begin{array}{rr}a & b \\ c & 0 \end{array}\right) de V.

c. Los valores de a y x tal que \left(\begin{array}{rr}a & 2 \\ 1 & 0 \end{array}\right) sea una combinación lineal de los vectores \left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\ x & 0 \end{array}\right) y \left(\begin{array}{rr}1 & 1 \\ 3x & 0 \end{array}\right).

Sea V=M_{2\times 2}, el espacio vectorial de las matrices simétricas de orden 2, sobre \mathbb{R} y sean los subespacios:

a. Encuentre el subespacio intersección expresado como un conjunto con condiciones, una base y su dimensión.

b. Encuentre el subespacio suma, una base y su dimensión.

Determine los valores reales de \alpha para que el sistema \left\{\begin{array}{rrr} x+\alpha y+3z & = & 2 \\ x+y-z & = & 1 \\ 2x+3y+\alpha z & = & 3 \end{array}\right. tenga:

a. Infinitas soluciones.

b. Solución única.

c. Ninguna solución.

Dada A=\left(\begin{array}{rrrr}2 & 4 & -2 & 1\\ -2 & -5 & 7 & 3 \\3 & 7 & -8 & 6\end{array}\right), determine:

a. Si u=(3,-2,-1,0) es un elemento del núcleo de A.

b. Si v=(3,-1,3) es un elemento de la imagen de A.

c. Nulidad de A.

d. Dimensión de la imagen de A.

Califique, justificando cada respuesta, como verdadero o falso las siguientes proposiciones.

a. El conjunto solución del sistema \left\{\begin{array}{c} x_1+x_2=1 \\ x_3+x_4=0 \end{array}\right. es un subespacio vectorial de \mathbb{R}^4.

b. Sean V un espacio vectorial sobre un campo \mathbb{K} y W un subespacio de V. Si v\notin W entonces, v+w \notin W para cada w de W.

c. Sean V un espacio vectorial sobre un campo \mathbb{K}, A y B subconjuntos de V. Entonces Gen(A\cap B)=Gen(A) \cap Gen(B).

d. Si \{u,v\} es un conjunto linealmente independiente de un espacio vectorial V, entonces \{u+v,u+w,v+w\} es un conjunto linealmente independiente para todo vector no nulo w de V.

e. Sea A una matriz cuadrada. Si el espacio columna de A es igual al espacio renglón de A, entonces A es una matriz simétrica.