Autor: Fernando Tenesaca

Sea V un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K} y sea U un conjunto no vacío de V. Demuestre que U es un subespacio de V si, y sólo si, \alpha u + v \in U para todo u,v \in V y \alpha \in \mathbb{K}.

Sea A=M_{4\times 4}{(\mathbb{R})}, si sus subespacios propios son:\begin{aligned} L_1&=gen\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z\\w \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4 \ : \ \begin{aligned} 8x+y+z+4w&=0\\4x+y+z+2w&=0\\4x+z+2w&=0 \end{aligned} \end{Bmatrix} \\ \\L_2&=gen\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} \begin{array}{r} -1\\0\\1\\0 \end{array} \end{pmatrix} \end{Bmatrix}\\ \\ L_3&=gen\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{Bmatrix} \end{aligned}a) Determine si A es diagonalizable.
b) ¿Es A es una matriz simétrica? Justifique su respuesta.

De ser posible, construya una transformación lineal T de P_2(\mathbb{R}) en \mathbb{R}^3 tal que \; T\begin{pmatrix} x^2+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1\\-1\\0 \end{array} \end{pmatrix} y \; T\begin{pmatrix} x+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0\\2\\1 \end{array} \end{pmatrix} .

Sea V=P_3(\mathbb{R}) el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 3, con coeficientes reales. Considere los conjuntos H_1=\{ p\in V\ {:}\ p'(1)=0\} y H_2=gen\{ x-1,x^2-3x \}.

a) Determine una base para el subespacio H_1\cap H_2.
b) Determine una base para el subespacio H_1 + H_2.

A continuación se presentan cuatro enunciados cada uno de los cuales tienen cuatro posibles opciones de respuesta (más de una puede ser correcta en cada caso). Rellene el círculo de aquella o aquellas opciones correctas.

Literal a. Sean V un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K}. Es cierto que:

Literal b. Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita, definidos sobre un mismo campo \mathbb{K}. Si B=\{ u_1,u_2,...,u_n \} es una base del espacio V, entonces es cierto que:

Literal c. Sea V un espacio vectorial, de dimensión finita, definido sobre un campo \mathbb{K}. Suponga que {\langle \cdotp | \cdotp \rangle} define un producto interno en V. Es cierto que:

Literal d. Sean u_1 y u_2 dos vectores propios de la matriz A\in M_n(\mathbb{R}) asociada a los autovalores \lambda_1 y \lambda_2 respectivamente. Es cierto que: