Tema 4

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 4

Considere \mathbb{P}_3, el espacio vectorial de todos los polinomios de grado menor o igual a 3, con el producto interno definido por:\footnotesize{\langle a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3,b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3 \rangle=a_3b_3+2a_2b_2+4a_1b_1+a_0b_0}Considere además la transformación T:\mathbb{P}_3 \longrightarrow \mathbb{P}_3 definida por T(p)=p(-1)+p(0)x^2.

a. Determine una base para la imagen de T.

b. Determine una base para el complemento ortogonal del núcleo de la transformación lineal T.

c. Encuentre la proyección ortogonal de r(x)=3x^3+2x^2+x+1 sobre el núcleo de T.

Tema 3

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 3

Se sabe que \lambda_1 = 2 y \lambda_2 = -3 son los valores propios de una matriz A de tamaño 3\times 3 y entradas reales. Además, se tiene que los respectivos espacios propios son:
E_{\lambda_1}=gen\{(1,0,-1)\} \qquad E_{\lambda_2}=gen\{(1,0,0),(0,2,3)\}Determine:

a. Si A es diagonalizable.

b. La matriz A.

Tema 2

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 2

Sean B_1 y B_2 bases de \mathbb{R}^2 tales que M_{B_1 B_2}=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & -3 \end{pmatrix} es la matriz de cambio de base de B_1 a B_2.

a. Si [u]_{B_1}=\begin{pmatrix}-1\\4 \end{pmatrix}, calcular [u]_{B_2}.

b. Si [v]_{B_2}=\begin{pmatrix}3\\5 \end{pmatrix}, calcular [v]_{B_1}.

c. Si B_1=\{(1,3),(0,4)\}, obtener la base de B_2.

Tema 1

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Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. El siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene solución única para todo valor real de a\left\{\begin{aligned} -2x+y-z&=ax \\ -x-y&=ay \\ y-3z&=az \end{aligned}\right.

b. Sean V un espacio vectorial, sobre un campo \mathbb{K}, con producto interno y v_1,v_2\in V dos vectores no nulos. Si v_1 y v_2 son dos vectores ortogonales, entonces [v_1,v_2] es un conjunto linealmente independiente de V.

c. Si A es una matriz 2\times 2 y p(\lambda) es su polinomio característico, entonces p(\lambda)=\lambda^2-(Traza\;A)\lambda+det(A).

d. Sean V un espacio vectorial, con producto interno, u, v dos vectores cualesquiera en V, si \lVert u\rVert=\lVert v\rVert, entonces u+v es ortogonal a u-v.

e. Sean H=\scriptsize{\left\{\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right):\ 2x+3y-z=0 \right\} } y K=\scriptsize{\left\{\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right):\ x-2y+5z=0 \right\} }. Entonces H\cup K es un subespacio de \mathbb{R}^3.